3 例析抽象函数的单调性及应用&4 例析对数式的变形技巧-《中学生数理化》高一数学2025年11月刊

高一数学以栋构气新肾中学生款理化 抽象函数是指没有给出具体的函数解析 式或图像，只给出一些体现函数特征的式子 例析抽象函数的 或条件的函数。下面从函数的单调性的概念 出发，举例说明以幂函数、指数函数、对数函 单调性及应用 数为模型的抽象函数的单调性及应用问题。 一、以幂函数为模型的抽象函数的单调 ■马守武 ■张付坤2 性问题 例1已知函数f(x)对于一切正实数 数单调递诚。 x,y都有f(xy)=f(x)·f(y),且当x>1 二、以指数函数为模型的抽象函数的单 调性问题 时，0<f(x)<1,f(2)=1 9。 例2定义域为R的函数f(x)满足 (1)求证：当x>0时，f(x)>0。 (-)=2,且对于任意实数x,y恒有 (2)求证：f(x)在(0，十∞)上为减函数。 (3)若f(m)=9,求m的值。 f(x十y)=f(x)·f(y),当x>0时，0 f(x)1 解：(1)由x>0,可得x=√·√，结 (1)求f(0)的值，并证明当x<0时， 合f(xy)=f(x)·f(y)得f(x)= f(x)1。 f(()·f(√)=[f(√反)]≥0。假设存 (2)判断函数(x)的单调性并加以证明。 在y>0,使得f(y)=0,则对任意x>1, (3)若不等式f[(a-a-2)x2-(2a f)=f(5·y)=f(）·fy)=0,这与 1)2x十2]>4对任意x∈[1,3]恒成立，求实 当x>1时，0<f(x)<1矛盾，故对任意x> 数a的取值范围。 0,均有f(x)>0。 解：(1)对于任意实数x,y恒有f(x+ (2)任取x1,x2∈(0，十∞)，则f(x2) y)=f(x)·f(y),令x=1,y=0,可得 f(1)=f(1)·f(0)。因为当x>0时，0 fx)=f(·x)-f(x)=f(）· f(x)<1,所以f(1)≠0，故f(0)=1。 f)-fa)=(得)-]fx).不 令y=一x,x<0,则f(0)=f[x十 1 （-x)],所以f(x)=f-因为-x之 妨设x>x1>0,侧2>1，可得0<f(）< 0,所以0<f(-x)<1,所以f(x)>1。 1。由(1)知f(x1)>0,所以f(x2)一f(x1) (2)由(1)知，当x<0时，f(x)>1,且 <0,即f(x2)<f(x1),所以f(x)在(0， f(0)=1。当x>0时，0<f(x)<1,即 十∞)上为减函数。 f(x)>0恒成立。对任意的x1,x,∈R,不 (3)令x=2,y=1,则f(2)=f(1)· 妨设x1<x2,则x1一x2<0,f(x1一x2)> f2)。因为f(2)=号，所以f)-1。因为 1,所以x）=[(x-x)+x] f(x2) f(x2) f(m)=9,所以f(2m)=f(m)f(2)=9× f(x1-x):f(x》=f(x1-x)>1。又 9=1=f(1)。又f(x)在(0，+∞)上为减 f(xg） f(x)>0恒成立，所以f(x1)>f(x2),所以 函数，所以2m=1,解得m=子 函数f(x)在R上为诚函数。 点评：根据函数单调性的定义，利用· (3)由f(-2)=2,可得f(-1) x1=x2,结合条件当x>1时，0<f(x)<1, f(-2)·f(-2)=4,所以f[(a-a 通过作差比较f(x2),f(x1)的大小来证明函 2)x2-(2a-1)2x+2]>4=f(-1)。由 5 中学生款理化智皱钟与拓车11月 f(x)在R上为减函数得(a2一a一2)x2 在(0，十∞)上是减函数 (2a-1)2x+2<-1,所以(a2-a)(x2-4x) (3)因为f(kx)+f(2-x)=f(2k.x <2x2十x一3对任意x∈[1,3]恒成立。因 为x∈[1,3]，所以x2-4x<0,所以a-a≥ x)<2=f(兮)，又f(x)在0，+∞)上是 2x2+x-3-2+3(3xD对任意x∈[1,3] 减函数，所以kx>0,2一x>0,即x2,且 x2-4x x2-4x 2kx-kx2>号有解，所以9kx2-18kx+1<0 恒成立。设3x一1=t,t∈[2,8]，则2+ 3(3x-1业等价于2十2-10t-1币 27t 在(0,2)上有解。因为k>0,所以△=324k =2+ x2-4.x -36k>0,可得k>号或k<0(舍去)。当 27 0(当且仅当t=2时取等号)，所 4-4-10 t k>号时，因为二次函数u(x)=9kx-18kr 以a2一a>0,解得a<0或a>1,即实数a∈ 十1的对称轴为x=1,一定有u(0)=1,u(1) (-∞，0)U(1,+∞)。 =1-9k<0,所以在(0,1)内f(kx)十 点评：本题考查恒成立问题，考查参数分 f(2一x)<2必定有解。综上可知，k的取值 离法的应用。 范围是（号，+∞）。 三、以对数函数为模型的抽象函数的单 调性问题 点评：证明函数∫(x)是减函数的关键是构 例3设函数f(x)是定义在(0，十∞) 造x2=x1· 兰来比较fx1)与f(x,)的大小。 上的函数，满足条件：①对任意正数x,y都 有f(xy)=f(x)+f(y),②当x>1时， 感悟收 f(x)<0,③f(3)=-1。 已知函数f(x)对任意的实数x,y,恒有 1)求f1f(付)的值。 f(x+y)=f(x)+f(y)一1，且当x>0时， f(x)>1。 (2)判断函数y=f(x)的单调性，并用 (1)求证：函数f(x)在R上是增函数。 单调性的定义证明你的结论。 (2)若关于x的不等式f(x2-a.x十5a) (3)如果存在正数k,使不等式∫(kx)十 f(m)的解集为{x|一3<x<2},求的值。 (2一x)<2有解，求正数k的取值范围。 提示：(1)设x1>x2,则x1一x2>0,所以 解：(1)令y=1,可得f(x)=f(x)+ f(x1-x2)>1,即f(x1-x2)-1>0。因为 f(1)对任意x都成立，所以f(1)=0。已知 f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)十x2]-f(x2) f3)=-1,由f(1)=f(3×3)=f(3)+ =f(x1-x2)+f(x2)-1一f(x2)=f(x1 x2)-1>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在 (3),可得f(兮)=1，所以5（号） R上是增函数。 r(3×3)=f(3)+f(日)=2. (2)由f(x一ax十5a)<f(m),结合 f(x)在R上是增函数得x2-ax十5a<m, (2)f(x)在(0，十∞)上是减函数。 所以x2一ax+5a一m<0。因为不等式 证明如下：对任意的x1,x2∈(0，十∞)， f(x2-ax十5a)<f(m)的解集为{x|-3< 不妨设x>x1>0,则要>1，可得f(）< x<2},所以方程x2一a.x十5a一m=0的两根 为一3和2。由韦达定理易得a=一1，m=1。 0。因为f(x1)一f(x,)=f (x1)- 故m=1。 f(a·)=f)-[f)+(经】 作者单位：1.河南省光山县教育教学研究中心 2.河南省光山县第二高级中学 f(）>0,即f)>fx:),所以f(x) (责任编辑王琼霞) 高一数学以栋构气新肾中学生款理化 例析对数式的变技巧 ■张振继（特级教师） 一、对数式化为指数式 例1设alog4=2,则4“=( )c 4,解得3=6，=存把=后代人 A店 B 2s十t=16=4消去k,整理得2s2十st t=0,解得三=2或三=一1（不符合题意，舍 C D名 解析：由alog4=2,可得1og4“=2,所 去)。故=2 以4=3=9，所以4-号。应选B 五、利用换元法 例5解不等式：log(1十√x)>log6x。 二、活用对数的运算性质 解析：令l1og1x=t,则x=16,所以原不 例2已知a=1og.14,b=1ogo4,则 等式可转化为1og(1十4)>t,即1+4>5， ()。 A.2ab<2(a+b)<ab 化简整理得（号）+（告）广>1。设函数f) B.2ab<a+b<4ab C.ab<a+b<2ab =(号)广+（告）广，则f()是R上的减函数， D.2ab<a+bab 且f(1)=1,所以（兮）广+()'>1可转化为 解析：由已知得a=1og14<0,b=1og04 f(t)>f(1),所以t<1,即logut<1,解得 1 >0,所以b<0。因为“2=十万 ab 0<x<16,即原不等式的解集为{x|0<x 1og:0.1+log150=1og5∈(1,2)，即1<a+b 16}。 ab 六、构造辅助函数 2,所以2ab<a十bab。应选D 例6已知x1,x2满足x1·21=8, 三、巧用对数恒等式 x2(1og2x2一2)=32，则x1x2=()。 例3若√eww-21ga十1=-1-lga, A.256 B.32 则实数a的取值范围是 C.8 D.4 解析：掌握对数恒等式是解题的关键。 解析：由x2(1og2x2一2)=32，整理得 1ga≥0， 由已知得 所 1og琴=8，且琴>1 1ga)-2lga+1=1-lga, 由x1·21=8,可得21·10g22=8,且 以/1ga>0, 即0<lga≤1，解得1<a 1-lga≥0， 2>1.所以2·1og2-71og:7。 10。故实数a的取值范围是(1,10]。 构造函数f(t)=tlogt(t>1)。易知函 四、引入参数“做媒” 数f(t)在(1，十∞)上单调递增。因为 例4已知函数f(x)=1ogx,g(x)= log2x,h(x)=log1Bx,满足f(s)=g(t)= f2)=f(经)，所以2-是，代入· h(2s十t),则=一。 2=8得1·=8，即x1x2=32。应选B。 4 解析：设f(s)=g(t)=h(2s十t)=k,则 作者单位：河南省商丘市夏邑县佳合高中 s=9=3张，t=12=3·4,2s十t=16= (责任编辑王琼霞)