第二章 第十一节 函数模型的应用-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

该高中数学讲义聚焦函数模型应用高考核心考点，涵盖一次函数、二次函数、指数对数函数等模型及性质比较，按“模型梳理-性质对比-实际应用”逻辑架构知识体系。通过考点清单、解题技法归纳、真题精讲与分层练习，帮助学生构建函数应用问题的分析框架，突破模型选择与参数求解难点。 讲义采用情境化教学和问题驱动策略，如在声压级计算问题中，引导学生用数学眼光观察实际数据，通过建立对数函数模型培养数学思维，用函数解析式精准表达现实关系。设置基础巩固、能力提升、真题挑战三级练习，配合即时方法总结，助力学生高效掌握模型应用技巧，同时为教师提供清晰的复习进度把控方案，提升课堂复习效率。

第十一节　函数模型的应用 课标要求 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具；在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 3.感悟数学模型中参数的现实意义. 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函 数模型 f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0） 反比例 函数模型 f（x）＝＋b（k，b为常数，k≠0） 二次函 数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0） 函数模型 函数解析式 指数函数模型 f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1） 对数函数模型 f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1） 幂函数模型 f（x）＝axn＋b（a，b，n为常数，a≠0，n≠0） 对勾函数模型 y＝ax＋（a，b为常数，ab＞0） 2.三种函数性质比较 类别 y＝ax（a＞1） y＝logax（a＞1） y＝xn（n＞0） 在（0，＋∞） 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与　y轴　接近平行 随x值增大，图象与　x轴　接近平行 随n值变化而各有不同 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝2x的函数值恒比y＝x2的函数值大.（　×　） （2）幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快.（　×　） （3）在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.（　×　） 2.（人A必修一 P154练习1题改编）在某个试验中，测得变量x和变量y的几组数据如表所示： x 0.50 1.09 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是（　　） A.y＝2x B.y＝x2－1 C.y＝2x－2 D.y＝log2x 解析：D　在直角坐标系中，描点连线画出图象（图略），观察图象知选D. 3.（人A必修一P140习题6题改编）某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是（　　） 解析：A　∵前3年年产量的增长速度越来越快，∴当0≤t≤3时，随着t的增大c的增长速度越来越快，c关于t的函数图象下凹.又后3年年产量保持不变，∴当3＜t≤6时，c随着t的增大保持固定的增长速度.故选A. 4.某商品在最近30天内的价格f（t）与时间t（单位：天）的函数关系是f（t）＝t＋10（0＜t≤30，t∈N），销售量g（t）与时间t的函数关系是g（t）＝－t＋35（0＜t≤30，t∈N），则这种商品的日销售金额的最大值是　506　. 解析：日销售金额y＝（－t＋35）（t＋10）＝－（t－）2＋350＋，∵t∈N，∴t＝12或13时，ymax＝506. 用函数图象刻画实际问题的变化规律（基础自学过关） 1.如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是（　　） 解析：D　开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢.故选D. 2.某校航模小组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟内的速度v（x）（单位：米/分钟）与飞行时间x（单位：分钟）的关系如图所示.若定义“速度差函数”u（x）（单位：米/分钟）为无人机在[0，x]这个时间段内的最大速度与最小速度的差，则u（x）的图象为（　　） 解析：C　由题图知，当x∈[0，6）时，无人机做匀加速运动，v（x）从80开始上升，v（x）＝80＋x，u（x）＝；当x∈[6，10）时，无人机做匀减速运动，v（x）从160下降到80，u（x）＝80；当x∈[10，12）时，无人机做匀减速运动，v（x）从80开始下降，v（x）＝180－10x，u（x）＝160－（180－10x）＝10x－20；当x∈[12，15]时无人机做匀加速运动，v（x）从60开始上升，u（x）＝160－60＝100.所以u（x）在[6，10）和[12，15]两个区间上都是常数.故选C. 3.〔多选〕某医药研究机构研发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）随时间t（单位：小时）变化的图象近似符合如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法正确的是（　　） A.a＝3 B.按规定注射一次该药物，治疗该病的有效时长为6小时 C.注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克 D.