第六章 第一节 数列的概念与表示-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

该高中数学高考复习讲义聚焦数列的概念与表示专题，涵盖数列定义、表示方法、性质及与函数关系等核心考点，按“概念梳理-性质探究-综合应用”逻辑架构知识体系。通过课标解读明确要求，表格归纳夯实基础，例题精讲提炼方法，真题训练突破由Sn求an、性质应用等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义特色在于融合数学眼光与思维，如引导学生观察数列前几项特征归纳通项培养抽象能力，通过作差法分析单调性发展推理意识。设置基础判断、改编题、创新题分层练习，配合解题技法总结，帮助学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供实用指导。

第一节　数列的概念与表示 课标要求 　　通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 1.数列的概念 概念 含义 数列 按照　确定的顺序　排列的一列数 数列的项 数列中的　每一个数　 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与　序号n　之间的关系式 前n项和 数列{an}中，Sn＝　a1＋a2＋…＋an　 提醒 数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号. 2.数列的分类及性质 3.数列的表示方法 列表法 列出表格表示n与an的对应关系 图象法 把点　（n，an）　画在平面直角坐标系中 公 式 法 通项公式 把数列的通项用　公式　表示 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 4.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是　序号n　，对应的函数值是　数列的第n项an　，记为an＝f（n）. 1.在数列{an}（n≥2）中，若an最大，则若an最小，则 2.若an＋k＝an（k为非零常数），则数列{an}为周期数列，k为{an}的一个周期. 3.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.（　×　） （2）1，1，1，1，…，不能构成一个数列.（　×　） （3）任何一个数列都有唯一的通项公式.（　×　） （4）如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.（　√　） 2.已知数列－1，，－，2，－，…，则该数列的第100项为（　　） A.10 B.－10 C.－11 D. 解析：A　由题意知，该数列的通项公式为an＝（－1）n·，∴a100＝（－1）100×＝10，故选A. 3.（人A选二P8练习3题改编）在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋（n≥2），则a5＝（　　） A. B. C. D. 解析：D　a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝. 4.已知数列{an}满足an＝3n＋kn，若{an}为递增数列，则实数k的取值范围是（　　） A.（－2，＋∞） B.（－6，＋∞） C.（－∞，－2） D.（－∞，2） 解析：B　要想{an}为递增数列，则an＋1－an＝3n＋1＋kn＋k－3n－kn＝2×3n＋k＞0恒成立，故k＞－2×3n，又n＝1时，－2×3n取得最大值，最大值为－6，故k＞－6. 5.（人A选二P8练习4题改编）已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2，则an＝　2n－1　. 解析：当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，且a1＝1也满足此式，故an＝2n－1，n∈N*. 由数列的前几项归纳通项公式（师生共研过关） （人A选二P6例4改编）如图，在n×n的单位正方形网格中，阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13，则下一阴影相连的正方形个数为　17　，这个数列的一个通项公式an＝　4n－3　. 解析：从阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13看出，从第2项起每一项比它的前一项多4，故下一阴影相连的正方形个数为13＋4＝17，且a2＝5＝a1＋4，a3＝9＝a1＋2×4，a4＝13＝a1＋3×4，a5＝17＝a1＋4×4，根据上述规律an＝a1＋（n－1）×4＝1＋（n－1）×4＝4n－3.所以通项公式an＝4n－3. 解题技法 由数列的前几项归纳通项公式应注意的4个特征 （1）分式中分子、分母的特征； （2）相邻项的变化特征； （3）拆项后的特征：把数列的项拆分成变化的部分和不变的部分； （4）各项的符号特征. 　根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： （1）－1，7，－13，19，…； 解：（1）偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式（－1）n；观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝（－1）n（6n－5）. （2）－，，－，，…； 解：（2）这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，故它的一个通项公式为an＝（－1）n·. （3），，，，，…； 解：（3）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积，故所求数列的一个通项公式为an＝. （4）9，99，999，9 999，…. 解：（4）这个数列的前4项可以写成10－1，100－1，1 000－1，10 000－1，故所求数列的一个通项公式为an＝10n－1. 由an与Sn的关系求an（师生共研过关） （1）（2025·漳州一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝an＋1，则＝（　A　） A.－ B.－ C. D. （2）已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝　　. 解析：（1）因为3Sn＝an＋1，则3Sn＋1＝an＋1＋1，两式相减可得：3an＋1＝an＋1－an，即2an＋1＝－an，令n＝7，可得2a8＝－a7，且an≠0，所以＝－. （2）当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2；∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n①，故a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝2n－1（n≥2）②，由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1（n≥2），∴an＝（n≥2）.显然当n＝1时不满足上式.∴an＝ 解题技法 1.Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化. （1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解； （2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解. 2.已知Sn求an的3个步骤 （1）先利用a1＝S1求出a1； （2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）即可求出当n≥2时an的表达式； （3）注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并. 1.数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则此数列的通项公式an＝　　. 解析：∵数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3－（2n－1－3）＝2n－1，显然当n＝1时不满足上式，∴an＝ 2.（2025·湖北模拟）设数列{an}满足a1＋＋…＋＝，则此数列的通项公式an＝　（2n－1）·3n－1　. 解析：已知a1＋＋…＋＝①，当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，a1＋＋…＋＝②，①－②得，＝－＝＝3n－1，所以an＝（2n－1）·3n－1，当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an＝（2n－1）·3n－1. 数列的性质（定向精析突破） 考向1　数列的周期性 （2025·淄博测试）数列{an}满足a1＝，an＋1＝（n∈N*），则a2 027＝（　　） A.　　　　　　　　 B.3 C.－2 D.－ 解析：C　因为数列{an}满足a1＝，an＋1＝（n∈N*），所以a2＝＝3，a3＝＝－2，a4＝＝－，a5＝＝，则{an}是以4为周期的周期数列，所以a2 027＝a506×4＋3＝a3＝－2.故选C. 解题技法 解决数列周期性问题的方法 　　根据所给的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或者前n项的和. 考向2　数列的单调性 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－kn＋5，则“k≤2”是“数列{an}为单调递增数列”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　根据题意，数列{an}的通项公式为an＝n2－kn＋5，若数列{an}为单调递增数列，则有an＋1－an＝（n＋1）2－k（n＋1）＋5－（n2－kn＋5）＝2n＋1－k＞0（n∈N*），所以k＜2n＋1.因为n∈N*，所以当k≤2时，数列{an}为单调递增数列，而当数列{an}为单调递增数列时，k≤2不一定成立，所以“k≤2”是“数列{an}为单调递增数列”的充分不必要条件.故选A. 解题技法 解决数列单调性问题的方法 （1）作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列； （2）作商比较法：根据（an＞0或an＜0）与1的大小关系进行判断； （3）函数法：结合相应的函数图象直观判断. 考向3　数列的最大（小）项 已知数列{an}的通项公式是an＝（n＋2）×（）n（n∈N*），设数列{an}中最大项为am，则m＝　5或6　，am＝　　. 解析：法一（作差法） an＋1－an＝（n＋3）×（）n＋1－（n＋2）×（）n＝（）n×.当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大项，且最大项为a5＝a6＝. 法二（作商法） ＝＝.令＞1，解得n＜5；令＝1，解得n＝5；令＜1，解得n＞5.又an＞0，故有a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞…，所以当n＝5或n＝6时，{an}有最大项，且最大项为a5＝a6＝. 法三（解不等式（组））　由题知a1＜a2.假设{an}中有最大项，且最大项为第n（n≥2）项，则即解得即5≤n≤6.又n∈N*，故当n＝5或n＝6时，{an}有最大项a5和a6，且a5＝a6＝. 解题技法 求数列最大项与最小项的常用方法 （1）函数法：利用相关的函数求最值.若能借助表达式观察出单调性，直接确定最大（小）项，否则，利用作差法； （2）解不等式组（n≥2）确定最大项，解不等式组（n≥2）确定最小项. 1.（2024·衡水联考）已知数列{an}满足a1＝28，＝2，则的最小值为（　　） A. B.4－1 C. D. 解析：C　由an＋1－an＝2n，可得an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝28＋2＋4＋…＋2（n－1）＝n2－n＋28，∴＝n＋－1，设f（x）＝x＋，可知f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，又n∈N*，且＝＜＝，故选C. 2.如表定义函数f（x）： x 1 2 3 4 5 f（x） 4 5 1 2 3 数列{an}中，a1＝3，an＝f（an－1），n＝2，3，4，…，则a2 025＝　5　. 解析：由an＝f（an－1），a1＝3，可得a2＝f（a1）＝f（3）＝1，a3＝f（a2）＝f（1）＝4，a4＝f（a3）＝f（4）＝2，a5＝f（a4）＝f（2）＝5，a6＝f（a5）＝f（5）＝3，…，可得数列{an}是以5为周期的周期数列，则a2 025＝a5＝5. 1.在数列，，，，…，，…中，是它的（　　） A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项 解析：B　由题意可得，数列的通项公式为an＝，令＝，解得n＝9.故选B. 2.已知数列{an}满足：对任意m，n∈N*，都有anam＝an＋m，且a2＝2，那么a20＝（　　） A.240 B.230 C.220 D.210 解析：D　由anam＝an＋m，a2＝2，得a20＝a2a18＝a2a2a16＝…＝＝210.故选D. 3.数列{an}满足a1＝2，an＋1＝－an，则S2 025＝（　　） A.4 050 B.－4 050 C.2 D.－2 解析：C　因为a1＝2，an＋1＝－an，所以a2＝－a1＝－2，a3＝－a2＝2，a4＝－2，…，所以an＋2＝an，所以{an}是周期为2的周期数列，所以S2 025＝a1＋a2＋…＋a2 025＝2＋（－2）＋2＋（－2）＋…＋2＝2.故选C. 4.给定一个函数y＝f（x），对任意an∈（0，1），由关系式an＋1＝f（an）得到的数列{an}满足an＋1＞an（n∈N*），则该函数的图象是（　　） 解析：A　由an＋1＝f（an），an＋1＞an知f（an）＞an，可以知道x∈（0，1）时f（x）＞x，即f（x）的图象在y＝x图象的上方，由选项中所给的图象可以看出，A符合条件. 5.已知Sn是数列{an}的前n项和，则“an＞0”是“{Sn}是递增数列”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　若an＞0，则Sn＞Sn－1，所以{Sn}是递增数列，所以“an＞0”是“{Sn}是递增数列”的充分条件；若{Sn}是递增数列，则Sn＞Sn－1，所以an＞0（n≥2），但是a1的符号不确定，所以“an＞0”不是“{Sn}是递增数列”的必要条件，故选A. 6.〔多选〕已知数列{an}满足a1＝1，an＋an－1＝n2（n≥2，n∈N*），Sn为其前n项和，则（　　） A.a4－a2＝7 B.a10＝55 C.S5＝35 D.a8＋a4＝28 解析：ABC　因为a1＝1，a2＋a1＝22，a3＋a2＝32，a4＋a3＝42，a5＋a4＝52，a6＋a5＝62，…，a10＋a9＝102，所以a4－a2＝42－32＝7，a6－a4＝62－52＝11，a8－a6＝82－72＝15，a10－a8＝102－92＝19，累加得a10－a2＝7＋11＋15＋19＝52，所以a10＝a2＋52＝22－a1＋52＝3＋52＝55，S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋32＋52＝35，因为a4－a2＝7，a8－a2＝7＋11＋15＝33，所以a8＋a4＝7＋33＋2a2＝46，故选A、B、C. 7.〔多选〕（2024·石家庄二模）已知数列{an}的通项公式为an＝（n∈N*），前n项和为Sn，则下列说法正确的是（　　） A.数列{an}有最小项，且有最大项 B.使an∈Z的项共有5项 C.满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有5个 D.使Sn取得最小值的n为4 解析：ABD　因为an＝（n∈N*），所以an＋1－an＝－＝，令an＋1－an＞0，即（2n－7）（2n－9）＜0，解得＜n＜，又n∈N*，所以当n＝4时an＋1－an＞0，则当1≤n≤3或n≥5时an＋1－an＜0，令an＝＞0，解得n＞，所以a1＝－＞a2＝－＞a3＝－3＞a4＝－9，a5＞a6＞a7＞…＞0，所以数列{an}有最小项a4＝－9，且有最大项a5＝9，故A正确；由an∈Z，则∈Z，又n∈N*，所以n＝3或n＝4或n＝5或n＝6或n＝9，所以使an∈Z的项共有5项，故B正确；要使anan＋1an＋2≤0，又an≠0，所以an，an＋1，an＋2中有1个负数或3个负数，所以n＝1或n＝2或n＝4，故满足anan＋1an＋2≤0的n的值共有3个，故C错误；因为n≤4时an＜0，n≥5时an＞0，所以当n为4时Sn取得最小值，故D正确. 8.已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2（Sn＋1）＝n＋1，则数列{an}的通项公式为　an＝　. 解析：由log2（Sn＋1）＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，显然当n＝1时，不满足上式.所以数列{an}的通项公式为an＝ 9.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝1－Sn. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝（n2＋n）an，求数列{bn}的最大项. 解：（1）因为数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝1－Sn， ① 所以an－1＝1－Sn－1（n≥2）， ② ①－②并整理，得an＝an－1（n≥2）， 又由a1＝1－S1，得a1＝， 所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列， 所以an＝. （2）因为bn＝（n2＋n）an＝， 所以bn＋1－bn＝－＝， 当n≥2时，bn＋1≤bn，当n＜2时，bn＋1＞bn， 即b1＜b2＝b3＞b4＞b5＞…， 所以数列{bn}的最大项为b2＝b3＝＝. 10.（2025·宁波二模）已知数列{an}满足an＝λn2－n，对任意n∈{1，2，3}都有an＞an＋1，且对任意n∈{n｜n≥7，n∈N}都有an＜an＋1，则实数λ的取值范围是（　　） A.［，］ B.（，） C.（，） D.（，］ 解析：C　因为对任意n∈{1，2，3}都有an＞an＋1，所以数列{an}在[1，4]上是递减数列.因为对任意n∈{n｜n≥7，n∈N}都有an＜an＋1，所以数列{an}在[7，＋∞）上是递增数列.所以解得＜λ＜，所以实数λ的取值范围是（，）.故选C. 11.〔多选〕已知各项均为正数的数列{an}的前n项积为Tn，且an＋1＝则下列说法中正确的是（　　） A.当n≥2时，0＜an≤2 B.当＜a1＜1时，T4n＝1 C.无论a1取何值，均存在λ∈N*，使得an＋λ＝an对任意n∈N*成立 D.无论a1取何值，数列{an}中均存在与a1的数值相同的另一项 解析：AB　若an∈（0，1]，则an＋1∈（0，2]；若an＞1，则an＋1∈（0，1），故an＋1∈（0，2]，A正确；＜a1＜1⇒a2＝2a1∈（1，2）⇒a3＝∈（，1）⇒a4＝∈（1，2）⇒a5＝a1，故an＋4＝an，T4n＝（a1a2a3a4）n＝1，B正确；若a1＝，则a2＝，a3＝1，a4＝2，a5＝，数列从第2项开始按，1，2呈现周期变化，其中没有与a1相同的项，故C、D均不正确. 12.已知数列{an}的各项都为正数，定义：Gn＝为数列{an}的“匀称值”.已知数列{an}的“匀称值”为Gn＝n＋2，则该数列中的a10＝　　. 解析：因为各项均为正数的数列{an}的“匀称值”为Gn＝＝n＋2，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n（n＋2）　①，所以n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝（n－1）·（n＋1）　②，①－②得nan＝2n＋1，所以an＝（n≥2），所以a10＝. 13.（2024·杭州模拟）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子排列的形状对数进行分类.如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝5，第3个五角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝22，…，若按此规律继续下去，则a5＝　35　，若an＝145，则n＝　10　. 解析：由题意知，第1个五角形数记作a1＝1＝3×1－2，第2个五角形数记作a2＝5＝a1＋3×2－2，第3个五角形数记作a3＝12＝a2＋3×3－2，第4个五角形数记作a4＝22＝a3＋3×4－2，第5个五角形数记作a5＝a4＋3×5－2＝35，…，第n个五角形数记作an＝an－1＋3×n－2，即an－an－1＝3n－2，则an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋3（2＋3＋…＋n）－2（n－1）＝1＋3×－2（n－1）＝，由an＝145，即＝145，解得n＝10. 14.已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝1＋.我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a＝1时，得到无穷数列：1，2，，，…；当a＝－时，得到有穷数列：－，－1，0. （1）求当a为何值时a4＝0； （2）若＜an＜2（n≥4），求a的取值范围. 解：（1）a1＝a，an＋1＝1＋，a2＝，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝， 故当a＝－时，a4＝0. （2）要使＜an＜2（n≥4），即＜1＋＜2，所以1＜an－1＜2. 因为（，2）⊆（1，2），只需当a4∈（，2），都有an∈（，2）（n≥5）. 由a4＝，得＜＜2，解不等式组得故a的取值范围为（0，＋∞）. 15.（创新考法）已知数列{an}的通项公式为an＝（n－k1）（n－k2），其中n∈N*，k1，k2∈Z. （1）写出一组k1，k2的值，使得数列{an}中的各项均为正数； （2）若0＜k1＜k2，数列{cn}满足cn＝an＋｜an｜，其前n项和为Sn，且使ci＝cj≠0（i，j∈N*，i＜j）的i和j有且仅有4组，S1，S2，…，Sn中至少有3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k2的最小值. 解：（1）k1＝－1，k2＝－2（答案不唯一，只要k1，k2均取小于1的整数即可）. （2）因为an＝（n－k1）（n－k2）＝n2－（k1＋k2）n＋k1k2，且0＜k1＜k2， 所以cn＝an＋｜an｜＝ 因为ci＝cj≠0（i，j∈N*，i＜j），所以i，j∉[k1，k2]. 于是由cn＝2[n2－（k1＋k2）n＋k1k2]，可得＝，进一步得0＜i＜k1＜k2＜j，此时，i可取1，2，3，4，因此，k1＝5. 又S1，S2，…，Sn中至少有3个连续项的值相等，其他项的值均不相等， 不妨设Sm＝Sm＋1＝Sm＋2＝…， 于是有cm＋1＝cm＋2＝…＝0. 因为当k1≤n≤k2时，cn＝0， 所以5＝k1≤m＋1＜m＋2＜…≤k2， 因此，k2≥6，即k2的最小值为6. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $