7 例析对数型函数的最值的应用&8 聚焦函数的零点与方程解的问题-《中学生数理化》高一数学2025年11月刊

高一数学以栋构气折肾中学生款理化 函数的最值是函数的重要性质，对数型 函数的最值的应用主要体现在以下六个 方面。 例对数型函数的 一、已知函数的最值求参数的值 例1若函数f(x)=2log.x十2(a>0, 最值的应用 且a≠D在区间[合个上的最大值为6，则a 的值为 解：当0<a<1时，函数f(x)在区间 [24]上为减函数，则fx)=210g合十 ■黄晓丽 2=6,即1o.名=2，解得a=号：当a>1 围为 时，函数)在区间[合4个上为增函数，则 解：因为内层函数g(x)=一x2一ax f(x)mx=21og.4十2=6，即1og。4=2,解得 1=一（女一号）广+至-1是开口向下的抛物 a=2。 线，又∫(x)有最大值，所以需满足外层函数 综上所述，a=2或a= 为增函数，且内层函数的最大值为正数，所以 29 1a>1, 评注：对0<a<1和a>1的两种情况进 行讨论分析x)在区间[名]上的单调 g（x）mx= 4-1>0, a 解得a>2,所以a的 取值范围为(2，+∞)。 性，结合区间上的最值即可求出a的值。 评注：复合函数中，内层函数的值域是外 二、已知函数的最值求相关函数的最值 层函数的定义域。 例2已知函数f(x)=x一lnx的最小 四、已知函数的值域为R求参数的取值 值为1，则函数gx)=2+1nx的最小值为 范围 例4 已知函数f(x)= 解：令f(t)=t一lnt且t>0,则f(t)m log2(2-x),x≤1， 的值域为R,则实数a =1。 -4,x>1 x 若=2>0，则f)=y=兰-1n x x 的取值范围是 +1nx-ln2=g(x)-ln2,所以f()m= 解：当x≤1时，f(x)=一log2(2一x)为 x 单调递增函数，且f(1)=0,所以当x→一∞ [g（x)-ln2]mm=g(x)mm-ln2=1,故 时，f(x)→一∞。故当x≤1时，函数f(x) g(x)m=1+ln2。 的取值范围是（一∞，0]。 评注：将函数∫(x)改写为f(t)=t 当x>1时，函数f(x)=x+a-4。 lnt,令t= >0得到f(t)=y=g(x) x 当a>1时，f(x)=x+2-4在(1，a] ln2,结合已知函数的最小值为1即可求出目 x 标函数的最小值。 上单调递减，在[√a,十∞)上单调递增，当 三、已知函数有最值求参数的取值范围 x=√a时取得最小值2√a一4，则f(x)= 例3若函数f(x)=log(-x2一ax一 1)(a>0,且a≠1)有最大值，则a的取值范 x十2一4在(1，十∞)上的取值范围是 x 11 中学生数理化贺极被掉与新车山月 [2√a一4，十∞)。要使f(x)的值域为R,需 [+∞)月 满足2a-4≤0，所以1<a≤4。 山≥号所以a的取值范画 评注：利用复合函数的单调性，求出区间 当a≤1时，f(x)=x+8-4在(1， [t,t十1]上的最大值和最小值，再转化为at 十∞)上单调递增，其值域是(f(1),+∞)= 十(a十1)t-1≥0对任意t∈ 2,1 恒成立， (a一3，十∞)，要使f(x)的值域为R,需满足 结合二次函数的图像与性质求解。 a一3≤0，解得a≤3，所以a≤1。 综上可得，实数a的取值范围是（一∞， 六、已知函数无最小值求参数的取值范围 4]。 例6 已知函数f(x）= 评注：对钩函数f(x)=x+二a>0)的 1aer+号十号)没有最小值，则实数a的 取值范围为】 单调递增区间为（一∞，一√a)U(√a,十∞）； 解：令t=ax2十 单调递减区间为（一√a,0)U(0,√a)。 3x+ 4,则外层函数为 五、已知函数的最大值与最小值的关系 y=lgt。 求参数的取值范围 函数y=lgt在定义域上单调递增，要使 例5已知a>0,函数y=f(x),其中 x)=log(+a小，若对任意∈[日，小， 函数了x)-lgar产+号x十只)设有最小值， 函数y=f(x)在区间[t,t十1]上的最大值与 需清足函数：=a+号十号的值城能够取 最小值的差不超过1，则a的取值范围为 到0，且不恒小于或等于0。 当a=0时，t= 3x,符合题意；当a<0 解：已知y=1og,u与u=1十a的单调 x ：十冬的图像开口向下，只需 2 时，t=ax2十 性，所以复合函数f(x)在区间[t,t十1]上单 调递减，所以f(x)在区间[t,t十1]上的最大 满足4-（）-4×a×>0，解得-号 值与最小值分别为f(t),f(t十1)。由题意 得f(a)-f(:+1)=log:(任+a） <号可得号<a<0当a>0时4=a 3 十号x十朵的图像开口向上，只需满足△ 2 1og(石十a)<1对任意ie[21]恒成 立，即}+a≤2（十a)对任意t∈ ()-4ax≥0，解得-号<a≤号，可 [侵]恒成立，也即ar+a十11-1≥0对 得0<a≤3 .2 Γ1 任意1[21恒成立。 综上可得，号<a<号，即实数a的取 令函数h(t)=at2+(a十1)t-1(a>0), 值范国为（号，引 则二次函数h(t)的图像开口向上，对称轴为 评注：要使函数∫(x)没有最小值，只需 t= 1一上<0，所以函数h(t)在t∈ 2 2a 内层函数t一ax+号x十是的值域能够取到 2 [?]上是增函数。 0,且不恒小于或等于0，再对a分三种情况 所以at2+(a十1)t一1≥0等价于 讨论求解。 h(分)≥0，即子a+2a+1)-1≥0，解得 作者单位：湖北省恩施高中 (责任编辑王琼霞) 12 高一数学识核构气屑中学生表理化 聚焦函数的零点与方程解的问题 ■王小荣 聚焦一：由零点存在定理和函数单调性 确定零点的个数 方程f(x)=sgn(2lnx)-ln(2x-1)的解的个 例1已知函数f(x)在定义域(0， 数，即为函数f(.x)=sgn(2lnx)一ln(2x一1) 十∞)上单调，若对任意的x∈(0，十∞)，都 的零点个数。 有f[f(x)-lnx]=1+e,则方程xf(x)一 当x>1时，由1n(2x-1)=1,可得x= 2x一1=0的解的个数为()。 A.0B.1C.2D.3 e十1，符合题意；当x=1时，由1n(2x一1)= 2 解：求出∫(x)的表达式，构建新函数，根 0,可得x=1,符合题意；当0<x<1时，由 据零点存在定理和单调性求方程解的个数。 1 n(2x一1)=一1，可得x=2e十2，符合题 设t=f(x)一lnx,则f(t)=1十e。令x=t, 意。综上知函数f(x)=sgn(2lnx)一ln(2x 可得f(t)=lnt十t,可知f(t)在(0，十∞)上 一1)的零点个数为3。应选C。 单调递增，所以f(e)=1十e。由上得f(t)= 评析：解决分段函数问题要遵循“分段处 f(e),再结合单调性得t=e,所以函数f(x) 理”的原则。 =lnx十e。 聚焦三：由函数零点的个数求参数的范围 对于方程xf(x)-2x-1=0,即x(1nx 例3函数∫(x)=kx一4十xlog2x在 十e)-2x-1=0,两边同除以x得1nx-1 区间[1,4)内有零点，则实数k的取值范围为 十e-2=0。令函数g(x)=lnx一正十e 1 解：当x∈[1,4)时，由f(x)=kx一4十 2(x>0),则g(x)在(0，十∞)上单调递增， xlog2x=0,可得k十log2x一 4 =0。令g(x) 所以g(1)=e-3<0,g(e)=e- -1>0, e =k十logx一，因为函数y=1ogx和y=k 所以g(x)在区间(1，e)上有唯一零点，所以 方程xf(x)一2x一1=0有唯一解。应选B。 一4在[1,4)上均为增函数，所以函数g(x)= 评析：利用换元法求出函数∫(x)的解析 式是解题的关键。 k十10gx一4在1,4)上为增函数。 x 聚焦二：直接法求函数零点的个数 因为函数f(x)在区间[1,4)内有零点， 例2已知符号函数sgn(x)= 所以函数g(x)在区间[1,4)内有零点，所以 1,x>0, g(1)=k-40, 解得一1<k≤4，即实数 0,x=0,则函数∫(x)=sgn(2lnx) g(4)=k+1>0, 1,x0, 的取值范围是（一1,4]。 1n(2x一1)的零点个数为()。 评析：根据函数的零点求参数的三种思 A.1B.2C.3D.4 维方法：直接法，根据题设条件，构建关于参 解：先分段写出y=sgn(2lnx)的解析 数的不等式，通过解不等式确定参数的值（范 式，然后分类求方程sgn(21nx)=1n(2x一1) 围)；分离参数法，将参数分离，转化成求函数 的解的个数。 值域来确定参数的范围；数形结合法，先对解 令f(.x)=0,则sgn(21nx)=ln(2x-1)。 析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函 1,x1, 数的图像，再利用数形结合法求参数的值。 易得y=sgn(2lnx) 0,x=1, 下面求 作者单位：陕西省商州区高级中学 1,0x1。 (责任编辑王琼霞) 13