按规定注射一次该药物，治疗该病的有效时长为小时 解析：ACD　由题图易得y与t之间的函数关系式近似为y＝当t＝1时，y＝4，即（）1－a＝4，得a＝3，故A正确.y＝当药物刚好起效时，即4t＝0.125，得t＝，当药物刚好失效时，即（）t－3＝0.125，得t＝6，所以该药物治疗该病的有效时长为6－＝（小时），故B错误，D正确.注射该药物小时后，每毫升血液中的含药量为4×＝0.5（微克），故C正确.故选A、C、D. 练后悟通 　　用函数图象刻画变化过程的2种方法 （1）构建函数模型法：先建立函数模型，再结合模型选图象； （2）验证法：根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案. 已知函数模型解决实际问题（师生共研过关） 〔多选〕（2023·新高考Ⅰ卷10题）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（　　） A.p1≥p2 B.p2＞10p3 C.p3＝100p0 D.p1≤100p2 解析：ACD　由Lp＝20×lg，得p＝p0×1.由题表中的数据可知p0×103≤p1≤p0×1，p0×1≤p2≤p0×103，p3＝p0×102＝100p0，故A、C正确；因为10p3＝10×100p0＝p0×103≥p2，故B错误；因为p0×1≤100p2≤p0×105，所以p1≤100p2，故D正确.故选A、C、D. 解题技法 根据给定函数模型解决实际问题的技巧 （1）认清函数模型，明确其中的变量，弄清楚哪些为待定系数； （2）根据已知条件，确定模型中的待定系数； （3）分析函数模型，借助函数的性质解决相关问题. 1.异速生长规律描述生物的体重与其他生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y＝kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为（　　） A. B. C. D. 解析：D　设初始状态为（x1，y1），则x2＝16x1，y2＝8y1，又y1＝k，y2＝k，所以8y1＝k（16x1）α＝k·16α，故＝＝16α＝24α＝23，所以4α＝3，故α＝.故选D. 2.（2025·武汉部分学校调研）某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为N＝N0e－kt，其中N0为初始污染物的数量，k为常数.若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6个小时共能过滤掉污染物的（　　） A.49% B.51% C.65.7% D.72.9% 解析：C　当t＝2时，N＝（1－30%）N0＝0.7N0，因为N＝N0e－kt， 所以0.7N0＝N0e－2k，所以e－2k＝0.7.当t＝6时，N＝N0e－6k＝N0（e－2k）3＝0.73N0＝0.343N0，所以前6个小时共能过滤掉污染物的×100%＝65.7%，故选C. 构建函数模型解决实际问题（师生共研过关） （1）（2025·广东一模）假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过　　天，甲的“日能力值”是乙的20倍.（参考数据：lg 102≈2.008 6，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0）（　　） A.23 B.100 C.150 D.232 （1）解析：B　设甲和乙刚开始的“日能力值”为1，且n天后，甲的“日能力值”是乙的20倍，则n天后甲、乙的“日能力值”分别为（1＋2%）n，（1－1%）n，依题意，得＝20，即（）n＝20，两边取常用对数得nlg＝lg 20，因此n＝≈≈100，所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍.故选B. （2）在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）. ①求总造价y（元）关于长度x（m）的函数； ②当x（m）取何值时，总造价最低，并求出最低总造价. （2）解：①由矩形的长为x m，得矩形的宽为 m，则中间区域的长为（x－4）m，宽为m，定义域为x∈（4，50）. 则y＝100（x－4）＋200×［200－（x－4）（－4）］， 整理得y＝18 400＋400，x∈（4，50）. ②因为x＋≥2＝20，当且仅当x＝，即x＝10∈（4，50）时取等号. 所以当x＝10时，总造价最低为（18 400＋8 000）元. 解题技法 构建函数模型解决实际问题的步骤 （1）建模：抽象出实际问题的数学模型； （2）推理与运算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解； （3）评价与解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价与解释，并返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解. 1.（2024·乐山一调）地处长江上游的四川省乐山市，多年来始终树立上游意识，落实上游责任，不断提升水环境治理体系和治理能力现代化水平，为守护好这一江清水作出乐山贡献.为了解过滤净化原理，某中学科创实践小组的学生自制多层式分级过滤器，用于将含有沙石的河水进行净化.假设经过每一层过滤可以过滤掉五分之一的沙石杂质，若要使净化后河水中沙石杂质含量不超过最初的三分之一，则最少要经过的过滤层数为（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48）（　　） A.7 B.6 C.5 D.4 解析：C　由题知，设最少要经过的过滤层数为n，沙石杂质含量最初为a，则a（）n≤a，即nlg≤lg，所以n≥＝＝≈4.8，故最少要经过的过滤层数为5.故选C. 2.