2.4 整式的加减运算（基础篇）讲义 2025--2026学年华东师大版数学七年级上册

2.4整式的加减 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 · 同类项： · 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。例如3x²y与-5x²y是同类项，2和7也是同类项。 · 合并同类项： · 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。比如3x²y+5x²y=(3+5)x²y=8x²y。 · 去括号和添括号： · 去括号法则：括号前是 “+”，把括号和它前面的 “+” 去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是 “-”，把括号和它前面的 “-” 去掉后，原括号里各项的符号都要改变。例如，。 · 添括号法则：添括号时，如果括号前面是 “+”，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是 “-”，括到括号里的各项都改变符号。如， 。 · 整式的加减： · 整式加减的实质就是合并同类项，一般步骤是先去括号，再合并同类项。例如计算，先去括号得 ，然后合并同类项得到 。 型 习 练 题 同类项的判断 1．下列各组式子中的两个单项式是同类项的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列各组式子中是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列各组中，不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．下列各组中的两个单项式不属于同类项的是（    ） A．与 B．与3 C．与 D．与 5．下列每对式子是同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和0 求字母或代数式的值 6．若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2025 7．若单项式与的和也是单项式，则的值是（    ） A．1 B．3 C．8 D．6 8．如果与是同类项，那么 x，y 的值分别是（      ） A． B． C． D． 9．已知单项式与的差是单项式，则的值是（    ） A． B． C． D． 10．若单项式与的差是单项式，那么的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 合并同类项 11．下列计算正确的是 （　　） A． B． C． D． 12．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 13．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 14．下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 15．下列各式中，正确的是（  ） A． B． C． D． 去括号 16．下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 17．在下列计算中，错误的是（   ）． A． B． C． D． 18．下列各式中，去括号或添括号错误的是（    ） A． B． C． D． 19．去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 20．下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 添括号 21．下列各式中，添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 22．下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 23．下列各式添括号，正确的是（   ） A． B． C． D． 24．下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 25．将多项式添括号后正确的是（    ） A． B． C． D． 整式的加减运算 26．化简：． 27．化简： (1)； (2)． 28．化简： (1) (2) 29．化简： (1)； (2)． 30．化简： (1)； (2)． 整式的化简求值 31．先化简，再求值：，其中，． 32．求下列各式的值： (1)，其中； (2)，其中，． 33．先化简，再求值：，其中，． 34．先化简，再求值：，其中，． 35．化简求值： (1)； (2)，其中，． 整式加减的应用 36．小明在研究了两位数的平方的规律后，进一步研究两个十位数字相同的两位数和（其中，均不为0）的乘积（其中可以是0）的规律，请帮助他解决以下问题． (1)乘积的后两位数是否一定等于？答：_____（填“是”或“否”），说明理由； (2)如果乘积的后两位数等于，且前两位数等于，那么，，应满足怎样的条件？说明理由． 37．2025太原马拉松赛圆满落幕，为鼓励学生积极参与体育志愿服务，某中学会对完成服务的志愿者进行表彰．该校共设置“杰出志愿者”、“优秀志愿者”、“积极志愿者”三个荣誉等级，表彰总人数为60人，其中优秀志愿者人数比杰出志愿者人数的3倍少4人．设杰出志愿者人数为x人． (1)请用含x的代数式表示： 优秀志愿者人数为________人，积极志愿者人数为________人（化为最简）； (2)若杰出志愿者奖品为单价45元的太原马拉松纪念奖牌，优秀志愿者奖品为单价35元的运动速干T恤，积极志愿者奖品为单价20元的运动护腕，请用含x的代数式表示购买全部奖品所需的总费用，并化简； (3)在（2）的基础上，若学校最终表彰杰出志愿者8人，求购买奖品总费用． 38．生活中，我们比较熟悉的计数方式是“逢十进一”，这就是十进制．而在计算机领域，还有一种“逢八进一”的计数方式，叫做八进制． 八进制与我们熟悉的十进制对应关系如下表： 八进制 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 … 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … 观察发现：八进制数10表示十进制中的8，即；同理，八进制数23表示十进制中的19，即． 根据以上材料，解答下列问题： (1)填空：八进制数35代表十进制中的数是______； (2)已知一个八进制两位数，各位数字的和为8，若该八进制两位数转换成十进制数后，是一个小于40的偶数，求所有满足条件的八进制数； (3)①求八进制数246转换为十进制数后除以7所得的余数； ②对于所有各位数字之和为12的八进制三位数，它们的十进制值除以7所得的余数是否固定不变？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 39．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是100千米/小时，水流速度是千米/小时． (1)3小时后两船相距多远？ (2)4小时后甲船比乙船多航行多少千米？（用含的式子表示） 40．如图，某体育公园有一块长为70米，宽为50米的长方形运动场地．场地中间有两块运动区域，分别记作①号和②号区域．阴影部分为人行通道，两条横向通道和三条纵向通道的宽度均相等．已知①号区域的形状是正方形，边长为米，②号区域的形状是长方形． (1)当时，人行通道的宽度为________米；②号区域的周长________米； (2)求②号区域的周长（用含的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4整式的加减 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 · 同类项： · 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。例如3x²y与-5x²y是同类项，2和7也是同类项。 · 合并同类项： · 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。比如3x²y+5x²y=(3+5)x²y=8x²y。 · 去括号和添括号： · 去括号法则：括号前是 “+”，把括号和它前面的 “+” 去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是 “-”，把括号和它前面的 “-” 去掉后，原括号里各项的符号都要改变。例如，。 · 添括号法则：添括号时，如果括号前面是 “+”，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是 “-”，括到括号里的各项都改变符号。如， 。 · 整式的加减： · 整式加减的实质就是合并同类项，一般步骤是先去括号，再合并同类项。例如计算，先去括号得 ，然后合并同类项得到 。 型 习 练 题 同类项的判断 1．下列各组式子中的两个单项式是同类项的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类项的判断，熟记定义是解题关键． 根据同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同）逐项判断． 【详解】解：A：∵字母a与b不同， ∴不是同类项，不符合题意； B：∵都含有字母x和y，且x的指数均为1，y的指数均为1， ∴是同类项，符合题意； C：∵两项中含有字母不同， ∴不是同类项，不符合题意； D：∵都含有x和y，但x的指数不同，y的指数不同， ∴不是同类项，不符合题意； 故选：B． 2．下列各组式子中是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项，解题的关键是掌握同类项的定义． 根据同类项的定义逐项进行判断即可，同类项需满足所含字母相同，且相同字母的指数相同，与系数无关． 【详解】解：∵ 同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项， 选项A：与，字母a和b不同，不是同类项，不符合题意； 选项B：与，a的指数分别为1和2，b的指数分别为2和1，指数不同，不是同类项，不符合题意； 选项C：与，前者字母为a、，后者多字母c，字母不同，不是同类项，不符合题意； 选项D：与是同类项，符合题意； 故选：D． 3．下列各组中，不是同类项的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】此题考查了同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，据此求解即可． 【详解】选项A：和均为常数项，是同类项； 选项B：和，字母a和b的指数均为1，是同类项； 选项C：和，字母a指数为2，b指数为1，是同类项； 选项D： 中a指数2、b指数3，而 中a指数3，b指数2，指数不同，不是同类项． 故选：D． 4．下列各组中的两个单项式不属于同类项的是（    ） A．与 B．与3 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的判断，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据同类项的意义，对四组式子分析后作出判断． 【详解】解：同类项需字母相同且相同字母指数相同， 与是同类项，故A不符合； 与3均为常数项，是同类项，故B不符合； 与相同字母的指数不同，不是同类项，故C符合； 与是同类项，故D不符合； 故选：C． 5．下列每对式子是同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和0 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，两个常数也是同类项，据此可得答案． 【详解】解：根据同类项的定义可知，只有和0是同类项， 故选：D． 求字母或代数式的值 6．若单项式与是同类项，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义．根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，由此列出方程求解和，再代入计算的值． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， 解得，， ∴， ∴． 故选：C． 7．若单项式与的和也是单项式，则的值是（    ） A．1 B．3 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了已知同类项求指数中字母或代数式的值以及有理数的乘方运算，两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等；由题意得且，即可求解； 【详解】解：∵ 单项式 与 的和是单项式， ∴ 它们是同类项， ∴ 且 ， ∴，， ∴； 故选：C 8．如果与是同类项，那么 x，y 的值分别是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义． 根据同类项的定义，两个单项式是同类项的条件是相同字母的指数必须相等． 【详解】解：∵两个单项式是同类项， ∴，， 解得，． 故选：A． 9．已知单项式与的差是单项式，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查合并同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．两个单项式的差为单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等，进而求出、的值，即可求解． 【详解】解：由题意可知单项式与是同类项， ，， ， ， 故选：B． 10．若单项式与的差是单项式，那么的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义以及通过建立方程求解参数，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 两个单项式是同类项，因此它们的对应字母的指数必须相等，从而可以求出和的值，进而计算的值． 【详解】解：单项式与的差是单项式， 与是同类项， ，， 解得，， ． 故选：C． 合并同类项 11．下列计算正确的是 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项的法则． 根据合并同类项的法则，只有字母部分完全相同的项才能合并，系数相加减． 【详解】解：选项A中，与的字母不同，不是同类项，不能合并； 选项B中，与的字母指数不同，不是同类项，不能合并； 选项C中，，不等于； 选项D中，，正确； 故选：D． 12．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，根据同类项的合并法则逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 13．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项的概念，掌握只有字母部分完全相同的项才能进行加减运算是解题的关键． 根据同类项的定义和合并法则逐项进行判断即可． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，不符合题意； 选项B：，不符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：与是同类项（∵），，计算正确，符合题意． 故选：D． 14．下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项，掌握知识点是解题的关键． 根据合并同类项的法则，只有同类项才能合并，系数相加，字母部分不变，通过逐项分析判断，即可解答． 【详解】解：对于A：∵和不是同类项，∴，该项计算错误，不符合题意． 对于B：∵，该项计算错误，不符合题意． 对于C：，该项计算正确，符合题意． 对于D：∵ ，该项计算错误，不符合题意． 故选C． 15．下列各式中，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的定义与合并同类项，熟练掌握同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项）是解题的关键． 根据同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项），判断每个选项中的项是否为同类项，进而判断合并是否正确． 【详解】解：与所含字母不同，不是同类项，不能合并，选项A错误． 与所含字母不同，不是同类项，不能合并，选项B错误． 与是同类项，合并同类项时系数相减，，即，选项C正确． 与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，选项D错误． 故选：C． 去括号 16．下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算和整式的运算， 根据有理数的运算法则和整式的运算法则计算后判断即可． 【详解】解：A． ，原计算正确； B． ，原计算错误； C． 与 不是同类项，不能合并，原计算错误； D． ，原计算错误； 故选：A． 17．在下列计算中，错误的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了去括号法则． 选项A中，分配律应用错误，漏乘了b的系数；其他选项均正确应用了去括号法则． 【详解】解：选项A：，原计算错误； 选项B：，原计算正确； 选项C：，原计算正确； 选项D：，原计算正确； 故选：A． 18．下列各式中，去括号或添括号错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了整式的去括号、添括号，熟练掌握整式的去括号、添括号法则是解题关键． 根据整式的去括号、添括号法则逐项判断即可得． 【分析】解：A、，正确，故本选项不符合题意； B、，错误，故本选项符合题意； C、，正确，故本选项不符合题意； D、，正确，故本选项不符合题意； 故选：B 19．去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了去括号，去括号时，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式去括号错误，不符合题意； B、，原式去括号错误，不符合题意； C、，原式去括号错误，不符合题意； D、，原式去括号正确，符合题意； 故选：D． 20．下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号的规则．括号前是负号时，去括号后括号内各项变号；括号前是正号时，去括号后括号内各项不变号，据此解答即可． 【详解】解：选项A：，故本选项正确，符合题意； 选项B：，故本选项错误，不符合题意； 选项C：，故本选项错误，不符合题意； 选项D：，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 添括号 21．下列各式中，添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了添括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键．通过检查每个选项添括号后的式子是否与原式相等，根据添括号规则（括号前是负号时，括号内各项变号）进行判断． 【详解】解：添括号时，若括号前是负号，则括号内各项符号改变； A．，错误； B．，错误； C．，正确； D．，错误； 故选：C． 22．下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则逐个判断即可． 【详解】解：A、，原写法错误，故不符合题意； B、，原写法错误，故不符合题意； C、，原写法错误，故不符合题意； D、，写法正确，符合题意， 故选：D． 23．下列各式添括号，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添括号的规则：括号前是正号时，括号内各项符号不变；括号前是负号时，括号内各项符号改变．需逐一验证各选项添括号后是否与原式相等． 【详解】解：选项A： ∵右边 ， ∴ A错误． 选项B： ∵右边 ， ∴ B错误． 选项C： ∵右边 ， ∴ C错误． 选项D： ∵右边 ， ∴ D正确． 故选：D． 24．下列添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了添括号．熟知添括号法则是解本题的关键．添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“-”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 根据添括号法则求解判断即可． 【详解】解：A． ，A不正确； B． ，B不正确； C．，C正确； D．，D不正确． 故选：C． 25．将多项式添括号后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了添括号的方法：添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则进行判断即可． 【详解】解：A、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； B、根据添括号的法则可知，，故本选项正确，符合题意； C、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； D、根据添括号的法则可知，，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 整式的加减运算 26．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减． 先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 27．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答的关键． （1）根据整式加减运算法则求解即可； （2）先去括号，再整式加减运算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 28．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减运算．注意计算的准确性． （1）利用整式的加减混合运算法则即可求解； （2）利用整式的加减混合运算法则即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 29．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式加减运算法则是解题关键． （1）根据整式的加减法则计算即可得； （2）先去括号，再计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 30．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算． （1）直接合并同类项； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： 整式的化简求值 31．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查去括号，合并同类项，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先去括号，合并同类项，然后代入求值即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 32．求下列各式的值： (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)61 (2) 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则是解题的关键． （1）先合并同类项，再将代入求值； （2）先去括号、合并同类项，再将，代入求值． 【详解】（1）解： ， 将代入，得： 原式 ； （2）解： ， 将代入，得：原式． 33．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．先去括号，再合并同类项，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 34．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，去括号，合并同类项，约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 35．化简求值： (1)； (2)，其中，． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查整式的加减运算，化简求值． （1）根据去括号法则及合并同类项法则解答； （2）先去括号，再合并同类项，最后将字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当，时，原式． 整式加减的应用 36．小明在研究了两位数的平方的规律后，进一步研究两个十位数字相同的两位数和（其中，均不为0）的乘积（其中可以是0）的规律，请帮助他解决以下问题． (1)乘积的后两位数是否一定等于？答：_____（填“是”或“否”），说明理由； (2)如果乘积的后两位数等于，且前两位数等于，那么，，应满足怎样的条件？说明理由． 【答案】(1)否 (2)， 【分析】本题考查了整式的乘法计算，找到各个数位间的数字关系并掌握整式乘法运算的计算法则准确计算是解决本题的关键． （1）根据题意，举出反例，即可求解； （2）由题意可得，化简得出，即可求解． 【详解】（1）解：乘积的后两位数不一定等于， 如两个十位数字相同的两位数和分别是和时， ， 此时乘积的后两位数是，的值为， 不满足乘积的后两位数等于， 故答案为：否． （2）解：将两个十位数字相同的两位数和分别表示为和，（其中） ， 即这两个两位数的乘积为， 根据题意可得乘积的后两位数等于，且前两位数等于， 故这两个两位数的乘积可以表示为， 即， 整理，得， ∵， ∴． 故当，时，乘积的后两位数等于，且前两位数等于． 37．2025太原马拉松赛圆满落幕，为鼓励学生积极参与体育志愿服务，某中学会对完成服务的志愿者进行表彰．该校共设置“杰出志愿者”、“优秀志愿者”、“积极志愿者”三个荣誉等级，表彰总人数为60人，其中优秀志愿者人数比杰出志愿者人数的3倍少4人．设杰出志愿者人数为x人． (1)请用含x的代数式表示： 优秀志愿者人数为________人，积极志愿者人数为________人（化为最简）； (2)若杰出志愿者奖品为单价45元的太原马拉松纪念奖牌，优秀志愿者奖品为单价35元的运动速干T恤，积极志愿者奖品为单价20元的运动护腕，请用含x的代数式表示购买全部奖品所需的总费用，并化简； (3)在（2）的基础上，若学校最终表彰杰出志愿者8人，求购买奖品总费用． 【答案】(1)， (2)元 (3)购买奖品总费用为1700元 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减运算，代数式求值，理解题意，列出代数式，是解题的关键． （1）根据优秀志愿者人数比杰出志愿者人数的3倍少4人，设杰出志愿者人数为x人，表示出积极志愿者人数，根据表彰的总人数，再表示出积极志愿者人数即可； （2）根据各种奖品的单价和数量表示出购买全部奖品所需的总费用即可； （3）把代入代数式，求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：优秀志愿者人数为人， 积极志愿者人数为： 人； （2）解：购买全部奖品所需的总费用为： 元． （3）解：根据题意得，当时，（元）， 答：购买奖品总费用为1700元． 38．生活中，我们比较熟悉的计数方式是“逢十进一”，这就是十进制．而在计算机领域，还有一种“逢八进一”的计数方式，叫做八进制． 八进制与我们熟悉的十进制对应关系如下表： 八进制 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 … 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … 观察发现：八进制数10表示十进制中的8，即；同理，八进制数23表示十进制中的19，即． 根据以上材料，解答下列问题： (1)填空：八进制数35代表十进制中的数是______； (2)已知一个八进制两位数，各位数字的和为8，若该八进制两位数转换成十进制数后，是一个小于40的偶数，求所有满足条件的八进制数； (3)①求八进制数246转换为十进制数后除以7所得的余数； ②对于所有各位数字之和为12的八进制三位数，它们的十进制值除以7所得的余数是否固定不变？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)29 (2)26、44 (3)①5；②是，这个定值是5 【分析】本题考查了进位制的转换，涉及到有理数的混合运算，熟练掌握进位制的转换是解题的关键． （1）根据题意，仿照示例，把八进制数转换为十进制数即可； （2）设这个八进制两位数用十进制数表示为（为大于零的正整数，为非负整数），则，且，求出所有满足条件的、值即可得出答案； （3）①先仿照示例，将八进制数246转换为十进制数，再除以7求余数即可； ②设这个八进制两位数用十进制数表示为（为大于零的正整数，、为非负整数），依题意得，再计算即可得出答案． 【详解】（1）解：八进制数35代表十进制中的数是： ， 故答案为：29； （2）解：设这个八进制两位数用十进制数表示为（为大于零的正整数，为非负整数），则，且， ∴， ∴， 解得， ∴或2或3或4， 当时，则，这个八进制两位数为17，转换成十进制数为15，不是偶数，不符合； 当时，则，这个八进制两位数为26，转换成十进制数为22，是偶数，符合； 当时，则，这个八进制两位数为35，转换成十进制数为29，不是偶数，不符合； 当时，则，这个八进制两位数为44，转换成十进制数为36，是偶数，符合； 综上，所有满足条件的八进制数有26、44； （3）解：①八进制数246转换为十进制数是：， ， 即八进制数246转换为十进制数后除以7所得的余数是5； ②设这个八进制两位数用十进制数表示为（为大于零的正整数，、为非负整数）， 依题意得，则 ， 即对于所有各位数字之和为12的八进制三位数，它们的十进制值除以7所得的余数是固定不变的，这个定值是5． 39．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是100千米/小时，水流速度是千米/小时． (1)3小时后两船相距多远？ (2)4小时后甲船比乙船多航行多少千米？（用含的式子表示） 【答案】(1)600千米 (2)千米 【分析】本题考查列代数式，涉及整式加减运算，理解船在顺水与逆水中行驶路程的表示是解决问题的关键． （1）根据题意，得到3小时后甲船顺水的距离为千米、乙船逆水的距离为千米，求和即可得到答案； （2）根据题意，得到4小时后甲船顺水的距离为千米、乙船逆水的距离为千米，作差即可得到答案． 【详解】（1）解：甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是100千米/小时，水流速度是千米/小时， 3小时后甲船顺水的距离为千米、乙船逆水的距离为千米， 3小时后两船相距 （千米）； （2）解：甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是100千米/小时，水流速度是千米/小时， 4小时后甲船顺水的距离为千米、乙船逆水的距离为千米， 4小时后甲船比乙船多航行 （千米）． 40．如图，某体育公园有一块长为70米，宽为50米的长方形运动场地．场地中间有两块运动区域，分别记作①号和②号区域．阴影部分为人行通道，两条横向通道和三条纵向通道的宽度均相等．已知①号区域的形状是正方形，边长为米，②号区域的形状是长方形． (1)当时，人行通道的宽度为________米；②号区域的周长________米； (2)求②号区域的周长（用含的代数式表示）． 【答案】(1)5；110 (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，正方形与长方形的性质，熟练掌握长方形与正方形的性质是解题的关键． （1）利用长方形与正方形的性质，利用大长方形的宽减去正方形的边长即得到两条人行通道的宽度，利用人行通道的宽度求得②号区域的宽，即可求出②号区域的周长； （2）利用（1）中的方法求得人行通道的宽度，利用图中数据求得②号区域的宽，再利用长方形的周长公式解答即可． 【详解】（1）解：当时， 人行通道的宽度为：（米）， ②号区域的周长：（米）， 故答案为：5；110． （2）解：由题意得：人行通道的宽度为：， ②号区域的长与①号区域的长相同， ∵两条横向通道和三条纵向通道的宽度均相等， ∴②号区域的宽为：（米）， ∴②号区域的周长为：（米）． 学科网（北京）股份有限公司 $