9 基本初等函数的零点问题&10 指数与对数运算中的“三种考法”-《中学生数理化》高一数学2025年11月刊

中学生款理化智识被黎与拓器年月 基本初等丞数的零点问题 (一∞，a)。要使函数f(x)的值域为R,即 (一o∞，a)U[1,+∞)=R,需满足a≥1，所以 实数a的取值范围是[1，十∞)。 (2)当a=2时，函数f(x)= ■张丽 ■陈涛2 1x2-2x+2,x≥0， 可知x=0不是方程 函数的零点问题涉及基本初等函数的图 -2x2十3x十2，x<0, 像与性质，渗透了转化与化归、数形结合、函 f(x)=kx的解。当x≠0时，由f(x)=kx, 数与方程等思想的应用，是考查同学们综合 可得k=f）,令g(x)=I2(x≠0)，则 素养的好途径。下面举例分析函数零点问题 的常见考法。 2 -2,x>0, 一、已知零点所在的区间求参数的值 函数g(x)= 故所求问 2 例1已知函数f(x)=log。x十x一b 2x+2+3x<0。 (a>0,a≠1)，当2<a<3<b<4时，函数 题转化为函数y=k与函数y=g(x)的图像 f(x)的零点xo∈(n,n+1),n∈N,求n的值。 有三个交点。当x>0时，函数y=g(x)的 解：因为a>2,所以f(x)=log。x十x 单调递减区间为(0，√2]，单调递增区间为 b在(0，十∞)上为增函数，且∫(2)=1og。2+ [√2，十o∞)，所以g(x)n=g(2)=22 2-b,f(3)=log.3+3-b。因为2<a<3, 所以log:2<log.2<1og22,log3<1og.3< 2。当x<0时，g(x)=一2x十2+3，由于函 1og23,可得log2<1,log.3>1。因为3<b 数y=一2x十3和函数y= 4,所以-2<2-b<-1,-1<3-b<0,所以 在区间(-00， log.2十2-b<0,log.3+3-b>0,即f(2) 0)上都是减函数，则函数y=g(x)在区间 0,f(3)>0,所以f(2)·f(3)<0。因为 (一∞，0)上为减函数。 f(x)在(0，十∞)上是单调函数，所以函数 作出函数y=g(x)和直线y=k的大致 f(x)在区间(2,3)上存在唯一零点，所以n=2。 图像，如图1所示。 点评：本题考查函数零点存在定理的应 YA 用，考查不等式的性质及函数单调性的应用。 二、已知零点的个数求参数的范围 例2已知函数f(x)= 22 x2-2x十2，x≥0， a∈R。 2 -2x2+3x+a,x<0 (1)若对任意实数m,关于x的方程 f(x)=m总有实数解，求a的取值范围。 图1 (2)若a=2,求使关于x的方程f(x)= 由图可知，当k>2√2一2时，直线y=k kx有三个实数解的k的取值范围。 与函数y=g(x)的图像有三个交点，所以实 解：(1)原问题等价于函数f(x)的值域 数k的取值范围是(2√2一2，十∞)。 为R。当x≥0时，f(x)=x2-2x+2= 点评：第1问，对任意的实数m,关于x的 (x-1)2十1≥1，所以当x∈[0，十∞)时， 方程f(x)=m恒有实数解，等价于函数f(x) f(x)∈[1，十∞)。当x<0时，函数f(x) 的值域为R;第2问，分离参数后需满足函数 -2x+3x十a=-2(-)广+a+8则函 y=g(x)和直线y=k的图像有三个交点。 作者单位：1.河南省光山一中 数f(x)在（一∞，0）上单调递增，且f(x) 2.河南省光山县第二高级中学 f(0)=a,所以当x∈(-o∞，0)时，f(x)∈ (责任编辑王琼霞) 14 高一数学以栋构气折肾中学生款理化 指数与对数运管中的 “三种考法” ■侯剑桥 考法一：指数运算与“不等式的交汇” 等号，所以1og2a+log2b=1og2(ab)≤log2 例1已知正数m,n满足3m·9”=9, 则名十三的最小值为一。 =-2,A错误。2“十2≥2√2“·2= m n 2√2+6=2√2，当且仅当2“=2，即a=b= 分析：利用指数运算得出m十2n=2,然 后利用基本不等式求最小值。 之时取等号，5正确。日+音-（仔+合）a 解：由3m·9”=9,即3m+m=9=32,可得 1+2=2。所以六十2=2（m十2n). a b.4g=9,当且 十b)=5+2+≥5十2z· (层+》=(+0+0）≥ ,(8+ 仅当号，即ab号时取等号，C正 确。a3十b3=(a十b)(a2一ab十b)=a2 √受)=42，当且仅当 ab+b2=(a+b)2-3ab=1-3ab,因为0< 3m_4n ab≤}，所以0<3a6≤是，所以≤1-3a6 m十2，=2，即m=-1,n=8E时等 2 1,即1 ≤a+b<1,D正确。应选BCD。 m>0,n>0, 考法三：指数与对数的互化问题 号成立，所以2+3的最小值为4十23。 例3已知b>0,logb=a,lgb=c,54= m 10,则下列等式一定成立的是()。 考法二：对数的混合运算与“不等式及方 A.d=ac B.a=cd 程的交汇” C.c=ab D.d=a+c 例2（多选题）已知a>0,b>0,且a十 分析：由对数运算法则、换底公式，以及 b=1,则( ）。 指对互化，结合题设条件进行转化求解。 A.1og2a十log2b≥-2 解：由log:b=a,1gb=c,两式相除得 B.2“+2≥2√2 1g b C. 1og-a,即g ”g61g5=1og10= 1 1gb c c D.子<a+6 因为54=10，所以1og10=d,所以d= 分析：利用基本不等式求出ab的范围， 名，即cd=a。应选B。 即可判断A。利用基本不等式及指数的运算 说明：本文系江苏省教学研究立项课题， 法则，即可判断B。利用乘“1”法及基本不等 课题名称：核心素养视域下的“项目式学习十 式，即可判断C。利用立方和公式及ab的范 跨学科”融创课程校本化管理的实践研究（课 围，即可判断D。 题编号：2023JY15一GL一L171)的研究 解：因为a>0,b≥0，且a十b=1,所以 成果。 b≤（士）°=片，当且仅当a=6-2时取 作者单位：江苏省靖江市第一高级中学 (责任编辑王琼霞) 15