某专营店经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付3x万元的管理费，一年的利润＝一年的销售量×售价－（一年销售桃酥的成本＋一年的管理费）（单位：万元）. （1）求该专营店一年的利润L（单位：万元）与每袋桃酥食品的售价x的函数解析式； 解：（1）由题意知，该专营店一年的利润L（单位：万元）与售价x的函数解析式为L＝·x－（6×＋3x）＝－3x，x∈[9，11]. （2）当每袋桃酥的售价为多少元时，该专营店一年的利润L最大，并求出L的最大值. 解：（2）L＝－3x＝48－－3（x－5）－15＝33－－3（x－5）， 因为9≤x≤11，所以＋3（x－5）≥2＝24，当且仅当＝3（x－5），即x＝9时，取等号，此时L最大，为9万元. 故当每袋桃酥的售价为9元时，该专营店一年的利润最大，且最大利润为9万元. 1.（2025·衡水阶段练习）某林区的森林面积每年比上一年平均增长12%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致为（　　） 解析：D　依题意，（1＋0.12）y＝x，则y＝log1.12x，x≥1，即f（x）＝log1.12x，x≥1，显然选项A、B、C不符合题意，D符合.故选D. 2.（2025·赤峰阶段练习）每年的3月21日是世界睡眠日.充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准.对于青少年来说，每天进行中等强度的体育运动有助于提高睡眠质量.运动强度等级与运动后的心率y的关系如下表： 运动强度等级 运动不足 中等强度 运动过量 运动后的心率y y＜110 110≤y≤130 y≥130 已知青少年羽毛球运动后的心率y与运动时间t（单位：分钟）满足关系式y＝20 ln（＋1）＋a，其中a为正常心率.某同学正常心率为70，若该同学要达到中等强度的羽毛球运动，则运动时间至少约为（参考数据：e2≈7.4）（　　） A.35分钟 B.41分钟 C.52分钟 D.62分钟 解析：B　由题可知y＝20 ln（＋1）＋70≥110，则ln（＋1）≥2，所以＋1≥e2，从而t≥（e2－1）2≈40.96，可得运动时间至少约为41分钟.故选B. 3.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg（其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度），则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的（　　） A.倍 B.10倍 C.10倍 D.ln倍 解析：C　由η＝10lg得I＝I01，所以I1＝I0107，I2＝I0106，所以＝10，所以70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的10倍. 4.（2024·安徽江南十校3月联考）酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全，交通法规定：机动车驾驶人每100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg为酒后驾车，80 mg及以上为醉酒驾车.若某机动车驾驶员饮酒后，其血液中酒精含量上升到了1.2 mg/mL.假设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则到他能驾驶机动车需要的时间至少为（精确到0.001.参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）（　　） A.7.963小时 B.8.005小时 C.8.022小时 D.8.105小时 解析：C　设需经过x小时，由已知得1.2×0.8x＜0.2，所以x＞＝≈＝≈8.022，所以x＞8.022.故选C. 5.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a（a为常数），广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为　a2　（用常数a表示）. 解析：令t＝（t≥0），则A＝t2，∴D＝at－t2＝－＋a2，∴当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值. 6.一个容器装有细砂a cm3，细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细砂量为y＝ae－btcm3，经过8 min后发现容器内还有一半的细砂，则再经过　16　min，容器中的细砂只有开始时的八分之一. 解析：当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝，若容器中的细砂只有开始时的八分之一，则y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝（e－8b）3＝e－24b，即t＝24，所以再经过16 min容器中的细砂只有开始时的八分之一. 7.某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y（y值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量x（单位：克）的关系：当0≤x＜7时，y是x的二次函数；当x≥7时，y＝（）x－m.测得的部分数据如表所示. x 0 2 6 10 … y －4 8 8 … （1）求y关于x的函数关系式； （2）求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳. 解：（1）当0≤x＜7时，y是x的二次函数，设y＝ax2＋bx＋c（a≠0）. 由题意得解得 即y＝－x2＋8x－4（0≤x＜7）. 当x≥7时，y＝（）x－m，由x＝10，y＝可得m＝8， 即y＝（）x－8（x≥7）. 综上可得，y＝ （2）当0≤x＜7时，y＝－x2＋8x－4＝－（x－4）2＋12， 即当x＝4时，y取得最大值12； 当x≥7时，y＝（）x－8单调递减，即当x＝7时，y取得最大值3. 综上所述，该新合金材料的含量x为4时，产品的性能达到最佳. 8.〔多选〕血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是（　　） A.首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用 B.每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 C.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 D.首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 解析：ABC　从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第1次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误. 9.（2025·广东部分名校质量检测）大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记p为实际声压，通常我们用声压级L（p）（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级L（p）与声压p存在近似函数关系：L（p）＝alg ，其中a为常数，且常数p0（p0＞0）为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压p1为穿软底鞋走路的声压p2的100倍，且穿硬底鞋走路的声压级为L（p1）＝60分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级L（p2）的3倍.若住宅区夜间声压级超过50分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为p'，则（　　） A.a＝20，p'≤10p2 B.a＝20，p'≤p1 C.a＝10，p'≤10p2 D.a＝10，p'≤p1 解析：A　由题意得L（p1）－L（p2）＝alg＝alg 100＝2a＝60－20＝40，解得a＝20，则L（p）＝20lg.因此L（p'）＝20lg≤50，L（p'）－L（p2）＝20lg≤50－20＝30，则p'≤10p2，L（p1）－L（p'）＝20lg≥60－50＝10，则p'≤p1.故选A. 10.某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于年投资成本的10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是该企业几年来年利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据： 年份 2021 2022 2023 2024 … 年投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y 1 2 3 4 … 给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b（k≠0）；②y＝abx（a≠0，b＞0，且b≠1）；③y＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）. （1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系； （2）试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型. 解：（1）将（3，1），（5，2）代入y＝kx＋b（k≠0）， 得解得∴y＝x－. 当x＝9时，y＝4，不符合题意； 将（3，1），（5，2）代入y＝abx（a≠0，b＞0，且b≠1）， 得解得∴y＝·＝. 当x＝9时，y＝＝8，不符合题意； 将（3，1），（5，2）代入y＝loga（x＋b）（a＞0，且a≠1）， 得解得 ∴y＝log2（x－1）. 当x＝9时，y＝log28＝3； 当x＝17时，y＝log216＝4. 故可用③来描述x，y之间的关系. （2）令log2（x－1）≥6，则x≥65. ∵＜10%， ∴该企业要考虑转型. 11.（应用创新）我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变，物理学中称为“声压”，用P表示（单位：Pa），声压级SPL（单位：dB）表示声压的相对大小，已知SPL＝klg（k是常数）.当声压级SPL提高60 dB时，声压P会变为原来的1 000倍. （1）求声压级SPL关于声压P的函数解析式； （2）已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压P＝，一般当声压级SPL＜45 dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40 dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？请说明理由.（参考数据：lg 2≈0.3） 解：（1）由题意可得，klg＋60＝klg， 则klg＋60＝k（3＋lg）， 所以3k＝60，解得k＝20， 故声压级SPL关于声压P的函数解析式为SPL＝20lg. （2）不会干扰我们正常的学习，理由如下： 当SPL＝40时，由20lg＝40，即lg＝2，可得P1＝P2＝2×10－3， 所以P＝＝P1＝2×10－3，将其代入SPL＝20lg可得SPL＝20lg＝20lg（×102）＝40＋10lg 2≈43＜45， 故不会干扰我们正常的学习. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $