第二章 考教衔接 细研真题找共性，回归教材探本质-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

该高中数学高考复习讲义聚焦函数性质核心考点，将具体函数参数求解、抽象函数性质分析、复合函数单调性判断、分段函数单调性应用等内容按“具体到抽象”逻辑层次整合，通过考点溯源、方法归纳、真题精析三个环节，帮助学生构建函数性质的知识网络和解题体系。 资料以“考教衔接”为特色，创新采用“真题溯源教材”教学法，如分析抽象函数时引导学生通过赋值法、构造法培养数学思维，结合教材例题归纳解题通法。设置分层训练题组，匹配不同难度真题，助力学生在有限时间内提升用数学语言表达和解决问题的能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

考教衔接　细研真题找共性，回归教材探本质 　　高考真题都是试题命制者精雕细琢的产物，它反映了命题人对考试内容的深思熟虑、对设问和答案的精准拿捏、对学生水平的客观判断.研究这些真题就如同和试题命制者对话，因此，如何研近两年新高考真题找出共性，回归教材探本质，本文就近两年新高考对函数性质的考查的部分真题从试题情境，考查目标与形式，溯源寻根，共性特征进行分析例示，旨在让学生感悟命题特点及规律. 一、真题分析 1.给出具体函数，根据性质求参数 （2023·新高考Ⅱ卷4题）若f（x）＝（x＋a）·ln为偶函数，则a＝（　　） A.－1 B.0 C. D.1 命题分析 本题以初等函数为载体，考查函数的奇偶性，属于课程学习情境，体现基础性和综合性.通过对函数奇偶性的判断求出参数的值. 解题分析 解析：B　法一（定义法） 函数的定义域为{x｜x＞或x＜－}，关于原点对称，f（－x）＝（－x＋a）ln＝（－x＋a）ln＝（－x＋a）ln（）－1＝（x－a）ln＝（x＋a）ln＝f（x），则x－a＝x＋a，解得a＝0.故选B. 法二（特值法） 因为f（x）为偶函数，定义域为{x｜x＞或x＜－}，则f（1）＝f（－1），所以（1＋a）ln＝（－1＋a）ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f（x）＝xln，f（－x）＝（－x）ln＝（－x）ln＝（－x）ln（）－1＝xln＝f（x），故此时f（x）为偶函数.故选B. 法三（公式法） f（x）的定义域为{x｜x＞或x＜－}，关于原点对称，令g（x）＝x＋a，h（x）＝ln，则f（x）＝g（x）·h（x），易得h（x）为奇函数.因为f（x）＝g（x）·h（x）为偶函数，所以g（x）为奇函数，解得a＝0，故选B. 寻源探本 本题源于人A必修一P84例6，P86习题5题. 考查目的：（1）判断函数奇偶性的常用方法； （2）对求参数时运算技能的数学表达、整理及变形能力. （2023·全国乙卷理4题）已知f（x）＝是偶函数，则a＝（　　） A.－2 B.－1 C.1 D.2 解析：D　因为f（x）＝（x≠0）为偶函数，所以f（x）－f（－x）＝－＝＝0，所以ex－e（a－1）x＝0，即ex＝e（a－1）x，则x＝（a－1）x，解得a＝2.故选D. 2.给出抽象函数，考查函数的性质 〔多选〕（2023·新高考Ⅰ卷11题）已知函数f（x）的定义域为R，f（xy）＝y2f（x）＋x2f（y），则（　　） A.f（0）＝0 B.f（1）＝0 C.f（x）是偶函数 D.x＝0为f（x）的极小值点 命题分析 本题以抽象函数为载体，考查函数的奇偶性与极值，属于课程关联情境.通过对复杂关系式赋值的过程考查学生的逻辑思维和直觉思维，通过奇偶性的判定考查学生运用演绎、归纳和类比进行推理的能力，通过同构法构造函数的过程考查学生的转化与化归思想和数学建模能力. 解题分析 解析：ABC　因为f（xy）＝y2f（x）＋x2f（y），对于A，令x＝y＝0，f（0）＝0·f（0）＋0·f（0）＝0，故A正确；对于B，令x＝y＝1，f（1）＝1·f（1）＋1·f（1），则f（1）＝0，故B正确；对于C，令x＝y＝－1，f（1）＝f（－1）＋f（－1）＝2f（－1），则f（－1）＝0，令y＝－1，f（－x）＝f（x）＋x2f（－1）＝f（x），又函数f（x）的定义域为R，所以f（x）为偶函数，故C正确；对于D， 法一 不妨令f（x）＝0，显然符合题设条件，此时f（x）无极值，故D错误. 法二 当x2y2≠0时，将f（xy）＝y2f（x）＋x2f（y）两边同时除以x2y2，得到＝＋，故可以设＝ln ｜x｜（x≠0），则f（x）＝当x＞0时，f（x）＝x2ln x，则f'（x）＝2xln x＋x2·＝x（2ln x＋1），令f'（x）＜0，得0＜x＜；令f'（x）＞0，得x＞；故f（x）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，因为f（x）为偶函数，所以f（x）在（－，0）上单调递增，在（－∞，）上单调递减，显然，x＝0是f（x）的极大值点，故D错误.故选A、B、C. 寻源探本 本题源于人B必修一P115练习B3题. 考查目的：（1）解决抽象函数的常用方法（赋值法、列举法、构造法）：①伴随着对单调性、奇偶性、周期性、对称性的考查，通过合理的赋值向选项逐步靠拢；②通过举出反例从而排除某选项；③根据抽象函数特征联想函数模型构造出相同性质的具体函数转化判断. （2）数学运算、逻辑推理及数学表达能力. 　（2022·新高考Ⅱ卷8题）若函数f（x）的定义域为R，且f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（　　） A.－3 B.－2 C.0 D.1 解析：A　因为f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y），令x＝1，y＝0可得，2f（1）＝f（1）f（0），所以f（0）＝2，令x＝0可得，f（y）＋f（－y）＝2f（y），即f（y）＝f（－y），所以函数f（x）为偶函数，令y＝1得，f（x＋1）＋f（x－1）＝f（x）f（1）＝f（x），即有f（x＋2）＋f（x）＝f（x＋1），从而可知f（x＋2）＝－f（x－1），f（x－1）＝－f（x－4），故f（x＋2）＝f（x－4），即f（x）＝f（x＋6），所以函数f（x）的一个周期为6.因为f（2）＝f（1）f（1）－f（0）＝1－2＝－1，f（3）＝f（2）f（1）－f（1）＝－1－1＝－2，f（4）＝f（－2）＝f（2）＝－1，f（5）＝f（－1）＝f（1）＝1，f（6）＝f（0）＝2，所以f（1）＋f（2）＋…＋f（6）＝0.由于22除以6余4，所以f（k）＝f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝1－1－2－1＝－3.故选A. 3.给出复合函数，结合函数的性质求参数范围 （2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）内单调递减，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，－2] B.[－2，0） C.（0，2] D.[2，＋∞） 命题分析 本题以复合函数为载体，考查了复合函数的单调性，属于课程学习情境，体现基础性和综合性.通过函数拆解考查学生的转化与化归思想，通过函数简图的绘制和参数的求解考查学生根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理的能力以及对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括的能力. 解题分析 解析：D　函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）内单调递减，而函数y＝2t在R上单调递增，则有函数t＝x（x－a）＝（x－）2－在区间（0，1）内单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞）.故选D. 寻源探本 本题源于人A必修一P161复习参考题12题，人B必修二P54C组6题. 考查目的：（1）会把复合函数的内、外层拆解为两个基本初等函数； （2）会作基本初等函数图象（草图）； （3）会根据复合函数同增异减的原则形象、直观地解决问题（注意内、外层函数的定义域、值域及端点能否取等问题）. 　（2023·全国甲卷文11题）已知函数f（x）＝，记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（　　） A.b＞c＞a B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b 解析：A　令g（x）＝－（x－1）2，则g（x）的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，因为－1－（1－）＝－2，而（＋）2－42＝9＋6－16＝6－7＞0，所以－1－（1－）＞0，即－1＞1－.由二次函数性质知g（）＜g（），因为－1－（1－）＝－2，而（＋）2－42＝8＋4－16＝4－8＝4（－2）＜0，即－1＜1－，所以g（）＞g（），综上，g（）＜g（）＜g（），又y＝ex为增函数，故a＜c＜b，故选A. 4.给出分段函数，结合函数的性质求参数的范围 （2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞） 命题分析 本题以分段函数为载体，考查函数的单调性，属于课程学习情境，体现基础性和综合性.通过由分到总的分析比较过程，考查学生的运算求解能力和分类与整合思想. 解题分析 解析：B　因为f（x）在R上单调递增，且当x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x＋1）单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即a的范围是[－1，0].故选B. 寻源探本 本题源于人A必修一P101复习参考题7题. 考查目的：（1）理解分段函数每段都具有相同的单调性，是整个函数具有该单调性的必要不充分条件； （2）依据f（x）的单调性处理好各段端点值的衔接，会转化为数学表达； （3）分类讨论思想的应用. 　（2021·新高考Ⅰ卷15题）函数f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的最小值为　1　. 解析：f（x）＝｜2x－1｜－2ln x的定义域为（0，＋∞），①当0＜x≤时，f（x）＝1－2x－2ln x，此时f（x）单调递减，所以当0＜x≤时，f（x）的最小值为f（）＝2ln 2＞1.②当x＞时，f（x）＝2x－1－2ln x，则f'（x）＝2－＝，令f'（x）＝0，得x＝1.当＜x＜1时，有f'（x）＜0，此时f（x）单调递减；当x＞1时，有f'（x）＞0，此时f（x）单调递增，所以当x＞时，f（x）的最小值为f（1）＝1.综上，f（x）的最小值为1. 二、共性归纳 　　高考命题的特点是同一考点可能变换角度或题型再考，也就是同样的情境，今年这样设问，明年可能换一种方式设问，标新不立异，立异不偏离，常考常新，年年创新，以上四类真题把这一特点体现得淋漓尽致. 　　本文所例举的四类题目均考查函数的性质，同时考查学生核心素养不同层级及应具有的数学必备能力，其共性表现为：（1）不同情境下，考查对相同知识点的灵活运用能力；（2）不同试题下，对解题思想方法的领悟能力；（3）相同情境下，对解题方法的选择能力. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $