第二章 第五节 幂函数与二次函数-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

该高中数学高考复习讲义聚焦幂函数与二次函数核心考点，涵盖幂函数定义、图象及性质，二次函数解析式三种形式、图象与性质（单调性、最值等），按“定义-性质-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理（如幂函数指数与图象关系）、方法指导（二次函数最值分类讨论）、真题训练（改编题与模拟题）等环节，帮助学生构建知识网络，突破重点难点。 讲义采用“问题链驱动+分层突破”策略，如分析幂函数图象时引导学生用“指大图低”规律判断指数范围，培养数学思维；二次函数最值教学结合对称轴与区间关系分类讨论，提升逻辑推理能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用三层练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第五节　幂函数与二次函数 课标要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等），能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 1.幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数　y＝xα　叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. （2）常见的五种幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①幂函数在（0，＋∞）上都有定义； ②当α＞0时，幂函数的图象都过点　（1，1）　和　（0，0）　，且在（0，＋∞）上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点　（1，1）　，且在（0，＋∞）上单调递减. 2.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）； （2）顶点式：f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0）； （3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）. 3.二次函数的图象和性质 解析式 f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0） f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0） 图象 定义域 R R 解析式 f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0） f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0） 值域 单调性 在x∈（－∞，－］上单调递减； 在x∈　（－，＋∞）　上单调递增 在x∈（－∞，－］上单调递增； 在x∈　（－，＋∞）　上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝　－　对称 提醒 注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论. 1.幂函数图象的特征 （1）在（0，1）上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴（简记为“指大图低”）； （2）在（1，＋∞）上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 2.二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），闭区间为[m，n]： （1）当－≤m时，最小值为f（m），最大值为f（n）； （2）当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f（n）； （3）当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f（m）； （4）当－＞n时，最小值为f（n），最大值为f（m）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝2是幂函数.（　×　） （2）幂函数y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）上单调递增.（　√　） （3）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数.（　×　） （4）若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.（　√　） 2.函数f（x）＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为（　　） A.[－6，2] B.[－6，1] C.[0，2] D.[0，1] 解析：A　函数f（x）＝－2x2＋4x的对称轴为直线x＝1，则f（x）在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f（x）max＝f（1）＝2，f（x）min＝f（－1）＝－2－4＝－6，即f（x）的值域为[－6，2]. 3.（人A必修一P91练习1题改编）已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（4）＝（　　） A. B.4 C. D. 解析：A　设f（x）＝xα，∵图象过点，∴f（2）＝2α＝，解得α＝－1，∴f（4）＝4－1＝. 4.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为（　　） A.－1＜m＜0＜n＜1 B.－1＜n＜0＜m＜ C.－1＜m＜0＜n＜ D.－1＜n＜0＜m＜1 解析：D　幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递减.由结论可知，不妨令x＝2，由图象得2－1＜2n，则－1＜n＜0，综上可知，－1＜n＜0＜m＜1.故选D. 5.（人A必修一P100复习参考题4题改编）已知函数f（x）＝x2－2ax＋4在[0，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　） A.（－∞，－1] B.[－1，＋∞） C.[0，＋∞） D.（－∞，0] 解析：D　函数f（x）＝x2－2ax＋4＝（x－a）2＋4－a2，所以f（x）的单调递增区间是[a，＋∞），依题意知，[0，＋∞）⊆[a，＋∞），所以a≤0，即实数a的取值范围是（－∞，0]，故选D. 幂函数的图象与性质（基础自学过关） 1.（2025·重庆开学考试）已知幂函数f（x）＝（3m2－7m－5）xm－1是定义域上的奇函数，则m＝（　　） A.－或3 B.3 C. D.－ 解析：D　由函数f（x）＝（3m2－7m－5）xm－1是幂函数，得3m2－7m－5＝1，解得m＝3或m＝－，当m＝3时，f（x）＝x2是R上的偶函数，不符合题意，当m＝－时，f（x）＝＝是（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函数，符合题意，所以m＝－.故选D. 2.如图所示是函数y＝（m，n∈N*且互质）的图象，则（　　） A.m，n是奇数，且＜1 B.m是偶数，n是奇数，且＞1 C.m是偶数，n是奇数，且＜1 D.m，n是偶数，且＞1 解析：C　函数y＝＝的图象关于y轴对称，故m为偶数，n为奇数，当x∈（0，1）时，y＝的图象在y＝x的图象的上方，当x∈（1，＋∞）时，y＝的图象在y＝x的图象的下方，故＜1. 3.若（m＋1）－1＜（3－2m）－1，则实数m的取值范围是（　　） A.（，） B.（－∞，－1） C.（－∞，－1）∪（，） D.⌀ 解析：C　分三种情况考虑：①解得＜m＜；②此时无解；③解得m＜－1.综上可得，m∈（－∞，－1）∪（，）.故选C. 4.〔多选〕已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），则下列说法正确的有（　　） A.f（x）是偶函数 B.f（x）是增函数 C.当x＞1时，f（x）＞1 D.当0＜x1＜x2时，＜f（） 解析：BCD　幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），所以16α＝4，解得α＝，所以f（x）＝＝.所以f（x）的定义域是[0，＋∞），是非奇非偶函数，且是增函数.当x＞1时，f（x）＞f（1）＝1.画出f（x）在[0，＋∞）上的图象，如图所示.由图象知，当0＜x1＜x2时，＜f（），故选B、C、D. 练后悟通 1.幂函数的图象与性质特征的关系 （1）幂函数的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式； （2）判断幂函数y＝xα（α∈R）的奇偶性及求定义域时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断； （3）若幂函数y＝xα在（0，＋∞）上单调递增，则α＞0，若在（0，＋∞）上单调递减，则α＜0. 2.幂函数单调性的应用 （1）利用单调性比较两个幂的大小； （2）利用单调性解不等式. 二次函数的解析式（师生共研过关） 已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，求二次函数f（x）的解析式. 解：法一（利用二次函数的一般式） 设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）. 由题意得解得 故所求二次函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. 法二（利用二次函数的顶点式） 设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）. ∵f（2）＝f（－1）， ∴二次函数图象的对称轴为x＝＝. ∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8， ∴f（x）＝a＋8. ∵f（2）＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f（x）＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三（利用二次函数的零点式）　由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0）， 即f（x）＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即＝8. 解得a＝－4或a＝0（舍去）， 故所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. 解题技法 求二次函数解析式的方法 1.（2025·高三全国专题练习）已知函数f（x）为二次函数，f（x）的图象过点（0，2），对称轴为x＝－，函数f（x）在R上的最小值为，则f（x）的解析式为　f（x）＝（x＋）2＋　. 解析：因为f（x）的对称轴为x＝－，函数f（x）在R上的最小值为，所以可设f（x）＝a（x＋）2＋，a＞0，将（0，2）代入f（x），得a（0＋）2＋＝2，解得a＝1，故f（x）＝（x＋）2＋. 2.已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2，则二次函数的解析式为　y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋　. 解析：因为二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），所以可设二次函数为y＝a（x＋3）（x－1）（a≠0），展开得，y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为＝－4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，所以｜－4a｜＝2，即a＝±，所以二次函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋. 二次函数的图象与性质（定向精析突破） 考向1　二次函数图象的识别 〔多选〕如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1.给出下面四个结论中正确的为（　　） A.b2＞4ac　　　　 B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 D.5a＜b 解析：AD　因为图象与x 轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确. 解题技法 识别二次函数图象应学会“三看” 考向2　二次函数的单调性与最值 已知函数f（x）＝x2＋（2a－1）x－3. （1）当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f（x）的值域； 解：（1）当a＝2时，f（x）＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]， ∴f（x）min＝f（－）＝－－3＝－， f（x）max＝f（3）＝15， ∴f（x）的值域为［－，15］. （2）若函数f（x）在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值. 解：（2）函数图象的对称轴为直线x＝－. ①当－≤1，即a≥－时，f（x）max＝f（3）＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； ②当－＞1，即a＜－时，f（x）max＝f（－1）＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意. 综上可知，a＝－或a＝－1. 解题技法 二次函数最值问题的类型及求解策略 （1）类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴变动、区间固定；③对称轴固定、区间变动. （2）求解策略：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴是指对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 1.设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是（　　） 解析：D　因为abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，那么可知，在A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，c＜0，b＞0，不符合题意，故选D. 2.已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0，2]上单调递增，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（　　） A.[0，＋∞） B.（－∞，0] C.[0，4] D.（－∞，0]∪[4，＋∞） 解析：C　由f（2＋x）＝f（2－x）可知，函数f（x）图象的对称轴为直线x＝2，又函数f（x）在[0，2]上单调递增，所以由f（a）≥f（0）可得0≤a≤4. 3.函数f（x）＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是　[2，4]　. 解析：令f（x）＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，令f（x）＝x2－4x＋2＝－2，解得x＝2，由于函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[－2，2].若函数f（x）在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，此时b－a取得最小值2；若函数f（x）在区间[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值为4.所以b－a的取值范围是[2，4]. 1.已知幂函数f（x）的图象经过点（8，4），则函数f（x）的图象大致为（　　） 解析：A　设幂函数f（x）＝xa，则8a＝4，即23a＝22，解得a＝，即f（x）＝，f（x）的定义域是R，f（－x）＝（－x＝[（－x）2＝（x2＝＝f（x），函数为偶函数，由0＜＜1，则f（x）在[0，＋∞） 上递增且越来越慢，故选A. 2.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，其中a＞0，f（0）＜0，a＋b＋c＝0，则（　　） A.∀x∈（0，1），都有 f（x）＞0 B.∀x∈（0，1），都有 f（x）＜0 C.∃x∈（0，1），使得 f（x）＝0 D.∃x∈（0，1），使得 f（x）＞0 解析：B　由a＞0，f（0）＜0，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，抛物线开口向上.因为f（0）＝c＜0，f（1）＝a＋b＋c＝0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，所以∀x∈（0，1），都有f（x）＜0，B正确，A、C、D错误，故选B. 3.已知幂函数f（x）＝mxn的图象过点（，2），设a＝f（m），b＝f（n），c＝f（ln 2），则（　　） A.c＜b＜a B.c＜a＜b C.b＜c＜a D.a＜b＜c 解析：B　因为f（x）＝mxn为幂函数，故m＝1.因为函数f（x）＝mxn的图象过点（，2），所以（）n＝2，解得n＝3.故函数f（x）＝x3，且函数为增函数.因为n＞m＞ln 2，故c＜a＜b. 4.已知函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a，若对于区间[－1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，0] B.[0，3] C.（－∞，0]∪[3，＋∞） D.[3，＋∞） 解析：C　二次函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2），即f（x）在区间[－1，2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为（－∞，0]∪[3，＋∞）. 5.〔多选〕已知幂函数f（x）＝（m＋）xm，则（　　） A.f（－32）＝ B.f（x）的定义域是R C.f（x）是偶函数 D.不等式f（x－1）≥f（2）的解集是[－1，1）∪（1，3] 解析：ACD　因为函数f（x）是幂函数，所以m＋＝1，得m＝－，即f（x）＝，f（－32）＝[（－2）5＝（－2）－4＝，故A正确；函数的定义域是{x｜x≠0}，故B不正确；因为定义域关于原点对称，f（－x）＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，故C正确；易知函数f（x）＝在（0，＋∞）上单调递减，不等式f（x－1）≥f（2）等价于｜x－1｜≤2，得－2≤x－1≤2，且x－1≠0，解得－1≤x≤3，且x≠1，即不等式的解集是[－1，1）∪（1，3]，故D正确. 6.〔多选〕已知二次函数y＝（m－2）x2＋2mx＋m－3的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），则下面说法正确的是（　　） A.该二次函数的图象一定过定点（－1，－5） B.若该函数图象开口向下，则m的取值范围为（，2）　 C.当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m－5 D.当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足－3＜x1＜－2，－1＜x2＜0时，m的取值范围为（，11） 解析：ABD　由y＝（m－2）x2＋2mx＋m－3可得y＝m（x＋1）2－2x2－3，当x＝－1时，y＝－5，故二次函数的图象一定过定点（－1，－5），A正确；若该函数图象开口向下，且与x轴有两个不同交点，则解得＜m＜2，故B正确；当m＞2时，函数图象开口向上，对称轴为x＝－＜0，故函数在1≤x≤2时单调递增，当x＝2时，y＝9m－11，故y的最大值为9m－11，C错误；当m＞2时，函数图象开口向上，又－3＜x1＜－2，－1＜x2＜0时，则x＝－3时，y＝4m－21＞0，且x＝－2时，y＝m－11＜0，且x＝－1时，y＝－5＜0，且x＝0时，y＝m－3＞0，解得＜m＜11，m的取值范围为（，11），D正确，故选A、B、D. 7.为了保证信息的安全传输，有一种密钥系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文（加密），接收方由密文到明文（解密）.设加密密钥为y＝xα（α为常数），如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是　9　. 解析：由题意可知，在函数y＝xα中，当x＝4时，y＝2，所以2＝4α，所以α＝.所以y＝，所以当y＝3时，＝3，解得x＝9. 8.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，确定下列各式的正负：b　＞　0，ac　＜　0，a－b＋c　＜　0.（填“＞”“＜”或“＝”） 解析：因为a＜0，－＞0，c＞0，所以b＞0，ac＜0.设y＝f（x）＝ax2＋bx＋c，则a－b＋c＝f（－1）＜0. 9.已知幂函数f（x）＝（m∈N*），且该函数的图象经过点（2，）. （1）确定m的值； （2）求满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围. 解：（1）因为该函数的图象过点（2，）， 所以＝＝， 所以m2＋m＝2，所以m＝1或m＝－2， 又m∈N*，故m＝1. （2）由（1）知f（x）＝，故f（x）为[0，＋∞）上的增函数，又由f（2－a）＞f（a－1）， 得解得1≤a＜. 所以满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围为. 10.已知幂函数f（x）的图象过点（2，），则函数g（x）＝（x2＋3x＋1）·f（x）在区间［，1］上的最小值为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：C　设f（x）＝xα，因为幂函数f（x）的图象过点（2，），所以＝2α，所以α＝－1，所以f（x）＝，所以g（x）＝（x2＋3x＋1）·＝x＋＋3≥2＋3＝5，当且仅当x＝1时取等号，所以函数g（x）＝（x2＋3x＋1）·f（x）在区间［，1］上的最小值为5，故选C. 11.（2025·八省联考）已知函数f（x）＝x｜x－a｜－2a2，若当x＞2时，f（x）＞0，则a的取值范围是（　　） A.（－∞，1] B.[－2，1] C.[－1，2] D.[－1，＋∞） 解析：B　法一 当a＞2，x＞2时，f（x）＝x｜x－a｜－2a2＝当2＜x＜a时，f（x）＝－x2＋ax－2a2，此时Δ＝a2－4×2a2＝－7a2＜0，所以f（x）＜0，不满足当x＞2时，f（x）＞0，故a＞2不符合题意；当0＜a≤2，x＞2时，由f（x）＝x｜x－a｜－2a2＝x2－ax－2a2＝（x－2a）（x＋a）＞0，解得x＞2a，由于x＞2时，f（x）＞0，故2a≤2，解得0＜a≤1；当a＝0，x＞2时，f（x）＝x2＞0恒成立，符合题意；当a＜0，x＞2时，由f（x）＝x｜x－a｜－2a2＝x2－ax－2a2＝（x－2a）（x＋a）＞0，解得x＞－a，由于x＞2时，f（x）＞0，故－a≤2，解得－2≤a＜0.综上－2≤a≤1，故选B. 法二 ∵f（x）＝x｜x－a｜－2a2＝∴当x≥a时对应的函数图象为开口向上的抛物线的一部分，而x＜a时对应的函数图象为开口向下的抛物线的一部分.由图象分析可知，只有当x≥a时，才有可能满足“当x＞2时，f（x）＞0”的题意.∴即解得－2≤a≤1，故选B. 12.〔多选〕已知函数f（x）＝x2－2x＋a有两个不同的零点x1，x2，以下结论正确的是（　　） A.a＜1 B.若x1x2≠0，则＋＝ C.f（－1）＝f（3） D.函数y＝f（｜x｜）有四个零点 解析：ABC　二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝（－2）2－4a＝4－4a＞0，a＜1，故A正确；由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a，＋＝＝，故B正确；因为f（x）的对称轴为x＝1，点（－1，f（－1）），（3，f（3））关于对称轴对称，故C正确；当a＝0时，y＝f（｜x｜）＝｜x｜2－2｜x｜＝｜x｜（｜x｜－2）＝0有三个零点，故D不正确. 13.若集合A＝{α，β}⊆{－2，－1，，，2}，且函数f（x）＝xα与g（x）＝xβ的图象恰有两个交点，则满足条件的不同集合A有　4　个. 解析：y＝x－2 的图象与y＝x－1，y＝，y＝，y＝x2的图象分别有1个、1个、2个、2个交点；y＝x－1的图象与y＝，y＝，y＝x2的图象分别有1个、1个、1个交点；y＝的图象与y＝，y＝x2的图象分别有2个、2个交点；y＝的图象与y＝x2的图象有3个交点，综上可得，满足函数f（x）＝xα与g（x）＝xβ的图象恰有两个交点的集合有4个：A＝{－2，}，A＝{－2，2}，A＝{，}，A＝{，2}. 14.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2＋4x，函数f（x）在y轴左侧的图象如图所示，请根据图象： （1）画出f（x）在y轴右侧的图象，并写出函数f（x）（x∈R）的单调区间； （2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式； （3）若函数g（x）＝f（x）＋（3－a）x＋4（x∈[2，4]），求函数g（x）的最小值. 解：（1）函数f（x）是定义在R上的奇函数，即函数f（x）的图象关于原点对称，则函数f（x）图象如图所示. 故函数的单调递减区间为（－∞，－2），（2，＋∞），单调递增区间为（－2，2）. （2）根据题意，令x＞0，则－x＜0，则f（－x）＝x2－4x， 又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数， 所以－f（x）＝f（－x）＝x2－4x， 即f（x）＝－x2＋4x， 所以f（x）＝ （3）当x∈[2，4]时，f（x）＝－x2＋4x， 则g（x）＝－x2＋4x＋（3－a）x＋4＝－x2＋（7－a）x＋4， 其对称轴为x＝， 当＜3，即a＞1时，g（x）min＝g（4）＝16－4a， 当≥3，即a≤1时，g（x）min＝g（2）＝14－2a， 故g（x）min＝ 15.（新定义）定义：满足f（x）＝x的实数x称为函数f（x）的不动点，已知二次函数f（x）＝ax2＋bx，且f（x＋1）为偶函数，若函数f（x）有且仅有一个不动点. （1）求f（x）的解析式； （2）若函数g（x）＝f（x）＋＋x2，求函数g（x）在x∈[1，2]上的最小值. 解：（1）∵f（x＋1）为偶函数，∴函数f（x）关于x＝1对称， ∴－＝1. ∵函数f（x）有且仅有一个不动点，则ax2＋bx＝x只有一个根， ∴Δ＝（b－1）2＝0，解得b＝1，又－＝1，∴a＝－， ∴f（x）的解析式为f（x）＝－x2＋x. （2）g（x）＝－x2＋x＋＋x2＝x＋，x∈[1，2]， g'（x）＝1－＝， 当k≤1时，g'（x）≥0，g（x）在[1，2]上单调递增，g（x）min＝g（1）＝1＋k； 当1＜k＜4时，g（x）在[1，）上单调递减，在（，2]上单调递增，g（x）min＝g（）＝2； 当k≥4时，g'（x）≤0，g（x）在[1，2]上单调递减，g（x）min＝g（2）＝2＋. 综上所述，当k≤1时，g（x）的最小值为1＋k；当1＜k＜4时，g（x）的最小值为2；当k≥4时，g（x）的最小值为2＋. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $