第二章 微突破 抽象函数求解模型化-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

该高中数学高考复习讲义聚焦抽象函数求解模型化专题，系统梳理一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数对应的抽象函数性质，构建“模型识别—性质应用—问题解决”的知识体系。通过考点梳理（模型性质对照表）、方法指导（常规解法与模型解法对比）、真题训练（分题型例题与练习题）等环节，帮助学生突破抽象函数抽象性强的难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料以“模型化思想”为核心特色，创新采用“性质对照+双解法对比”教学策略，如在指数函数模型例题中，通过f(x+y)=f(x)f(y)特征快速定位f(x)=a^x，培养学生数学思维和模型观念。设置基础巩固题（如判断函数奇偶性）、能力提升题（如解抽象函数不等式），配合即时反馈，确保有限时间内最大化复习效果。既助力学生掌握抽象问题转化技巧以提升应考能力，也为教师提供清晰的复习节奏把控方案。

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+款辅专家 微突破抽象函数求解模型化 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数， 抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，我们所遇到的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为 背景抽象而得，解决此类问题，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、 猜想出它可能为某种基本初等函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，会起到事半功倍的效果. 常见的抽象函数对应的基本初等函数模型如下： 基本初等函数模型 抽象函数性质 一次函数f(x)=a十b(k≠0) (x士y)=∫(x)土∫(y)干b 二次函数f(x)=ax2+bx十c(a≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c 幂函数∫(x)=x )=ff)或r<停)=哥 指数函数f(x)=ar(a>0且a≠1) f☒ (x+y)=f(x)f (y)f(x-y)=j 基本初等函数模型 抽象函数性质 f(y)=f(x)+f(y)或f()=∫(x)-f(y)或f(xm) 对数函数f(x)=logx(a>0且a≠1) -mf (x) f(x)+f)=f(譬)·f()或fx+y)+f(x- 余弦函数f(x)=Acos wx(Ao≠0) )=f(x)·f(y) 一次函数模型 类型1 【例1】(2025·重庆学业质量调研)已知定义在R上的函数∫(x)满足：f(x1十)=f()+f(x2)，且当 x>0时，f(x)<0.则关于x的不等式f(x2)+∫(2x)≥0的解集为() A.[-2,0] B.[0,2] C.(-∞，-2]U[0,+∞) D.(-∞，0]U[2,+∞) 解析：A法一（常规解法）由题意得几(：一)十x]=∫（一x)十∫(x)，即f(:)一∫(）=∫(x1- 2)，不妨令>x2,则一x>0,所以f(x-)<0,即f(x1)一f()<0,f()≤f(x2)，故f(x)在 R上是减函数.在f(:十2)=∫(x)+f(2)中，令1=x=0,则f(0)=∫(0)+f(0)，得f(0)=0.令 =x,=一x,则f(x-x)=∫(x)+f(-x)，所以f(x)+f(一x)=0,故f(x)是奇函数.由f(x2)+f (2x)≥0，得f(x2)≥-f(2x),即f(x2)≥f(-2x)，所以x2≤-2x,解得-2≤x≤0，即x∈[-2,0].故 选A. 1/5 ·独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 法二（模型解法）因为∫(：十x2)=∫(：)+f()，所以可令∫(x)=a,又当x>0时，f(x)<0,所以 k<0,所以f(x2)+f(2x)≥0可转化为2+2a≥0，即x2+2x≤0，解得-2≤x≤0，即x∈[-2,0].故选A. 二次函数模型 类型2 【例2]已知函数f(x)的定义域为R,且满足∫(x)+f(y)=∫(x十y)-2y+2,f(1)=2,则下列结论正确的 是() A.f(4)=12 B.