4.2平行线（基础篇）讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

4.2平行线 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 · 平行线 1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。直线 a 与直线 b 互相平行，记作 a∥b。 1. 基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。例如，过点 P（P 不在直线 l 上），有且只有一条直线与 l 平行。 · 平行线的判定 2. 判定方法 1：同位角相等，两直线平行。如果直线 a、b 被直线 c 所截。 2. 判定方法 2：内错角相等，两直线平行。 2. 判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行。 · 平行线的性质 3. 性质 1：两直线平行，同位角相等。如果 a∥b，那么同位角相等。 3. 性质 2：两直线平行，内错角相等。例如，若 a∥b，则内错角相等。 3. 性质 3：两直线平行，同旁内角互补。即 a∥b 时，同旁内角互补。 型 习 练 题 平面内两直线的位置关系 1．如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 【答案】B 【分析】本题主要考查了同一平面内两条直线的位置关系，掌握在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种情形是解题的关键． 根据在同一平面内两条直线的位置关系有平行或相交两种进行判断即可． 【详解】解：如图中，直线c和直线d的位置关系是相交． 故选：B． 2．如图，已知直线与直线平行，下列表示方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行的符号表示，属于基础知识． 直线与直线平行，可以记作为：或，即可得到答案． 【详解】解：平行用符号∥表示，直线与直线平行，，可以记作为：或． 故选：D． 3．如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是平行公理（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）；解题的关键是利用平行公理，分析出过点的条直线中最多有条与直线平行，进而确定相交直线的最少数量． 【详解】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 过点的条直线中最多有条与直线平行，至少有条与直线相交． 故选C． 4．下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点之间线段最短 B．学而不思则罔 C．在同一平面内不相交的两条直线叫平行线 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查了定义的概念．解决本题需熟记定义概念：规定一件事情名称的句子．根据定义的概念进行判断即可． 【详解】解：A、“两点之间线段最短”是公理，不是定义，故A不符合题意； B、“学而不思则罔”是出自《论语》的名言，不是数学概念，故B不符合题意； C、“在同一平面内不相交的两条直线叫平行线”是平行线的定义，故C符合题意； D、“对顶角相等”是定理，不是定义，故D不符合题意 故选：C． 5．根据语句“直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M．”画出的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A．直线不经过点M，故本选项不合题意； B．点M在直线上，故本选项不合题意； C．点M在直线上，故本选项不合题意； D．直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M，故本选项符合题意； 故选：D． 平行公理的应用 6．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 【答案】B 【分析】本题考查垂线的性质，平行公理，根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选B． 7．下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键． 根据平行线的定义进行逐一判定即可． 【详解】解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意； B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意； 故选A． 8．下列说法正确的是（    ） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．有公共顶点且相等的两个角是对顶角 C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．已知线段，则点是线段的中点 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理，对顶角的定义，垂线的性质，以及两点间的距离，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．根据平行公理以及推论，对顶角的定义两点间的距离对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、应为：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误； B、应为：有公共顶点且两边分别互为反向延长线的两个角是对顶角，故本选项错误； C、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，故本选项正确； D、已知线段，A、B、C三点不一定共线，所以，点B不一定是线段的中点，故本选项错误． 故选：C． 9．为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（    ） A．过点可画垂直于的直线 B．过点可画的垂线 C．连接，则 D．过点可画直线与平行 【答案】C 【分析】此题考查了平行线和垂线的性质，在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：由在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直知：A、B正确，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可知D正确； 连接，则不一定与垂直，故C错误． 故选：C 10．下列说法中正确的是（   ） A．在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直 B．有且只有一条直线垂直于已知直线 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】D 【分析】本题主要考查了两条直线的位置关系、垂线段的性质、点到直线的距离以及平行线公理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 根据两条直线的位置关系、垂线段的性质、点到直线的距离以及平行线公理，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和平行，故该选项不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故该选项不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故该选项不符合题意； D、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行, 故该选项符合题意； 故选：D 平行线的判定 11．如图，下列条件无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； B、由，可以根据同位角相等，两直线平行得到，故此选项不符合题意； C、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故此选项不符合题意； D、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，故此选项符合题意； 故选：D． 12．如图，直线被直线所截，下列说法正确的是（　　） A．和是内错角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定，内错角的定义等知识，根据内错角的定义可判断选项A，根据平行线的判定定理可判断选项B，C，D． 【详解】解：．和不是内错角，故该选项不符合题意； ．若，则，推不出，故该选项不符合题意； ．若，则，推不出，故该选项不符合题意； ．若，则，故该选项符合题意； 故选：D． 13．如图，点E在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析． 【详解】解：A、∵， ∴，本选项不符合题意； B、∵， ∴，本选项不符合题意； C、∵， ∴，本选项不符合题意； D、∵， ∴，本选项符合题意． 故选：D． 14．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，关键在于找准两个角之间的关系． 直接利用平行线的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：A．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故不符合题意； B．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故符合题意； C．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故不符合题意； D．，利用同旁内角互补，两直线平行，可判断出，故不符合题意； 故选：B． 15．如图，由能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 和不是同位角，也不是内错角，无法得到，故原选项不合题意； B. ∵，∴，故原选项正确，符合题意； C. ∵，∴，故原选项错误，不合题意； D. 和不是同位角，也不是内错角，无法得到，故原选项不合题意． 故选：B 平行线的性质 16．如图，工人师傅在施工时，需在同一平面内弯制一根变形管道ABCD，使其拐，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．AB与CD相交 【答案】A 【分析】利用平行线的判定定理来判断与是否平行，再分析其他选项． 【详解】解：∵， ∴． A、根据“同旁内角互补，两直线平行”，∴，A选项符合题意； B、题中没有任何条件能表明，B选项不符合题意； C、题中没有任何条件能表明，C选项不符合题意； D、由前面得出，∴与不相交，D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是“同旁内角互补，两直线平行”来判断直线是否平行． 17．如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，，再根据角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 18．如图，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东方向航行至C点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方向角和角的有关计算的应用，根据南北方向线是平行的得出，再和相加即可得出答案． 【详解】解：如图，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 19．如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方位角及平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据方位角和平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：根据两直线平行，同旁内角互补得， ， 故选：C． 20．如图，，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 根据平行线的性质探究角的关系 21．如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 22．如图，已知，连接得到，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 由得，由得，整理可得． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 23．如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作，由平行线的传递性可得，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角，，的关系； 本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 24．如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案． 【详解】过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C． 25．如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 平行线的性质再生活中的应用 26．某天辽宁舰带两艘战舰在南海航行，三艘战舰呈品字形向前方驶去．若表示辽宁舰，表示护卫舰，表示驱逐舰，在的北偏东的方向上，在的南偏西的方向上，若测得．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方向角的知识，平行线的性质，根据方向角得到，，再根据得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，是南北方向，则， 由题意可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 27．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向右拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据题意作出图形，利用平行线的性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：当第一次向右拐时 （如图1）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ， ∴第二次需要向左拐，故A、B错误； 当第一次向左拐时 （如图2）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ， 第二次需要向右拐，故C错误；D正确． 故选：D． 28．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原来相反的方向上行驶，那么两个拐弯的角（    ） A．先向左转，再向左转 B．先向左转，再向右转 C．先向左转，再向右转 D．先向左转，再向左转 【答案】A 【分析】本题重点考查方向角的理解与应用，理解“在与原来相反的方向上行驶”意味着方向改变180度，并正确计算两次拐弯的角度和或差是解题的关键． 汽车两次拐弯后方向与原方向相反，说明两次拐弯的总方向改变量为180度，根据这个判断即可． 【详解】汽车两次拐弯后方向与原方向相反，说明两次拐弯的总方向改变量为180度， 选项A，先向左转，再向左转，总改变量为，满足条件； 选项B，先向左转，再向右转，总改变量为，方向不变，不符合； 选项C，先向左转，再向右转，总改变量为，不符合； 选项D，先向左转，再向左转，总改变量为，不符合． 故选：A． 29．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．先根据题意得出，故可得出，再由得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：如图， ∵，， ， ∵，， ， ． 故选：A． 30．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据平行线的性质定理求解即可． 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ，， ， 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2平行线 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 · 平行线 1. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。直线 a 与直线 b 互相平行，记作 a∥b。 1. 基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。例如，过点 P（P 不在直线 l 上），有且只有一条直线与 l 平行。 · 平行线的判定 2. 判定方法 1：同位角相等，两直线平行。如果直线 a、b 被直线 c 所截。 2. 判定方法 2：内错角相等，两直线平行。 2. 判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行。 · 平行线的性质 3. 性质 1：两直线平行，同位角相等。如果 a∥b，那么同位角相等。 3. 性质 2：两直线平行，内错角相等。例如，若 a∥b，则内错角相等。 3. 性质 3：两直线平行，同旁内角互补。即 a∥b 时，同旁内角互补。 型 习 练 题 平面内两直线的位置关系 1．如图，直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．不平行也不相交 2．如图，已知直线与直线平行，下列表示方法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，P是直线l外一点，若经过点P画4条互不重合的直线，与直线l相交的直线至少有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点之间线段最短 B．学而不思则罔 C．在同一平面内不相交的两条直线叫平行线 D．对顶角相等 5．根据语句“直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M．”画出的图形是（   ） A． B． C． D． 平行公理的应用 6．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无数条 7．下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 8．下列说法正确的是（    ） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．有公共顶点且相等的两个角是对顶角 C．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．已知线段，则点是线段的中点 9．为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（    ） A．过点可画垂直于的直线 B．过点可画的垂线 C．连接，则 D．过点可画直线与平行 10．下列说法中正确的是（   ） A．在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直 B．有且只有一条直线垂直于已知直线 C．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 平行线的判定 11．如图，下列条件无法判定的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，直线被直线所截，下列说法正确的是（　　） A．和是内错角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．如图，点E在的延长线上，则下列条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 14．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 15．如图，由能得到的是（   ） A． B． C． D． 平行线的性质 16．如图，工人师傅在施工时，需在同一平面内弯制一根变形管道ABCD，使其拐，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．AB与CD相交 17．如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（   ） A． B． C． D． 18．如图，一艘船从A点出发，沿东北方向航行至B点，再从B点出发沿南偏东方向航行至C点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 19．如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．如图，，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 根据平行线的性质探究角的关系 21．如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 22．如图，已知，连接得到，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 23．如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 24．如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 25．如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 平行线的性质再生活中的应用 26．某天辽宁舰带两艘战舰在南海航行，三艘战舰呈品字形向前方驶去．若表示辽宁舰，表示护卫舰，表示驱逐舰，在的北偏东的方向上，在的南偏西的方向上，若测得．则的度数为（    ） A． B． C． D． 27．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向右拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 28．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原来相反的方向上行驶，那么两个拐弯的角（    ） A．先向左转，再向左转 B．先向左转，再向右转 29．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 30．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $