第六章 考教衔接 无穷等比数列的探究与应用-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

考教衔接　无穷等比数列的探究与应用 　　随着高考改革的不断深入，高考也由单纯的知识考查转变为能力、素养的全面考查，数列中的试题因其情境设置新颖，考查角度灵活等特点，不仅体现了新课程标准的考查要求，更突出了对学生数学思维、探索能力的考查，对于全面促进“教—考—学”的改革起到了关键作用. 一、挖掘教材 （人A选二P38例10）如图，正方形ABCD的边长为5 cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. （1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 解：设正方形ABCD的面积为a1，后继各正方形的面积依次为a2，a3，…，an，…， 则a1＝25. 由于第k＋1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以ak＋1＝ak. 因此，{an}是以25为首项，为公比的等比数列. 设{an}的前n项和为Sn. （1）S10＝＝50×［1－（）10］＝. 所以，前10个正方形的面积之和为 cm2. （2）当n无限增大时，Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1＋a2＋a3＋…＋an＋…. 而Sn＝＝50［1－（）n］， 随着n的无限增大，（）n将趋近于0，Sn将趋近于50. 所以，这些正方形的面积之和将趋近于50. 继续探究 探究1　求和：＋＋…＋. 设Sn＝＋＋…＋， 则Sn＝＝1－（）n. 探究2　求和：＋＋…＋＋…. 由探究1知Sn＝＋＋…＋＝1－（）n， 当n→＋∞时，（）n→0，从而Sn→1， 即＋＋…＋＋…趋近于1. 探究3　如图，在一个面积为1的正方形中，第一次将正方形分割成两个面积相等的长方形，第二次把所得到的长方形分割得到两个面积为的正方形，依此方法一直继续下去，那么所有分得的正（长）方形的面积之和为多少？ 设所求面积之和为S，则S＝＋＋…＋＋…， 由探究2知所有面积之和趋近于1. 从图形中可以看出，所有面积之和就等于正方形的面积1. 反思感悟 　　一般地，数列{an}是公比为q（0＜q＜1）的等比数列，其前n项和为Sn，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝，当n→＋∞时，qn→0，Sn→，即Sn＝. 二、拓展探究 无穷等比数列在不等式放缩中的应用 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝，求证：Sn＜. 证明：an＝＜.当n＝1时，S1＝＜成立.当n≥2时，Sn＜＋（＋＋…＋）＝＋＝＋，当n→＋∞时，→0且＞0.所以Sn＜＋＝.综上，Sn＜. 反思感悟 　　等比数列放缩过程要适度，为避免放缩过大，可保留数列的前n项不变，只放缩后边的项. 无穷等比数列在无限循环小数化为分数中的应用 阅读下列材料：有理数都能表示成（p，q∈Z，且q≠0，p与q互质）的形式，从而有理数集Q＝{｜p，q∈Z，q≠0，p与q互质}，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或者无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数.例如：0.＝0.3＋0.03＋0.003＋…＝＝.则循环小数1.化成分数为（　　） A. B. C. D. 解析：D　1.＝1＋0.27＋0.002 7＋0.000 027＋…，设Sn＝0.27×100＋0.27×10－2＋…＋0.27×10－2n＋2，则Sn＝，当n→＋∞时10－2n→0.Sn→＝，所以当n→＋∞时，1.＝Sn＋1＝，故选D. 反思感悟 　　根据有限小数或者无限循环小数都可以化为的形式，即可把循环小数1.用等比数列前n项和表示出来，进而运用公式即可化成分数. 无穷等比数列在“分形几何学”求面积中的应用 雪花曲线是在1906年由瑞典数学家科赫第一次作出.如图所示，由等边三角形ABC开始，然后把三角形的每条边三等分，并在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形（并去掉与原三角形叠合的边）；接着对新图形的每条边再继续上述操作，即在每条边三等分后的中段，向外画新的尖形.不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线.雪花曲线的周长可以无限长，然而围成的面积却是有限的.设初始三角形ABC的边长为a，不断重复上述操作，雪花曲线围成的面积趋于的定值为（　　） A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 解析：A　由题意知，初始三角形的面积S0＝a2，第一次操作后，增加了3个边长为的等边三角形，此时面积S1＝a2＋3×（）2；第二次操作后，增加了3×4个边长为的等边三角形，此时面积S2＝a2＋3×（）2＋3×4×（）2；…；第n次操作后，增加了3×4n－1个边长为的等边三角形，此时面积Sn＝a2＋3×（）2＋3×4×（）2＋…＋3×4n－1×（）2＝a2（1＋＋＋…＋）＝a2［1＋］＝a2［－·（）n］，当n→＋∞时，（）n→0，Sn→a2×＝a2.故选A. 反思感悟 　　依次计算得到第n次操作后面积Sn＝a2＋3×（）2＋3×4×（）2＋…＋3×4n－1×（）2，按照等比数列求和公式得到Sn＝a2［－·（）n］，再由n→＋∞时，（）n→0得到结果. 无穷等比数列在自由落体运动中的应用 一个弹性小球从10米处自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（　　） A.50 B.80 C.90 D.100 解析：C　由题意知小球第n次的路程为2×10×，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为Sn＝2×10＋2×10×＋2×10×（）2＋2×10×（）3＋…＋2×10×（）n－1－10＝2×－10＝100［1－（）n］－10，假设这个小球能无限次反弹，即当n→＋∞时，（）n→0，Sn→90.故选C. 反思感悟 　　小球在运动中所经过的总路程可以用无穷数列{2×10×（）n}的前n项和表示出来，再利用极限思想即可求出结果. 无穷等比数列在解析几何中的应用 已知直线l：y＝－x＋1与x轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1，P2，…，Pn－1，过这些分点分别作x轴的垂线，与直线l的交点依次记为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角三角形，△Q1P1O，△Q2P2P1，…，△Qn－1Pn－1Pn－2，若这些三角形的面积之和为Sn，则当n→＋∞时，Sn的定值为　　. 解析：根据题意，各个小直角三角形的底边长为，第i（i＝1，2，3，…，n－1）个三角形的高QiPi＝1－，面积为（1－），所以面积之和Sn＝（1－＋1－＋1－＋…＋1－）＝（n－1－－－－…－）＝［（n－1）－（）］＝（－）＝－，当n→＋∞时，→0，Sn→. 反思感悟 　　根据所给条件，结合几何关系，先求第i个小直角三角形的面积，列式求和，最后求极限. 三、回顾反思 　　通过无穷数列在各知识领域中的应用，启发学生分析、思考问题，拓展知识视野，增强获取知识的能力，激发创新思维，提升数学关键能力. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $