第一章 第三节 等式性质与不等式性质-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

第三节　等式性质与不等式性质 课标要求 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念. 2.会比较两个数（式）的大小. 3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. 1.比较实数的大小 （1）文字叙述：如果a－b是正数，那么a　＞　b；如果a－b等于0，那么a　＝　b；如果a－b是负数，那么a　＜　b.反过来也对； （2）符号表示：a　＞　b⇔a－b＞0；a　＝　b⇔a－b＝0；a　＜　b⇔a－b＜0. 2.等式的基本性质 （1）对称性：如果a＝b，那么b＝a； （2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； （3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； （4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； （5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3.不等式的基本性质 （1）对称性：a＞b⇔b＜a； （2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； （3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c　＞　b＋d； （4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac　＞　bc；a＞b，c＜0⇒ac　＜　bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； （5）可乘方性：a＞b＞0⇒an　　bn（n∈N，n≥2）； （6）可开方性：a＞b＞0⇒＞（n∈N，n≥2）. 1.倒数性质 若ab＞0，则a＞b⇒＜； 若ab＜0，则a＞b⇒＞. 2.分数性质 若a＞b＞0，m＞0，则 （1）真分数性质：＜；＞（b－m＞0）； （2）假分数性质：＞；＜（b－m＞0）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种.（　√　） （2）若a＞b，则ac2＞bc2.（　×　） （3）若＞1，则a＞b.（　×　） （4）a＝b⇔ac＝bc.（　×　） 2.（人A必修一P43习题3（2）题改编）设M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），则有（　　） A.M＞N B.M≥N C.M＜N D.M≤N 解析：A　因为M－N＝2a（a－2）－（a＋1）（a－3）＝a2－2a＋3＝（a－1）2＋2＞0，所以M＞N.故选A. 3.（人A必修一P43习题8题改编）设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（　　） A.ac＞bc B.＜ C.a2＞b2 D.a＋c＞b＋c 解析：D　对于选项A，当c≤0时，不等式ac＞bc不成立，故A不正确.对于选项B，当a＞0，b＜0时，不等式＜不成立，故B不正确.对于选项C，当a＝－1，b＝－2时，不等式a2＞b2不成立，故C不正确.选项D正确，故选D. 4.已知2＜a＜3，1＜b＜2，则2a－b的取值范围是　（2，5）　. 解析：因为2＜a＜3，所以4＜2a＜6.又1＜b＜2，所以－2＜－b＜－1，所以2＜2a－b＜5. 5.在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，同学甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为　甲＞丁＞乙＞丙　. 解析：由题意得，甲＋丙＝乙＋丁①，甲＋乙＞丙＋丁②，丁＞乙＋丙③，由①②可知，甲＋乙＋（甲＋丙）＞丙＋丁＋（乙＋丁），甲＋乙＋（乙＋丁）＞丙＋丁＋（甲＋丙），可得甲＞丁，乙＞丙，由③知丁＞乙且丁＞丙.所以甲＞丁＞乙＞丙. 比较两个数（式）的大小（基础自学过关） 1.设x，y，z的平均数为M，x与y的平均数为N，N与z的平均数为P.若x＜y＜z，则M与P的大小关系是（　　） A.M＝P B.M＜P C.M＞P D.不能确定 解析：B　由题意可知：M＝，N＝，P＝＝＝，则P－M＝－＝，因为x＜y＜z，则z－x＞0，z－y＞0，可得P－M＝＞0，即M＜P.故选B. 2.已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是（　　） A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.不能确定 解析：A　∵0＜a＜，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝＋＝＞0，∴M＞N.故选A. 3.若a＝，b＝，c＝，则（　　） A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.b＜a＜c 解析：B　法一 易知a，b，c都是正数，＝＝log8164＜1，∴a＞b；＝＝log6251 024＞1，∴b＞c.即c＜b＜a. 法二 构造函数f（x）＝，则f'（x）＝，由f'（x）＞0，得0＜x＜e；由f'（x）＜0，得x＞e.∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减.∴f（3）＞f（4）＞f（5），即a＞b＞c. 练后悟通 不等式的基本性质（师生共研过关） （1）〔多选〕已知a，b∈R，则下列选项中能使＜成立的是（　BD　） A.b＞a＞0 B.a＞b＞0 C.b＜0＜a D.b＜a＜0 （2）〔多选〕设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（　AD　） A.ac＜bc B.a－b＜c－d C.ad＞bc D.－＞0 解析：（1）对于A，由b＞a＞0可得＞＞0，A错误；对于B，由a＞b＞0可得＞＞0，B正确；对于C，由b＜0＜a可得＞0＞，C错误；对于D，由b＜a＜0可得0＞＞，D正确.故选B、D. （2）对于A，因为a＞b＞0＞c，所以ac＜bc，故A正确；对于B，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，所以a－b＝1＝c－d，故B错误；对于C，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，所以ad＝－4＜bc＝－1，故C错误；对于D，因为a＞b＞0＞c＞d，所以＞＞0，－d＞－c＞0，可得－＞－＞0，所以－＞0，故D正确.故选A、D. 解题技法 利用不等式的性质判断命题真假的两种方法 （1）直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可； （2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 　〔多选〕已知a＞b＞0，b＞c，则下列不等式一定成立的是（　　） A.＜ B.ac2＞bc2 C.＜ D.a＋c＞b－c 解析：AC　对于A，由a＞b＞0，得a2＞b2＞0，所以＞＞0，所以＜，则A正确；对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，则B错误；对于C，由a＞b，b＞c，得a－c＞b－c＞0，所以＜，则C正确；对于D，当a＝2，b＝1，c＝－2时，a＋c＝0，b－c＝3，此时a＋c＜b－c，则D错误.故选A、C. 不等式性质的应用（师生共研过关） （1）（人A必修一P43习题5题改编）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，则a＋2b的取值范围是　（0，13）　，ab的取值范围是　（－3，15）　； 解析：∵2＜a＜3，－1＜b＜5，∴－2＜2b＜10，∴0＜a＋2b＜13；当－1＜b＜0时，0＜－b＜1，∴0＜－ab＜3，则－3＜ab＜0，当0＜b＜5时，0＜ab＜15，当b＝0时，ab＝0，综上，－3＜ab＜15. （2）若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. （2）证明：由于a＞b＞0，－c＞－d＞0，则a－c＞b－d＞0，则（a－c）2＞（b－d）2＞0，即＜.又e＜0，则＞. 解题技法 1.根据不等式的性质求取值范围的策略 （1）严格运用不等式的性质，注意其成立的条件； （2）同向不等式的两边可以相加，如果在解题过程中多次使用这种转化，就会扩大其取值范围； （3）建立待求范围式子的整体与已知范围式子的整体的关系，最后一次性运用不等式的性质求得取值范围. 2.利用不等式的性质证明简单的不等式的实质是根据性质把不等式进行变形，要注意每个性质成立的条件. 1.已知－3＜a＜－2，2＜b＜4，则的取值范围是　（－2，－）　. 解析：∵－3＜a＜－2，∴－＜＜－，故＜－＜.又∵2＜b＜4，∴＜－＜2，则－2＜＜－. 2.若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤. 证明：∵bc≥ad，＞0，∴≥， ∴＋1≥＋1，∴≤. 1.已知a＞0，b＞0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为（　　） A.M＞N B.M＜N C.M≤N D.M，N大小关系不确定 解析：B　M2－N2＝（a＋b）－（a＋b＋2）＝－2＜0，∴M＜N. 2.已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则的取值范围为（　　） A.（1，3） B.（，） C.（，） D.（，1） 解析：A　因为－3＜a＜－2，所以4＜a2＜9，而3＜b＜4，即＜＜，故的取值范围为（1，3）. 3.已知a＋b＜0，且a＞0，则下列不等式正确的是（　　） A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2 C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2 解析：A　由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b.因为a2－（－ab）＝a（a＋b）＜0，所以0＜a2＜－ab.又因为0＜a＜－b，所以0＜－ab＜（－b）2，所以0＜a2＜－ab＜b2.故选A. 4.（2025·宜荆适应性考试）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积（单位：m2）分别为x，y，z，且x＞y＞z，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/m2）分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（　　） A.ax＋by＋cz B.az＋by＋cx C.ay＋bz＋cx D.ay＋bx＋cz 解析：A　ax＋by＋cz－（az＋by＋cx）＝a（x－z）＋c（z－x）＝（a－c）（x－z）.∵x＞y＞z，a＜b＜c，∴a－c＜0，x－z＞0，∴ax＋by＋cz＜az＋by＋cx.同理，ay＋bz＋cx－（ay＋bx＋cz）＝b（z－x）＋c（x－z）＝（b－c）（z－x）＞0，∴ay＋bz＋cx＞ay＋bx＋cz，故只需再比较ax＋by＋cz与ay＋bx＋cz的大小即可.ax＋by＋cz－（ay＋bx＋cz）＝a（x－y）＋b（y－x）＝（a－b）·（x－y），∵a－b＜0，x－y＞0，∴（a－b）（x－y）＜0，∴ax＋by＋cz＜ay＋bx＋cz，∴在不同的方案中，最低的总费用是（ax＋by＋cz）元，故选A. 5.〔多选〕若a＜0＜b，且a＋b＞0，则（　　） A.＞－1 B.｜a｜＜｜b｜ C.＋＞0 D.（a－1）（b－1）＜1 解析：ABD　对于A，∵a＋b＞0，∴a＞－b，又b＞0，∴＞－1，∴A正确；对于B，∵a＋b＞0，∴b＞－a＞0，∴｜b｜＞｜a｜，∴B正确；对于C，取b＝2，a＝－1满足a＜0＜b，且a＋b＞0，但＋＝－1＋＝－＜0，∴C错误；对于D，∵a＜0＜b，且a＋b＞0，∴a＋b＞0＞ab，∴（a－1）（b－1）＜1，∴D正确.综上，选A、B、D. 6.〔多选〕下列命题中正确的是（　　） A.∃a，b∈R，｜a－2｜＋（b＋1）2≤0 B.∀a∈R，∃x∈R，使得ax＞2 C.ab≠0是a2＋b2≠0的充要条件 D.若a≥b＞0，则≥ 解析：AD　对于选项A，当a＝2，b＝－1时，｜a－2｜＋（b＋1）2≤0成立，故A正确；对于选项B，当a＝0时，ax＞2不成立，故B错误；对于选项C，当ab≠0时，a2＋b2≠0成立；当a2＋b2≠0时，如a＝1，b＝0，此时ab＝0，故ab≠0不成立，也即“ab≠0”是“a2＋b2≠0”的充分不必要条件，故C错误；对于选项D，当a≥b＞0时，≥等价于a＋ab≥b＋ab，显然成立，所以D正确.故选A、D. 7.已知b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再添上m克糖（m＞0），则糖水就变甜了.试根据此事实提炼一个不等式：当b＞a＞0且m＞0时，　＞　. 解析：糖水变甜了，意味着含糖量变大了，即浓度变高了，所以当b＞a＞0且m＞0时，＞. 8.若1＜α＜3，－4＜β＜2，则2α＋｜β｜的取值范围是　（2，10）　. 解析：∵－4＜β＜2，∴0≤｜β｜＜4，又1＜α＜3，∴2＜2α＜6，∴2＜2α＋｜β｜＜10. 9.已知6＜a＜60，15＜b＜18，求a－b，的取值范围. 解：因为6＜a＜60，15＜b＜18， 所以－18＜－b＜－15， 所以－12＜a－b＜45. 又＜＜，则＜＜， 即＜＜4. 因为＝＋1，所以＜＜5. 综上，a－b的取值范围为（－12，45），的取值范围为（，5）. 10.若a＞0，b＞0，则p＝（ab与q＝abba的大小关系是（　　） A.p≥q B.p≤q C.p＞q D.p＜q 解析：A　＝＝＝（，若a＞b＞0，则＞1，a－b＞0，∴＞1；若0＜a＜b，则0＜＜1，a－b＜0，∴＞1；若a＝b，则＝1，∴p≥q.故选A. 11.“x＞y＞0”是“x－＞y－”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由题得，x－－（y－）＝－＝.又x＞y＞0.所以x－－（y－）＞0，即x－＞y－.充分性成立.显然，当x＝2，y＝－1时，x－＞y－成立，所以必要性不成立.故“x＞y＞0”是“x－＞y－”的充分不必要条件.故选A. 12.〔多选〕已知a＞b＞0，给出下列四个不等式.其中一定成立的不等式为（　　） A.a2＞b2 B.2a＞2b－1 C.＞－ D.a3＋b3＞2a2b 解析：ABC　由a＞b＞0，可得a2＞b2，A成立；由a＞b＞0，可得a＞b－1，而函数f（x）＝2x在R上是增函数，所以f（a）＞f（b－1），即2a＞2b－1，B成立；因为a＞b＞0，所以＞，所以（）2－（－）2＝2－2b＝2（－）＞0，所以＞－，C成立；若a＝3，b＝2，满足a＞b＞0，则a3＋b3＝35，2a2b＝36，a3＋b3＜2a2b，D不成立，故选A、B、C. 13.设f（x）＝ax2＋bx，且1≤f（－1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（－2）的取值范围是　[5，10]　. 解析：法一（待定系数法） f（1）＝a＋b，f（－1）＝a－b，设f（－2）＝4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b），则f（－2）＝（m＋n）a＋（－m＋n）b，所以解得所以f（－2）＝3（a－b）＋（a＋b）.因为1≤a－b≤2，所以3≤3（a－b）≤6.又2≤a＋b≤4，所以5≤3（a－b）＋（a＋b）≤10，即5≤f（－2）≤10. 法二（换元法） 设则a＝，b＝.所以f（－2）＝4a－2b＝2（m＋n）－（n－m）＝3m＋n，而1≤m＝a－b＝f（－1）≤2，2≤n＝a＋b＝f（1）≤4，所以5≤f（－2）≤10. 14.（1）设n是正整数，求证：≤＋＋…＋＜1； 解：（1）证明：由2n≥n＋k＞n（k＝1，2，…，n），得≤＜. 当k＝1时，≤＜； 当k＝2时，≤＜； … 当k＝n时，≤＜. ∴＝≤＋＋…＋＜＝1. （2）已知a＞0且a≠1，比较与的大小. 解：（2）∵－＝， ∴当a＞1时，－2a＜0，a2－1＞0，则＜0，即＜； 当0＜a＜1时，－2a＜0，a2－1＜0，则＞0，即＞. 综上，a＞1时，＜；0＜a＜1时，＞. 15.（新定义）设a，b∈R，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a⊗b＝a⊕b＝若m⊗n≥2，p⊕q≤2，则（　　） A.mn≥4且p＋q≤4 B.m＋n≥4且pq≥4 C.mn≤4且p＋q≥4 D.m＋n≤4且pq≤4 解析：A　结合定义及m⊗n≥2可得或即n≥m≥2或m＞n≥2，所以mn≥4，m＋n≥4；结合定义及p⊕q≤2，可得或即q＜p≤2或p≤q≤2，所以pq≤4，p＋q≤4. 16.（开放创新题）若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜. （1）求证：b＋c＞0； 解：（1）证明：因为｜b｜＞｜c｜，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所以b＋c＞0. （2）求证：＜； 解：（2）证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0， 所以（a－c）2＞（b－d）2＞0， 所以0＜＜. ① 因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c， 所以a＋d＞b＋c＞0. ② ①②相乘得＜. （3）在（2）的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. 解：（3）由（2）知：a＋d＞b＋c＞0，0＜＜，＜， 所以＜＜或＜＜. 所以，均为所求代数式.（只要写出一个即可） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $