第2章 整式及其加减（高效培优讲义）数学华东师大版2024七年级上册

该初中数学单元复习讲义通过考点分级梳理与表格对比构建整式及其加减的知识体系，用表格归纳单项式、多项式的系数与次数等核心概念，以框架图呈现同类项、合并同类项、去括号的逻辑关系，突出同类项判断、去括号法则等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，覆盖概念辨析到实际应用，如“图形中的整式表示”结合几何图形周长计算培养几何直观（数学眼光），“无关项问题”通过化简整式、令系数为0的步骤发展推理能力（数学思维）。每个题型配典例与变式，基础学生可掌握运算技巧，优秀学生能深化模型构建，助力教师精准分层教学。

第2章 整式及其加减 教学目标 1.理解单项式、多项式、整式及同类项的概念，明确相互间的区别与联系。 2.掌握合并同类项、去括号法则，能熟练进行整式加减运算。 3.能列代数式表示实际问题中的数量关系，会求代数式的值。 4.体会“数式通性”，初步形成符号意识和抽象思维能力。 5.运用整式加减解决简单实际问题及规律探究题。 教学重难点 1.重点 （1）同类项的判断与合并同类项运算。 （2）去括号法则的准确应用。 （3）整式的化简与加减运算。 （4）列代数式表示数量关系。 2.难点 （1）括号前是“-”号或有系数时的去括号运算。 （2）整式加减中“不含某项”“与字母无关”问题的解决。 （3）单项式系数、次数及多项式项数、次数的准确判断。 （4）结合实际情境或图形的规律探究与整式表示。 考点01 代数式 核心知识点： 1.代数式的定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也是代数式（不含等号、不等号）。 2.书写规范： ①数字在前，字母在后（如3a，而非a3）； ②乘号省略或写为“·”（如ab或a·b）； ③除法写成分数形式（如a÷2写为）； ④带分数化为假分数（如写为）； ⑤和差形式带单位需加括号（如元）。 3.列代数式：遵循“先读先写”，明确数量关系（和、差、积、商、倍、平方等），复杂关系分层列式。 考点02 整式的相关概念 类别 核心知识点（加粗） 单项式 1.定义：数或字母的积（单独一个数/字母也是）；2.系数：数字因数（含符号，如-5xy的系数为-5）；3.次数：所有字母的指数和（如的次数为3）。 多项式 1.定义：几个单项式的和； 2.项：组成多项式的单项式（含符号，如的项为、、1）； 3.常数项：不含字母的项； 4.次数：次数最高项的次数（如的次数为3）。 整式 单项式和多项式统称整式（分母含字母的不是整式）。 考点03 同类项 核心知识点： 1.同类项的定义（两相同）：①所含字母相同；②相同字母的指数也相同（与系数、字母顺序无关）。 2.常数项都是同类项（如5和-3是同类项）。 考点04 合并同类项 核心知识点： 1.法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变。 2.步骤：先找同类项，再合并（系数相加，字母部分不变）。 考点05 去括号与添括号 核心知识点： 去括号法则：①括号前是“+”，去括号后各项符号不变（如）；②括号前是“-”，去括号后各项符号改变（如）。 添括号法则：①括号前是“+”，括入各项符号不变（如）；②括号前是“-”，括入各项符号改变（如）。 关键：括号前有数字因数，需用乘法分配律乘括号内每一项（如）。 考点06 整式的加减运算 核心知识点： 1.运算步骤：先去括号（或添括号），再合并同类项。 2.关键要点：①遵循“先括号内，后括号外”；②注意符号变化，避免漏乘；③合并同类项要彻底。 考点07 代数式求值 核心知识点： 1.直接代入：用具体数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算（负数、分数代入需加括号）。 2.整体代入（高频考点）：将代数式变形为含已知式子的形式，代入求值（如已知，求的值，变形为）。 考点08 规律探索 核心知识点： 1.探索步骤：观察特殊情况→猜想一般规律→用代数式表示→验证规律。 2.常见类型：①数字规律（数列、等式，如）；②图形规律（个数、周长、面积，如第n个图形需根火柴）；③数表规律（每行每列的数量关系，如前n行共有个数）；④循环规律（找出周期，计算位置对应的结果）。 考点09 整式的实际应用 核心知识点： 1.几何图形类：用整式表示长方形、多边形的周长（如长方形周长）、面积（如三角形面积）。 2.实际场景类：费用计算（如水费、购物费）、数量关系（如产量、路程），核心是建立整式模型表达数量关系。 考点10：整式加减中的无关项问题（高频易错） 核心知识点： 1.若整式化简后不含某一项（如不含项），则该项的系数为0。 2.步骤：先化简整式→合并同类项→令无关项的系数等于0→求解参数。 题型01整式、单项式与多项式概念辨析 方法技巧： 1.整式判定：不含分母（或分母无字母），单项式和多项式统称整式。 2.单项式三要素：数与字母的积（单独数/字母也是），系数为数字因数（含符号），次数为所有字母指数和（常数项次数为0）。 3.多项式三要素：几个单项式的和，项数为单项式个数（含常数项），次数为最高次项的次数。 【典例1】．（25-26七年级上·广东广州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．0是单项式 B．单项式的次数是2 C．是单项式 D．单项式的系数是 【变式1】．（25-26七年级上·北京西城·期中）下列说法中正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是3 C．是单项式 D．是四次二项式 【变式2】．（25-26七年级上·广东广州·期中）在下列代数式：，，，，中，单项式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3】．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数是1次 B．多项式的最高次项系数是4 C．一个整式不是单项式就是多项式 D．多项式是二次三项式 题型02同类项判别与相关计算 方法技巧： 1.判别核心：所含字母相同且相同字母的指数也相同（与系数、字母顺序无关）。 2.同类项计算：若两个单项式是同类项，列方程求解字母指数，如与是同类项，则、。 【典例1】．（25-26七年级上·广西桂林·期中）下列代数式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）若单项式和能合并为一项，则的值为 ． 【变式2】．（25-26七年级上·陕西安康·期中）已知与是同类项，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】．（25-26七年级上·河南许昌·期中）若单项式与是同类项，则 ． 题型03合并同类项 方法技巧： 1.步骤：先识别同类项(标记相同符号)，再系数相加(遵循有理数加法)，字母及指数保持不变。 2.易错点：避免非同类项合并，如不能合并；系数为1或-1时，“1”省略不写。 【典例1】．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·广东广州·期中）下面正确的运算是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·吉林松原·期中）合并同类项：． 【变式3】．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）合并同类项：． 题型04去括号与添括号运算 方法技巧： 1.去括号：括号前是“+”，各项符号不变；括号前是“-”，各项符号都改变；括号前有数字，需分配律乘遍括号内每一项。 2.添括号：括号前是“+”，括号内各项符号不变；括号前是“-”，括号内各项符号改变(添括号后验证是否与原式等价)。 【典例1】．（25-26七年级上·山东滨州·期中）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·重庆云阳·期中）下列去括号变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·北京·期中）化简： (1)； (2)． 【变式3】．（25-26七年级上·四川绵阳·期中）去括号，并合并同类项： (1) (2) 题型05整式加减基础运算 方法技巧： 1.核心步骤：先去括号(多层括号可由内向外或由外向内)，再合并同类项，最终化为最简整式(无同类项)。 2.符号处理：减多项式时，先将减号变加号，括号内所有项变号，再合并同类项。 【典例1】．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）化简： (1) (2) 【变式1】．