方程f(x)=x有解 C.f(x+专)是偶函数D.f(x-专)是偶函数 解析：C法一（常规解法）对于A,因为函数∫(x)的定义域为R,且满足f(x)+f(y)=∫(x十y)一2y十 2,f(1)=2,取x=y=1,得f(1)+f(1)=f(2)-2+2,则f(2)=4.取x=y=2,得f(2)+(2)=f (4)-8+2,则f(4)=14,故A错误.对于B,取y=1,得f(x)+f(1)=f(x+1)-2x+2,则f(x+1) -f(x)=2x,所以f(x)-f(x-1)=2(x-1),f(x-1)-f(x-2)=2(x-2),,f(2)-f(1)= 2,以上各式相加得f()一1)21+到你1型=2-，所以f()=2-x+2x∈Z),令f(x）=2-士 2 +2=x,得x2-2x+2=0,此方程无解，故B错误.对于C、D,由B知f(x)=x2-x+2,所以f(x十专)=(x +号)2-(+)+2=x2+是偶函数，f(x-吉)=(x-专)2-(x-)+2=x2-2x+号不是偶函数，故C 正确，D错误.故选C. 法二（模型解法）由f(x)+f(y)=∫(x+y)-2y+2得f(x+y)=f(x)+f(y)+2y-2,设f(x)=x2+ bx+2,由f(1)=2得b=-1,所以f(x)=x2-x十2.对于A,f(4)=42-4+2=14,故A错误；令f(x)= x2-x+2=x,得x2-2x+2=0,此方程无解，故B错误：对于C、D,由B知∫(x)=x2-x+2,所以f(x+) =(x+号)2-(x+号)+2=x2+是偶函数，f(x-吉)=(x-号)2-(x-)+2=x2-2x+号不是偶函数， 故C正确，D错误.故选C. 幂函数模型 类型3 【例31已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(y)=∫(x)f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1 时，f(x)∈[0,1).若a≥0且f(a+1)≤9，则a的取值范围为[0,2] 解析：法-（常规解法）设0≤<，0≤<1，f()=f(·)=f(号)·f(),:0≤x<1时，f (x)∈[0,1)，∴0≤f()<1,∴f()<f(x),故f(x)在[0，+∞)上单调递增.f(27)=9,又f (3×9)=∫(3)f(9)=f(3)f(3)f(3)=〔(3)]3,9=f(3)]3,∴f(3)=9,f(a+1) ≤9，∴f(a+1)≤f(3),又a≥0，∴a十1≤3，即a≤2，故a的取值范围为[0,2. 2/5 ·独家授权侵权必究。 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 法二（模型解法）由f(y)=f(x)f(y)，可设函数f(x)=x,由f(-1)=1,f(27)=9,得n=号，即f (x)=x,满足当0≤x<1时，f(x)∈[0,1).由f(a+1)≤5，即(a+1)3≤5，即(a+1)≤33， 即a十1≤3，得a≤2，又a≥0，故a的取值范围为[0,2]. 指数函数模型 类型4 【例4】已知函数f(x)对于一切实数x,y满足f(0)≠0，f(x+y)=∫(x)f(y),且当x<0时，f(x)>1.则 当x>0时，f(x)的取值范围为(0,1)· 解析：法一（常规解法）：对于一切x,y∈R,f(x+y)=∫(x)f(y)且∫(0)≠0，令x=y=0,则f(0)= 1,设x>0,则-x<0,f(-x)>1,又f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1,f(-x)=衣>1，. 0<f(x)<1. 法二（模型解法）由∫(x十y)=∫(x)∫(y),可设函数f(x)=am(a>0,且a≠1)，由当x<0时，∫(x) >1,结合指数函数的图象特征知0<a<1,取a=吉，则f(x)=(专)x满足题意，故当x>0时，f(x)的取值 范围为(0,1). 对数函数模型 类型5> 【例5】已知函数f(x)是定义域为(0，+∞)的增函数，满足f(4)=1,f(y)=∫(x)+fy)，若f(x)+f (x一3)≤1，则x的取值范围为(3,4] 解析：法一（常规解法）f(x)+f(x-3)=f兀x(x-3)]≤1=∫(4)，又∫(x)是定义域为(0，+∞)的增函 0<xx-3)≤4， 数， x-3>0, →3<x≤4，x的取值范围为(3,4]. (x>0 法二（模型解法）由(xy)=f(x)十f(y),可设函数f(x)=logx(a>0,且a≠1).由f(4)=1,得a= 4,则f(x)=log,由f(x)+f(x-3)≤1，得log+log4(x-3)≤1，即1og4[x(x-3)]≤1，故 xx-3)≤4， x-3>0, 解得3<x≤4，故x的取值范围为(3,4]. x>0, 口跟踪训练 1.定义在R上的函数f(x)满足f(x十y)=∫(x)+f(y)+2y,f(1)=2,则f(-3)=() A.2 B.3 C.6 D.9 解析：C法一（常规解法）f(-3)=f(-1)+f(-2)+4=3f(-1)+6,f(0)=f(0)+f(0)+0,f (0)=0,又f(0)=f(1-1)=f(1)+f(-1)-2=f(-1),所以f(-3)=6. 3/5 ·独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 法二（模型解法）由∫(x+y)=∫(x)+f(y)+2y,设函数f(x)=x2+bx,又由f(1)=2,得b=1,所以f (x)=x2+x,f(-3)=6. 2.己知函数f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)，且xf(x)=(y十1)f(y+1),则() A.f(x)≥0 B.f(1)=1 C.f(x)是偶函数 D.f(x)没有极值点 解析：D令g(x)=xf(x),则g(y+1)=(y+1)·f(y+1),所以g(x)=g(y+1),且x,y+1为定 义域内任意值，故g(x)为常函数.令g(x)=k,则f(x)=会，为奇函数且没有极值点，C错，D对；所以f (x)≥0不恒成立，f(1)=1不一定成立，A、B错，故选D. f(2),f(4),f(6) 3.如果f(a+b)=f(a)f(b)且f(1)=2,则品++局=() A号 B C.6 D.8 解析：Cf(1)=2,f(a+b)=f(a)f(b),∴f(2)=f(1)f(1),f(4)=f(3)f(1),f(6)=f 5f1),8=),得f1),将=1)，鼎+周+得-)=6，故选C 4.〔多选)若定义在(-∞，0)U(0,+∞)上的函数f(x)满足∫(y)=∫(x)+f(y),且f(2)=1,则 下列结论中正确的是() A.f(1)=0 B.f(4)=2 C.f(x)+f(-x)=0D.f(x)-f(-x)=0 解析：ABD法一（赋值法）由已知可得函数f(x)的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)，满足∫(xy)=f (x)+f(y)①，且f(2)=1,对于A,令x=y=1,代入①式，得f(1)=f(1)+f(1)，得f(1)=0,所 以A正确：对于B,令x=y=2,代入①式，得f(4)=∫(2)+f(2)=1十1=2，得f(4)=2,所以B正确； 对于C、D,令x=y=-1,代入①式，得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)，由f(1)=0得f(-1)= 0,可令y=-1代入①式，得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),整理得f(-x)=f(x),所以C错误，D 正确，故选A、B、D 法二（函数模型法）依题意，可设函数f(x)=log。|x|(a>0且a≠1)，由f(2)=1可得a=2,即f(x)= log2|x|,容易验证A、B、D正确. 5.己知函数f(x)对任意x,y∈R,满足条件f(x)+f(y)=2+f(x十y),且当x>0时，f(x)>2,f(3)= 5,则不等式f(a2-2a-2)<3的解集为{a|-1≤a≤3}· 解析：法一（常规解法）设：<2，则3一>0，当x>0时，∫(x)>2,f(2一x1)>2,则f(2)=f (x2-x)十x]=f(x2-)十f(x)-2>2十f(x)-2=f(x),即f(x2)>f(x)，f(x)为增函数.f (3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-2=[f(1)+f(1)-2]+f(1)-2=3f(1)-4,又f(3)=5,∴f (1)=3..f(a2-2a-2)<f(1),∴.a2-2a-2<1,即a2-2a-3<0,解得不等式的解集为{a|-1<a<3}. 4/5 ·独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 法二（模型解法）由f(x)+f(y)=2+f(x十y),即f(x十y)=f(x)+f(y)一2，可设函数f(x)=a十2 (k≠0)，由f(3)=5,得3k十2=5，k=1,即f(x)=x+2,满足当x>0时，f(x)>2,则不等式f(a2- 2a-2)<3可化为a2-2a-2十2<3，即a2-2a-3<0,解得-1<a<3,故不等式的解集为{a|-1<a<3). 5/5 ·独家授权侵权必究·