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）化简： (1) (2) 【变式2】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）化简： (1)； (2)． 【变式3】．（25-26七年级上·广东广州·期中）化简下列各式： (1)； (2)； 题型06整式的化简求值 方法技巧： 1.步骤：先化简代数式(减少计算量)，再代入数值(负数、分数需加括号)，最后按运算顺序计算。 2.注意：代入时保持原式运算符号不变，省略的乘号需补全，如代入得。 【典例1】．（25-26七年级上·河南许昌·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】．（25-26七年级上·重庆云阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式2】．（24-25七年级上·广东深圳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏·期中）先化简，再求值：，其中，． 题型07代数式求值(整体代入法) 方法技巧： 1.核心思路：不单独求字母值，将含字母的式子视为整体(如)，代入目标代数式。 2.变形技巧：对目标代数式拆分、凑整，匹配已知整体，如已知，则。 【典例1】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若，则代数式的值为 ． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽宣城·期中）若，则的值为 ． 【变式2】．（25-26七年级上·河南周口·期中）若代数式的值是4，那么的值是 ． 【变式3】．（25-26九年级上·吉林·开学考试）若，则的值为 ． 题型08整式加减中的无关项问题 方法技巧： 1.无关项条件：代数式的值与某字母无关，则该字母所有同类项的系数和为0。 2.解题步骤：先化简整式，合并同类项后，令无关字母的系数等于0，列方程求解参数。 【典例1】．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知， (1)化简； (2)若m是整数且的值与a的取值无关，求m的值 【变式1】．（25-26七年级上·福建厦门·期中）定义：若，则称x是y关于m的相关数． (1)若6是a关于2的相关数，则_______； (2)若A是B关于m的相关数，，B的值与m无关，求B的值． 【变式2】．（25-26七年级上·河南·期中）已知，． (1)化简； (2)当，，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图1，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点A表示的数为a，点C表示的数为1． (1)求代数式的值． (2)已知多项式的值与的取值无关，求的值． (3)在（2）的条件下，如图2，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，，依次进行下去，利用图形揭示的规律，求代数式的值． 题型09图形中的整式表示(周长/面积/数量) 方法技巧： 1.几何图形：根据公式(长方形周长、面积等)，用字母表示边长，列式后化简。 2.组合图形：采用“整体减空白”或“分割求和”，拆分图形为基础图形，再用整式表示。 【典例1】．（25-26七年级上·山西朔州·期中）如图，在边长为的正方形纸片上剪去四个直径都为的半圆． (1)求阴影部分的周长；（用含的代数式表示） (2)当时，阴影部分的周长是多少？（取3.14） 【变式1】．（25-26七年级上·河南新乡·期中）如图，新乡市品质公园的广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的周长（用含，的式子表示）． (2)若，满足，求该广场音乐喷泉的周长． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）对联是中华传统文化的瑰宝，对联（阴影部分）装裱后，如图所示，上下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为侧边，一般情况下，天头长是对联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的，左右的侧边宽相等．若某副对联长为，宽为． (1)天头长＝______；地头长＝______；侧边宽＝______； (2)求这副对联装裱后的周长（用含m、n代数式表示）； (3)若，，求这副对联装裱后的面积． 【变式3】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）某市体育中心以“千帆竞渡”为造型，集多功能场馆集群与滨海景观于一体，创新可开启屋盖设计，集成智慧管理系统，是可承办国际赛事的滨水体育地标．体育中心总体占地近似为一个正方形，主要由田径体育场、室外活动场所和室内配套场所三部分组成．田径体育场建在边长的正方形中，室外活动场所建在边长的正方形中，阴影部分建室内配套场所． (1)求室内配套场所（阴影部分）的面积（用含，的代数式表示，并化简）； (2)若米，米，那么室内配套场所面积为多少平方米？ 题型10程序框图中的整式运算与循环规律 方法技巧： 1.程序运算：根据框图规则，列出整式表达式(如输入，输出)，按循环次数计算。 2.循环规律：先计算前5次输出结果，找出循环周期，用“总次数÷周期”判断目标结果(如周期为2，第2024次为偶数次循环结果)。 【典例1】．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图是一个运算程序的示意图．若开始输入的值为，则第次输出的结果为 （    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为16，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，…，则第2028次输出的结果为 ． 【变式2】．（24-25六年级上·上海·期末）在下列流程图中，输入19，则输出（    ） A． B． C． D．7 【变式3】．（25-26八年级上·山西晋城·期中）任意给定一个非零的数，按如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的结果是（   ） A． B．-7a C． D． 题型11复杂规律探索(图形+数字结合) 方法技巧： 1.图形规律：数出前3-4个图形的数量(如小正方形、圆点个数)，转化为数列，再归纳第 项整式。 2.跨学科规律：结合实际背景(如烷烃化学式、蜂巢结构)，提取数字特征(如碳原子数 与氢原子数的关系)，推导通用表达式。 【典例1】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）数学来源于生活，又服务于生活．让我们一起探索有趣的“渔网中的数学”： (1)观察与探究：图①、②、③、④都是由绳索编织成的网状图形，我们把这种网状图形中的交叉点称为“结点”，把网中的洞称为“网眼”，把构成网眼的小段绳索称为“边”． 观察图形，补全下列表格： 序号 结点数 网眼数 边数 图① _____ 2 5 图② 4 _____ 6 图③ 5 4 _____ 图④ 8 _____ 12 (2)猜想与验证：上述、、之间具有怎样的数量关系？再画一个类似的平面图形，验证你的猜想； (3)应用与拓展：渔民老张对某水域鱼体型大小的初步判断，认为使用单位面积中含485~525个网眼的渔网效果最佳，图⑤是一张渔网的一部分，已知该渔网有500个“结点”，每个结点处都有4条“边”，通过计算说明这张渔网是否符合渔民老张的需求？ 【变式1】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数形结合是重要的数学思想，通过数与形的相互转化，利用“以形助数”或“以数解形”，将抽象的数量关系与直观的图形结合起来解决问题．下面借助数形结合思想进行探究． (1)小明观察图1、2分别得到等式：，． ①从小明的观察视角，写出图3所对应的等式____________； ②运用发现的规律简便计算：； (2)小亮观察图1、2分别得到等式：，． ①从小亮的观察视角，写出图3所对应的等式____________； ②运用发现的规律解决下面实际问题： 学校举办“阶梯队列表演”，队列从第1排1人，第2排2人，第3排3人，…，依次增加到第m排m人，再从第排开始，每排人数比前一排少1人，直到最后1排1人．现有100名学生参与表演，恰好能排成这样的“阶梯队列”，求m的值． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中表示行数，表示列数），每个位置（第行和第列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1，2行的“点阵”规律，按要求填写： ①__________； ②__________； ③__________（用含的代数式表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，兴趣小组的学生进一步发现： ， ， ， …… 据此归纳： 对任意正整数，有． 设（且为正整数），若，求的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律： __________（用含的代数式表示）；__________（用含，的代数式表示）． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）我国现行的二代身份证号码是18个数字（第18位可能由字母X表示），它是由（从左至右）前17位数字本体码和最后1位校验码组成的． 小睿同学通过查阅资料发现：身份证前6位为行政区划代码，第7至14位为出生日期码，第15至17位为顺序码，第18位为校验码．第18位校验码由前17位数字根据一定规则计算得出．为了方便表示，现将身份证的18位数字（从左至右）依次记为：，，…，，，其中表示（从左至右）第1位上的数字．计算校验码的规则是： 步骤1．将每一位数字本体码分别乘以一个指定的数，之后将乘积相加，求得S．具体公式为： ； 步骤2．将S除以11得到余数Y； 步骤3．查阅下表得到对应的校验码（其中X为罗马数字，用来代替10） 余数Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 校验码 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 小睿同学决定用自己的身份证号码验证一下，他的身份证前17位数字本体码是：11010820101008324（如下表），请按照校验码计算规则完成下列问题： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 1 0 1 0 8 2 0 1 0 1 0 0 8 3 2 4 (1)小睿同学的身份证号码按照公式求得的______，余数______； (2)小睿同学的身份证号码中校验码是______； (3)小睿想要在小方同学生日时给他惊喜，已知小方同学身份证号码的一部分，如下： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 1 0 1 0 2 0 1 1 0 3 2 0 5 1 且小方身份证号按公式求得的S为131，于是他通过上述规则推算出小方同学身份证号码中的校验码是______，小方同学的生日是2011年3月______日． 题型12整式的实际应用(分段计费/几何综合) 方法技巧： 1.分段计费：根据收费标准，分区间列整式(如水费、电费)，代入用量时先判断区间，再计算总费用。 2.几何综合：结合图形动点、折叠问题，用字母表示变化的边长，列整式表示周长/面积，再根据条件求解。 【典例1】．（25-26七年级上·福建福州·期中）出租车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元． (1)小王乘坐出租车从公司回家，有两条路线可选，其中路线行车里程为9公里，但路线车流量较多，行车时间较长需40分钟；路线行车里程为11公里，行车时间只需30分钟，请问他让出租车司机走哪条路线车费较少，请计算说明． (2)若明明乘坐出租车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则明明应付车费多少元（用含、的代数式表示，并化简．） 【变式1】．（25-26七年级上·四川成都·期中）为了鼓励居民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 月用水量 不超过10吨 超过10吨不超过20吨的部分 超过20吨的部分 收费标准（元/吨） 3 4 6 已知小明家2025年上半年的用水情况如下表（以15吨为标准，超出15吨记为正，低于15吨记为负）： 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用水量最少的月份用水_______吨，上半年共用水_______吨； (2)请分别求出小明家4月份和5月份应交纳的水费； (3)若小明家7月份用水量为x吨，求小明家7月份应交纳的水费（用含x的代数式表示，结果需化简）． 【变式2】．（25-26七年级上·浙江金华·期中）某地区居民用电收费方式有以下两种： 方式一：未开通峰谷 阶梯递增电价 Ⅰ档（月用电量230度及以 下） Ⅱ档（月用电量231-420度 的部分） Ⅲ档（月用电量421度及以 上的部分） 0.50元／度 0.55元／度 0.80元／度 方式二：开通峰谷 时段 峰谷分时电价 Ⅰ档（月用电量230度及以下） Ⅱ档（月用电量231－420度的部分） Ⅲ档（月用电量421度及以上的部分） 高峰时段（8:00-22:00） 0.53元／度 0.58元／度 0.83元／度 低谷时段（8:00-22:00以外时间） 0.30元／度 0.35元／度 0.60元／度 (1)已知小明家3月的电费处于Ⅰ档，若开通峰谷电，则高峰时段电费比未开通峰谷时贵 元／度，低谷时段电费比未开通峰谷时节约 元／度． (2)已知小明家12月份用电500度．若未开通峰谷，需缴交电费多少元？ (3)经测算，小安家6-9月份平均每个月用电度（低谷总用电量占），其他月份平均每个月用电度（低谷用电量占）．则小安家全年能节约 元电费（用含的代数式表示）． 【变式3】．（25-26七年级上·四川成都·期中）【问题背景】 如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接． 【初步探究】 （1）当，时，求四边形的面积 （2）当为何值时，四边形的面积与的取值无关： 【拓展提升】 （3）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的分别是和，若，试比较区、区显示的结果哪个大，并说明理由． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 整式及其加减 教学目标 1.理解单项式、多项式、整式及同类项的概念，明确相互间的区别与联系。 2.掌握合并同类项、去括号法则，能熟练进行整式加减运算。 3.能列代数式表示实际问题中的数量关系，会求代数式的值。 4.体会“数式通性”，初步形成符号意识和抽象思维能力。 5.运用整式加减解决简单实际问题及规律探究题。 教学重难点 1.重点 （1）同类项的判断与合并同类项运算。 （2）去括号法则的准确应用。 （3）整式的化简与加减运算。 （4）列代数式表示数量关系。 2.难点 （1）括号前是“-”号或有系数时的去括号运算。 （2）整式加减中“不含某项”“与字母无关”问题的解决。 （3）单项式系数、次数及多项式项数、次数的准确判断。 （4）结合实际情境或图形的规律探究与整式表示。 考点01 代数式 核心知识点： 1.代数式的定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独一个数或一个字母也是代数式（不含等号、不等号）。 2.书写规范： ①数字在前，字母在后（如3a，而非a3）； ②乘号省略或写为“·”（如ab或a·b）； ③除法写成分数形式（如a÷2写为）； ④带分数化为假分数（如写为）； ⑤和差形式带单位需加括号（如元）。 3.列代数式：遵循“先读先写”，明确数量关系（和、差、积、商、倍、平方等），复杂关系分层列式。 考点02 整式的相关概念 类别 核心知识点（加粗） 单项式 1.定义：数或字母的积（单独一个数/字母也是）；2.系数：数字因数（含符号，如-5xy的系数为-5）；3.次数：所有字母的指数和（如的次数为3）。 多项式 1.定义：几个单项式的和； 2.项：组成多项式的单项式（含符号，如的项为、、1）；3.常数项：不含字母的项； 4.次数：次数最高项的次数（如的次数为3）。 整式 单项式和多项式统称整式（分母含字母的不是整式）。 考点03 同类项 核心知识点： 1.同类项的定义（两相同）：①所含字母相同；②相同字母的指数也相同（与系数、字母顺序无关）。 2.常数项都是同类项（如5和-3是同类项）。 考点04 合并同类项 核心知识点： 1.法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变。 2.步骤：先找同类项，再合并（系数相加，字母部分不变）。 考点05 去括号与添括号 核心知识点： 去括号法则：①括号前是“+”，去括号后各项符号不变（如）；②括号前是“-”，去括号后各项符号改变（如）。 添括号法则：①括号前是“+”，括入各项符号不变（如）；②括号前是“-”，括入各项符号改变（如）。 关键：括号前有数字因数，需用乘法分配律乘括号内每一项（如）。 考点06 整式的加减运算 核心知识点： 1.运算步骤：先去括号（或添括号），再合并同类项。 2.关键要点：①遵循“先括号内，后括号外”；②注意符号变化，避免漏乘；③合并同类项要彻底。 考点07 代数式求值 核心知识点： 1.直接代入：用具体数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算（负数、分数代入需加括号）。 2.整体代入（高频考点）：将代数式变形为含已知式子的形式，代入求值（如已知，求的值，变形为）。 考点08 规律探索 核心知识点： 1.探索步骤：观察特殊情况→猜想一般规律→用代数式表示→验证规律。 2.常见类型：①数字规律（数列、等式，如）；②图形规律（个数、周长、面积，如第n个图形需根火柴）；③数表规律（每行每列的数量关系，如前n行共有个数）；④循环规律（找出周期，计算位置对应的结果）。 考点09 整式的实际应用 核心知识点： 1.几何图形类：用整式表示长方形、多边形的周长（如长方形周长）、面积（如三角形面积）。 2.实际场景类：费用计算（如水费、购物费）、数量关系（如产量、路程），核心是建立整式模型表达数量关系。 考点10：整式加减中的无关项问题（高频易错） 核心知识点： 1.若整式化简后不含某一项（如不含项），则该项的系数为0。 2.步骤：先化简整式→合并同类项→令无关项的系数等于0→求解参数。 题型01整式、单项式与多项式概念辨析 方法技巧： 1.整式判定：不含分母（或分母无字母），单项式和多项式统称整式。 2.单项式三要素：数与字母的积（单独数/字母也是），系数为数字因数（含符号），次数为所有字母指数和（常数项次数为0）。 3.多项式三要素：几个单项式的和，项数为单项式个数（含常数项），次数为最高次项的次数。 【典例1】．（25-26七年级上·广东广州·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．0是单项式 B．单项式的次数是2 C．是单项式 D．单项式的系数是 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式的定义、次数和系数的概念，掌握相关知识是解题的关键．根据单项式的定义：数字与字母的乘积称为单项式，单独的一个数字或字母也是单项式；次数是所有变量指数的和；系数是数字部分（包括常数），由此求解即可． 【详解】A、单项式是数字或字母的积，0是数字，因此是单项式，故正确，符合题意； B、中，x的指数为2，y的指数为1，次数为，故错误，不符合题意； C、不是整式，不是单项式，故错误，不符合题意； D、的系数是数字部分，包括π，即系数为，不是，故错误，不符合题意． 故选：A． 【变式1】．（25-26七年级上·北京西城·期中）下列说法中正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是3 C．是单项式 D．是四次二项式 【答案】B 【分析】本题考查单项式的系数、次数以及多项式的定义和次数．根据单项式和多项式的基本概念逐一判断各选项． 【详解】解：A、的系数是，原说法错误，不符合题意； B、的次数是3，正确，符合题意； C、是多项式，原说法错误，不符合题意； D、是二次二项式，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【变式2】．（25-26七年级上·广东广州·期中）在下列代数式：，，，，中，单项式有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了单项式的定义，掌握单项式的概念是解决本题的关键．数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式． 【详解】解：在这一组数中只有代数式：，，是单项式，共3个； 分母中含有字母，故不是单项式． 故选：A 【变式3】．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）下列说法正确的是（   ） A．单项式的次数是1次 B．多项式的最高次项系数是4 C．一个整式不是单项式就是多项式 D．多项式是二次三项式 【答案】C 【分析】本题考查整式的分类，单项式与多项式的定义，熟练掌握整式的定义是解题的关键，利用整式的分类和单项式，多项式的系数与次数的知识来判定即可得到答案． 【详解】解：A、单项式中，和的指数均为1，次数为 ，不是1次，故此项错误； B、多项式的最高次项为，次数为3，系数为，不是4，故此项错误； C、整式分为单项式和多项式，故此项正确； D、多项式有四项，故此项错误； 故选：C． 题型02同类项判别与相关计算 方法技巧： 1.判别核心：所含字母相同且相同字母的指数也相同（与系数、字母顺序无关）。 2.同类项计算：若两个单项式是同类项，列方程求解字母指数，如与是同类项，则、。 【典例1】．（25-26七年级上·广西桂林·期中）下列代数式中，与是同类项的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类项的判断，准确分析是解题的关键．根据同类项的定义，即字母相同、相同字母的指数相同的两个单项式是同类项判断即可． 【详解】解：A、 不是单项式，与不是同类项，本选项不符合题意； B、与，字母不相同，则不是同类项，本选项不符合题意； C、与，字母相同，字母的指数不相同，则不是同类项，本选项不符合题意； D、与，字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）若单项式和能合并为一项，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查同类项的概念，熟记含有字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫作同类项，是解题的关键． 两个单项式能合并为一项，说明它们是同类项，进而求解即可． 【详解】解：由题意得，单项式和是同类项， ∴的指数相等，即；的指数相等，即， 解得，， ∴， 故答案为：4． 【变式2】．（25-26七年级上·陕西安康·期中）已知与是同类项，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类项定义，根据与是同类项，再由同类项定义求得的值即可，掌握同类项所含字母相同、相同字母的指数也相同是解题的关键． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴，， 故选：． 【变式3】．（25-26七年级上·河南许昌·期中）若单项式与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是同类项的定义，灵活运用“所含字母相同且相同字母的指数也相同”这一核心条件是解题的关键．根据同类项的定义，分别对字母、的指数列方程，进而求出、的值，最终计算的结果． 【详解】单项式与是同类项，所以的指数相等，即，解得；的指数相等，即，解得． 因此． 故答案为：． 题型03合并同类项 方法技巧： 1.步骤：先识别同类项(标记相同符号)，再系数相加(遵循有理数加法)，字母及指数保持不变。 2.易错点：避免非同类项合并，如不能合并；系数为1或-1时，“1”省略不写。 【典例1】．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握同类项的定义是解题关键．根据合并同类项法则逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误． 故选：C． 【变式1】．（25-26七年级上·广东广州·期中）下面正确的运算是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的判定与合并同类项法则，解题的关键是明确“同类项是所含字母相同且相同字母的指数也相同的项，合并同类项时系数相加减、字母及指数不变”．逐一判断选项中各项是否为同类项，再验证合并结果是否正确． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，此选项不符合题意； D、，此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】．（25-26七年级上·吉林松原·期中）合并同类项：． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题关键．先去括号，再合并同类项即可得． 【详解】解：原式 ． 【变式3】．（25-26七年级上·陕西宝鸡·期中）合并同类项：． 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项的法则：系数直接相加减，字母以及字母的指数不变，进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 题型04去括号与添括号运算 方法技巧： 1.去括号：括号前是“+”，各项符号不变；括号前是“-”，各项符号都改变；括号前有数字，需分配律乘遍括号内每一项。 2.添括号：括号前是“+”，括号内各项符号不变；括号前是“-”，括号内各项符号改变(添括号后验证是否与原式等价)。 【典例1】．（25-26七年级上·山东滨州·期中）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号的规则：去括号法则：如果括号前是“”号，去括号后，括号内各项的符号不变；如果括号前是“”号，去括号后，括号内各项的符号都要改变．当括号前有数字因数时，应利用乘法分配律将数字因数（连同其符号）乘以括号内的每一项．需逐项验证是否符合规则。 【详解】解： 选项A：，故错误； 选项B：，故错误； 选项C： ，正确； 选项D：，故错误； ∴ 正确答案为C． 故选：C． 【变式1】．（25-26七年级上·重庆云阳·期中）下列去括号变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了去括号，熟练掌握去括号法则是关键．当括号前是“+”号时，去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号都不变号；当括号前是“－”号时，去掉括号和前面的“－”号，括号内各项的符号都要变号． 根据去括号法则逐项分析即可． 【详解】解：选项A：，去括号正确； 选项B：，去括号错误； 选项C：，去括号正确； 选项D：，去括号正确． 故选B． 【变式2】．（25-26七年级上·北京·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了去括号法则与合并同类项，解题的关键是正确运用去括号法则并准确合并同类项． （1）找到同类项进行合并即可； （2）先根据去括号法则去掉括号，再将同类项进行合并． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．（25-26七年级上·四川绵阳·期中）去括号，并合并同类项： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号法则、合并同类项法则，属于中考常考题型． （1）去括号后合并同类项即可； （2）去括号后合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） 题型05整式加减基础运算 方法技巧： 1.核心步骤：先去括号(多层括号可由内向外或由外向内)，再合并同类项，最终化为最简整式(无同类项)。 2.符号处理：减多项式时，先将减号变加号，括号内所有项变号，再合并同类项。 【典例1】．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，掌握整式的加减相关运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）将同类项合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式1】．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先去括号，然后合并同类项即可； （2）按照去括号，合并同类项的步骤求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前为负时，去括号要变号． （1）原式直接合并同类项即可得到答案； （2）原式先去括号，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）原式 ． 【变式3】．（25-26七年级上·广东广州·期中）化简下列各式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算（去括号、合并同类项），解题的关键是正确去括号、识别同类项并合并． （1）直接找出同类项，合并对应系数； （2）先利用分配律去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： （2）解： 题型06整式的化简求值 方法技巧： 1.步骤：先化简代数式(减少计算量)，再代入数值(负数、分数需加括号)，最后按运算顺序计算。 2.注意：代入时保持原式运算符号不变，省略的乘号需补全，如代入得。 【典例1】．（25-26七年级上·河南许昌·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；35 【分析】此题考查整式的化简求值，正确掌握整式的加减计算法则是解题的关键． 先去括号，再合并同类项后将未知数的值代入计算． 【详解】解： ， 当，时， ． 【变式1】．（25-26七年级上·重庆云阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减运算的化简求值，先去括号再合并同类项，得，再把，分别代入计算，即可作答． 【详解】解： ， 当，时， 【变式2】．（24-25七年级上·广东深圳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后把，代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 当，时，原式． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则．原式去括号，合并同类项进行化简，然后将a、b的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 题型07代数式求值(整体代入法) 方法技巧： 1.核心思路：不单独求字母值，将含字母的式子视为整体(如)，代入目标代数式。 2.变形技巧：对目标代数式拆分、凑整，匹配已知整体，如已知，则。 【典例1】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）若，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】题目主要考查整式的加减运算，求代数式的值，通过去括号和合并同类项，将代数式化简为，再利用已知条件 整体代入求值即可． 【详解】解： 由已知 ，得 ， 故答案为：1． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽宣城·期中）若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、代数式求值等知识点，掌握整体代入思想是解题的关键． 先运用整式的加减运算化简代数式并变形，再将整体代入求值即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 【变式2】．（25-26七年级上·河南周口·期中）若代数式的值是4，那么的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查代数式运算，熟练掌握代数式化简求值是解题的关键． 通过简化目标代数式，发现其可转化为已知代数式的倍数，从而整体代入求值即可． 【详解】解：已知 ， 所以 ， 故答案为：． 【变式3】．（25-26九年级上·吉林·开学考试）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，求代数式的值，运用整体思想是解题的关键；由已知变形得，，再把化简得，再整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型08整式加减中的无关项问题 方法技巧： 1.无关项条件：代数式的值与某字母无关，则该字母所有同类项的系数和为0。 2.解题步骤：先化简整式，合并同类项后，令无关字母的系数等于0，列方程求解参数。 【典例1】．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）已知， (1)化简； (2)若m是整数且的值与a的取值无关，求m的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算． （1）将，代入计算即可； （2）先表示出，令的系数为零求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． ∵的值与的取值无关， ∴， 解得． 【变式1】．（25-26七年级上·福建厦门·期中）定义：若，则称x是y关于m的相关数． (1)若6是a关于2的相关数，则_______； (2)若A是B关于m的相关数，，B的值与m无关，求B的值． 【答案】(1)4 (2)7 【分析】本题考查了新定义运算，整式的加减无关类型，理解新定义是解题的关键． （1）根据定义列出式子求解即可； （2）根据新定义求得B，进而根据题意B的值与m无关，令含m项的系数为0即可求解． 【详解】（1）解：∵6是a关于2的相关数， ∴ 解得； 故答案为：4； （2）解：∵A是B关于m的相关数，， ∴， ， B的值与m无关， ∴，得， ． 【变式2】．（25-26七年级上·河南·期中）已知，． (1)化简； (2)当，，求的值； (3)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减、化简求值和无关型问题，与y的取值无关即与y有关的项系数和为0． （1）根据整式的加减运算法则计算即可； （2）根据（1）中的化简结果整体代入即可； （3）根据的值与y的取值无关得到关于x的方程，解方程求得x的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以 ； （2）解：当，时， ； （3）解： ， 若的值与的取值无关，则， 解得：， 所以 ． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图1，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点A表示的数为a，点C表示的数为1． (1)求代数式的值． (2)已知多项式的值与的取值无关，求的值． (3)在（2）的条件下，如图2，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，，依次进行下去，利用图形揭示的规律，求代数式的值． 【答案】(1)25 (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，整式加减中的无关型问题，整式的化简求值，有理数与数轴，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式可得，解方程求出a的值，再把所求式子合并同类项后代值计算即可； （2）把所给多项式合并同类项，令含的项的系数为0，从而求出m的值，再代值计算即可； （3）根据图形面积之间的关系可得，再结合（2）所求计算求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，点A表示的数为a，点C表示的数为1， ∴， ∴， ∴ ； （2）解： ， ∵多项式的值与的取值无关， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，； 由图可知， ∴ ． 题型09图形中的整式表示(周长/面积/数量) 方法技巧： 1.几何图形：根据公式(长方形周长、面积等)，用字母表示边长，列式后化简。 2.组合图形：采用“整体减空白”或“分割求和”，拆分图形为基础图形，再用整式表示。 【典例1】．（25-26七年级上·山西朔州·期中）如图，在边长为的正方形纸片上剪去四个直径都为的半圆． (1)求阴影部分的周长；（用含的代数式表示） (2)当时，阴影部分的周长是多少？（取3.14） 【答案】(1) (2)45.4 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，正确列式是解题的关键； （1）根据剩下部分的周长4个半圆的周长求解即可； （2）把，代入（1）的式子计算即可． 【详解】（1）解：， 答：剩下部分的周长是； （2）解：当，时， 答：剩下部分的周长为． 【变式1】．（25-26七年级上·河南新乡·期中）如图，新乡市品质公园的广场是一个长方形，长为米，宽为米．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为米、米（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的周长（用含，的式子表示）． (2)若，满足，求该广场音乐喷泉的周长． 【答案】(1)米 (2)50米 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值、非负数的性质，理解题意，正确列出代数式是解此题的关键． （1）先表示出该音乐喷泉池的长和宽，再根据长方形的周长公式计算即可得解； （2）根据非负数的性质求出，，再代入（1）中的式子计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得， 该音乐喷泉池的长为：米，宽为米， 该音乐喷泉池的周长为： 米 该音乐喷泉池的周长是米； （2）解：由题意得，且， 解得，， 该广场音乐喷泉的周长为：（米）， 即该广场音乐喷泉的周长为50米． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）对联是中华传统文化的瑰宝，对联（阴影部分）装裱后，如图所示，上下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为侧边，一般情况下，天头长是对联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的，左右的侧边宽相等．若某副对联长为，宽为． (1)天头长＝______；地头长＝______；侧边宽＝______； (2)求这副对联装裱后的周长（用含m、n代数式表示）； (3)若，，求这副对联装裱后的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查整式加减的应用； （1）根据“天头长是对联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的”列代数式即可； （2）表示出装裱后的长和宽，再求周长即可； （3）把，，代入求出装裱后的长和宽，最后求面积即可． 【详解】（1）解：∵天头长是对联长的，地头长是天头长的，侧边宽是天头长的， ∴天头长；地头长；侧边宽， 故答案为：，，； （2）解：装裱后的长 ， 装裱后的宽， 装裱后的周长； （3）解：当，时， 答：这副对联装裱后的面积为． 【变式3】．（25-26八年级上·福建泉州·期中）某市体育中心以“千帆竞渡”为造型，集多功能场馆集群与滨海景观于一体，创新可开启屋盖设计，集成智慧管理系统，是可承办国际赛事的滨水体育地标．体育中心总体占地近似为一个正方形，主要由田径体育场、室外活动场所和室内配套场所三部分组成．田径体育场建在边长的正方形中，室外活动场所建在边长的正方形中，阴影部分建室内配套场所． (1)求室内配套场所（阴影部分）的面积（用含，的代数式表示，并化简）； (2)若米，米，那么室内配套场所面积为多少平方米？ 【答案】(1)平方米 (2)44000平方米 【分析】本题考查了代数式的表示，以及代数式的计算，解决本题的关键是掌握阴影面积的表示． （1）根据大的正方形的面积减去田径体育场的面积与室外活动场所的面积，即可求解； （2）将，代入求解即可． 【详解】（1）解： ， 答：阴影部分面积为平方米； （2）解：当，时， 平方米， 答：阴影部分面积为44000平方米． 题型10程序框图中的整式运算与循环规律 方法技巧： 1.程序运算：根据框图规则，列出整式表达式(如输入，输出)，按循环次数计算。 2.循环规律：先计算前5次输出结果，找出循环周期，用“总次数÷周期”判断目标结果(如周期为2，第2024次为偶数次循环结果)。 【典例1】．（25-26七年级上·江苏南京·期中）如图是一个运算程序的示意图．若开始输入的值为，则第次输出的结果为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，根据前几次输出结果总结归纳出规律，利用规律求解． 【详解】解：由题图，得当时，因为，所以第次输出的结果为； 将作为代入进行运算，因为，所以第次输出的结果为； 将作为代入进行运算，因为，所以第次输出的结果为； 将作为代入进行运算，因为，所以第次输出的结果为 所以输出的结果从第次开始按，的顺序循环． 又，所以第次输出的结果为． 故选：A. 【变式1】．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为16，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，…，则第2028次输出的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，计算出前6次的输出结果， 可得每四次输出结果为一个循环，输出的数依次为8，4，2，1，据此规律求解即可． 【详解】解：第一次输出的结果为8， 第二次输出的结果为4， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， ……， 以此类推，可知每四次输出结果为一个循环，输出的数依次为8，4，2，1， ∵， ∴第2028次输出的结果为1， 故答案为：1． 【变式2】．（24-25六年级上·上海·期末）在下列流程图中，输入19，则输出（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查流程图与代数式求值．根据流程图，列式计算，再取相反数进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 7的相反数为：； 故选：A． 【变式3】．（25-26八年级上·山西晋城·期中）任意给定一个非零的数，按如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的结果是（  ） A． B．-7a C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握规定的运算顺序与计算方法是解题的关键． 按照规定的运算顺序与计算方法计算得出即可． 【详解】解：由题可得：， ， ， 故选：D 题型11复杂规律探索(图形+数字结合) 方法技巧： 1.图形规律：数出前3-4个图形的数量(如小正方形、圆点个数)，转化为数列，再归纳第 项整式。 2.跨学科规律：结合实际背景(如烷烃化学式、蜂巢结构)，提取数字特征(如碳原子数 与氢原子数的关系)，推导通用表达式。 【典例1】．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）数学来源于生活，又服务于生活．让我们一起探索有趣的“渔网中的数学”： (1)观察与探究：图①、②、③、④都是由绳索编织成的网状图形，我们把这种网状图形中的交叉点称为“结点”，把网中的洞称为“网眼”，把构成网眼的小段绳索称为“边”． 观察图形，补全下列表格： 序号 结点数 网眼数 边数 图① _____ 2 5 图② 4 _____ 6 图③ 5 4 _____ 图④ 8 _____ 12 (2)猜想与验证：上述、、之间具有怎样的数量关系？再画一个类似的平面图形，验证你的猜想； (3)应用与拓展：渔民老张对某水域鱼体型大小的初步判断，认为使用单位面积中含485~525个网眼的渔网效果最佳，图⑤是一张渔网的一部分，已知该渔网有500个“结点”，每个结点处都有4条“边”，通过计算说明这张渔网是否符合渔民老张的需求？ 【答案】(1)表格见解析 (2)，见解析 (3)符合渔民老张的需求，见解析 【分析】本题考查了图形变化的规律及有理数的减法，能根据所给图形发现、、之间的关系式是解题的关键． （1）观察图形可得结论； （2）根据表格中数据可求出、、之间的关系式； （3）先求出边数，再根据、、之间的关系式求解即可． 【详解】（1）解：观察与探究：补全表格如下： 序号 结点数 网眼数 边数 图① 4 2 5 图② 4 3 6 图③ 5 4 8 图④ 8 5 12 （2）猜想与验证：． 根据表格中的数据可知， ， 由此可得：， 验证举例画图说明（答案不唯一）． 结点数，网眼数，边数，满足； （3）应用与拓展： 符合渔民老张的需求．理由如下： 由题意知边数为：（条） ， 这张渔网网眼数为：（个）， 在范围之内 符合渔民老张的需求． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数形结合是重要的数学思想，通过数与形的相互转化，利用“以形助数”或“以数解形”，将抽象的数量关系与直观的图形结合起来解决问题．下面借助数形结合思想进行探究． (1)小明观察图1、2分别得到等式：，． ①从小明的观察视角，写出图3所对应的等式____________； ②运用发现的规律简便计算：； (2)小亮观察图1、2分别得到等式：，． ①从小亮的观察视角，写出图3所对应的等式____________； ②运用发现的规律解决下面实际问题： 学校举办“阶梯队列表演”，队列从第1排1人，第2排2人，第3排3人，…，依次增加到第m排m人，再从第排开始，每排人数比前一排少1人，直到最后1排1人．现有100名学生参与表演，恰好能排成这样的“阶梯队列”，求m的值． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】本题主要考查了图形规律类探索，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）①根据题意写出图3所对应的等式即可； ②由规律得到，，代入计算即可； （2）①根据题意写出图3所对应的等式即可； ②由规律得到，据此计算即可． 【详解】（1）解：①图1得到等式：， 图2得到等式： 从小明的观察视角，图3所对应的等式：； ②由规律得到，， ∴ ； （2）解：①小亮观察图1得到等式：， 小亮观察图2得到等式：， 从小亮的观察视角，写出图3所对应的等式：， ②由题意得： 因为是正整数，所以 所以 所以． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律．在某次综合与实践活动中，学校数学兴趣小组研究如下“点阵”表（其中表示行数，表示列数），每个位置（第行和第列）对应一个独立的“点阵”，我们把该“点阵”中点的总个数记为．例如，观察第2行第3列的“点阵”，其点的总个数． 【观察与思考】 （1）观察第1，2行的“点阵”规律，按要求填写： ①__________； ②__________； ③__________（用含的代数式表示）； 【猜想与应用】 （2）基于（1）中发现的规律，兴趣小组的学生进一步发现： ， ， ， …… 据此归纳： 对任意正整数，有． 设（且为正整数），若，求的值； 【拓展与归纳】 （3）兴趣小组继续探究，尝试归纳“点阵”的一般规律： __________（用含的代数式表示）；__________（用含，的代数式表示）． 【答案】（1）①15；②；③；（2）10；（3）， 【分析】本题主要考查有理数的运算，数字的规律探索，掌握加法交换律是解题的关键． （1）①根据规律直接计算即可； ②根据规律及加法交换律得，，则即可求解；③同②的方法计算即可； （2）由可得，，再作差计算即可； （3）同（1）的计算方法计算，再根据规律求解． 【详解】（1）①； ②， ， ， ； ③， ， ， ； 故答案为：①15；②；③； （2）由（1）知，，， 则，， ， 所以的值为10； （3）， ， ， ； 由，，， 根据规律知． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）我国现行的二代身份证号码是18个数字（第18位可能由字母X表示），它是由（从左至右）前17位数字本体码和最后1位校验码组成的． 小睿同学通过查阅资料发现：身份证前6位为行政区划代码，第7至14位为出生日期码，第15至17位为顺序码，第18位为校验码．第18位校验码由前17位数字根据一定规则计算得出．为了方便表示，现将身份证的18位数字（从左至右）依次记为：，，…，，，其中表示（从左至右）第1位上的数字．计算校验码的规则是： 步骤1．将每一位数字本体码分别乘以一个指定的数，之后将乘积相加，求得S．具体公式为： ； 步骤2．将S除以11得到余数Y； 步骤3．查阅下表得到对应的校验码（其中X为罗马数字，用来代替10） 余数Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 校验码 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 小睿同学决定用自己的身份证号码验证一下，他的身份证前17位数字本体码是：11010820101008324（如下表），请按照校验码计算规则完成下列问题： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 1 0 1 0 8 2 0 1 0 1 0 0 8 3 2 4 (1)小睿同学的身份证号码按照公式求得的______，余数______； (2)小睿同学的身份证号码中校验码是______； (3)小睿想要在小方同学生日时给他惊喜，已知小方同学身份证号码的一部分，如下： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 1 0 1 0 2 0 1 1 0 3 2 0 5 1 且小方身份证号按公式求得的S为131，于是他通过上述规则推算出小方同学身份证号码中的校验码是______，小方同学的生日是2011年3月______日． 【答案】(1)150；7 (2)5 (3)，24 【分析】本题考查了数字类规律探索，代数式的应用及计算，理解题意是解此题的关键． （1）把身份证前17位号码代入S关于的表达式求出S的值，再除以11即可得到Y值； （2）由Y值根据验证码对照表可得到校验码； （3）先把已知的身份证号码代入S表达式，得到，再结合小方身份证号按公式求得的S为131，求出的值，然后由将S除以11得到余数Y，可得，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意，把小睿同学身份证前17位号码11010820101008324代入： ， 即： ， ∴． 故答案为：150；7． （2）解：当时，由校验码对照表可得，． 故答案为：5． （3）解：根据小方同学的出生年月份应该是2011年3月，故， 把及其它已知的身份证号码代入S表达式得：∵小方身份证号按公式求得的S为131， ∴ ∴ ∴， 则， 即， ∴由校验码对照表可得， 即他通过上述规则推算出小方同学身份证号码中的校验码是2，小方同学的生日是2011年3月24日． 题型12整式的实际应用(分段计费/几何综合) 方法技巧： 1.分段计费：根据收费标准，分区间列整式(如水费、电费)，代入用量时先判断区间，再计算总费用。 2.几何综合：结合图形动点、折叠问题，用字母表示变化的边长，列整式表示周长/面积，再根据条件求解。 【典例1】．（25-26七年级上·福建福州·期中）出租车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 0.4元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元． (1)小王乘坐出租车从公司回家，有两条路线可选，其中路线行车里程为9公里，但路线车流量较多，行车时间较长需40分钟；路线行车里程为11公里，行车时间只需30分钟，请问他让出租车司机走哪条路线车费较少，请计算说明． (2)若明明乘坐出租车，行车里程为公里，行车时间为分钟，则明明应付车费多少元（用含、的代数式表示，并化简．） 【答案】(1)出租车司机走路线车费较少，说明见详解 (2) 【分析】本题考查列代数式解决实际问题，读懂题意，准确列出代数式表示是解决问题的关键． （1）按照题中计价规则直接计算比较即可得到答案； （2）按照题中计价规则分段计算求解即可得到答案． 【详解】（1）解：路线行程车费为：， 路线行程车费为：， ∵， ∴出租车司机走路线车费较少； （2）解：设车费为， 若时，则； 若时，则； 综上所述明明应付车费为：． 【变式1】．（25-26七年级上·四川成都·期中）为了鼓励居民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 月用水量 不超过10吨 超过10吨不超过20吨的部分 超过20吨的部分 收费标准（元/吨） 3 4 6 已知小明家2025年上半年的用水情况如下表（以15吨为标准，超出15吨记为正，低于15吨记为负）： 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小明家用水量最少的月份用水_______吨，上半年共用水_______吨； (2)请分别求出小明家4月份和5月份应交纳的水费； (3)若小明家7月份用水量为x吨，求小明家7月份应交纳的水费（用含x的代数式表示，结果需化简）． 【答案】(1)7；107 (2)4月份水费21元，5月份水费82元 (3)当时，水费为元；当时，水费为 元；当时，水费为元 【分析】本题主要考查了正数和负数，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表中的数据即可求解； （2）先根据表格确定4月份和5月份的用水量，再根据阶梯价格列式计算； （3）根据阶梯价格列出代数式并化简即可求解． 【详解】（1）解：小明家用水量最少的月份是4月份，4月份用水（吨）， 上半年共用水：（吨）， 故答案为：7；107； （2）解：4月份用水7吨，不超过10吨， 所以4月份应交纳的水费：（元）； 5月份用水：（吨），超过了20吨， 所以5月份应交纳的水费：（元）； 答：小明家4月份应交纳水费21元，5月份应交纳水费82元； （3）解：当时，水费为元； 当时，水费为元； 当时，水费为元． 【变式2】．（25-26七年级上·浙江金华·期中）某地区居民用电收费方式有以下两种： 方式一：未开通峰谷 阶梯递增电价 Ⅰ档（月用电量230度及以 下） Ⅱ档（月用电量231-420度 的部分） Ⅲ档（月用电量421度及以 上的部分） 0.50元／度 0.55元／度 0.80元／度 方式二：开通峰谷 时段 峰谷分时电价 Ⅰ档（月用电量230度及以下） Ⅱ档（月用电量231－420度的部分） Ⅲ档（月用电量421度及以上的部分） 高峰时段（8:00-22:00） 0.53元／度 0.58元／度 0.83元／度 低谷时段（8:00-22:00以外时间） 0.30元／度 0.35元／度 0.60元／度 (1)已知小明家3月的电费处于Ⅰ档，若开通峰谷电，则高峰时段电费比未开通峰谷时贵 元／度，低谷时段电费比未开通峰谷时节约 元／度． (2)已知小明家12月份用电500度．若未开通峰谷，需缴交电费多少元？ (3)经测算，小安家6-9月份平均每个月用电度（低谷总用电量占），其它月份平均每个月用电度（低谷用电量占）．则小安家全年能节约 元电费（用含的代数式表示）． 【答案】(1)0.03，0.2 (2)小明家12月份需缴纳283.5元电费 (3) 【分析】本题考查了列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出开通峰谷全年可节省的钱数． （1）根据两种收费方式分别计算即可； （2）利用需缴交电费超过420度的部分，列式计算即可求出结论； （3）观察方式一及方式二数据间的关系，可得出“高峰时段：每度电在各档电价基础上加价0.03元，低谷时段：每度电在各占电价基础上降低0.2元”，利用开通峰谷时多出的全年电费低谷时段全年的用电量高峰时段全年的用电量，可求出开通峰谷时节约的全年电费，由，可得出，进而可得出开通峰谷全年可节省元，由此可得出小安家要开通峰谷． 【详解】（1）解：（元／度）， （元／度）， 即若开通峰谷电，则高峰时段电费比未开通峰谷时贵0.03元／度，低谷时段电费比未开通峰谷时节约0.2元／度， 故答案为：0.03；0.2； （2）解：根据题意得： （元）， ∴若未开通峰谷，需缴交电费283.5元； （3）解： （元）， ∵， ∴， ∴开通峰谷全年可节省元， 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·四川成都·期中）【问题背景】 如图1，有一长，宽的长方形电脑屏幕，动点以每秒2个单位从向运动，同时点以每秒个单位从向运动，设点的运动时间为秒，连接． 【初步探究】 （1）当，时，求四边形的面积 （2）当为何值时，四边形的面积与的取值无关： 【拓展提升】 （3）如图2，若点每运动1秒，电脑屏幕的区显示的结果就会自动加上2，同时区的结果会自动将整个代数式乘以2，且均显示化简后的结果．已知两区初始显示的分别是和，若，试比较区、区显示的结果哪个大，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）N区显示的结果大，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，代数式求值，正确理解题意和熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）求出此时的长，再根据列式求解即可； （2）同（1）求出，根据面积与t无关可得，据此可得答案； （3）根据题意求出时，M区和N区的结果，再利用作差法求解即可． 【详解】解：（1）当，时，， ∴， ∴ ； （2）由题意得，， ∴， ∴ ， ∵四边形的面积与的取值无关， ∴， ∴； （3）N区显示的结果大，理由如下： 由题意得，当时，， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴N区显示的结果大； 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $