第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

该高中数学高考复习讲义围绕函数的奇偶性与周期性核心考点，按定义、图象特征、性质结论到应用的逻辑层次梳理知识，通过考点解析、解题技法总结、真题改编训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破判断、求值、解不等式等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，采用师生共研判断奇偶性的定义法、图象法，定向突破周期性与奇偶性综合应用问题。设置基础巩固、能力提升分层练习，结合高考真题精讲，帮助学生在有限时间内掌握解题策略，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第三节　函数的奇偶性与周期性 课标要求 1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用. 1.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有　－x　∈D 且f（－x）＝　f（x）　，那么函数f（x）就叫做偶函数 且f（－x）＝　－f（x）　，那么函数f（x）就叫做奇函数 图象 特征 关于　y轴　对称 关于　原点　对称 提醒 函数存在奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称. 2.函数的周期性 （1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且　f（x＋T）＝f（x）　，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期； （2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个　最小　的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期. 1.函数奇偶性常用结论 （1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）； （2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数周期性常用结论 对f（x）定义域内任一自变量x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）； （2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a＞0）； （3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a＞0）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝x2在x∈（0，＋∞）上是偶函数.（　×　） （2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0.（　×　） （3）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期.（　√　） 2.（人A必修一P84例6改编）下列函数是奇函数的是（　　） A.y＝x2sin x B.y＝x2cos x C.y＝ln ｜x｜ D.y＝2－x 解析：A　根据奇函数的定义知奇函数满足f（－x）＝－f（x），且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项为偶函数；D选项既不是奇函数，也不是偶函数. 3.（苏教必修一P127习题5题改编）已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（　　） A.－ B. C. D.－ 解析：B　显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝，∴a＋b＝. 4.（人A必修一P203练习4题改编）已知函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝x2＋4，则f（2 026）＝　5　. 解析：因为f（x＋3）＝f（x），所以f（x）是以3为周期的周期函数，所以f（2 026）＝f（675×3＋1）＝f（1）＝5. 5.已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋m，则f（－3）＝　－7　. 解析：由结论知f（0）＝0，即f（0）＝20＋m＝0，解得m＝－1，故f（x）＝2x－1（x≥0），则f（－3）＝－f（3）＝－（23－1）＝－7. 函数奇偶性的判断（师生共研过关） 判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝＋； 解：（1）f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称. 又f（－1）＝f（1）＝0，f（－1）＝－f（1）＝0， 所以f（x）既是奇函数又是偶函数. （2）f（x）＝｜x＋1｜－｜x－1｜； 解：（2）f（x）的定义域为R，且f（－x）＝｜－x＋1｜－｜－x－1｜＝｜x－1｜－｜x＋1｜＝－f（x）， 所以函数f（x）为奇函数. （3）f（x）＝. 解：（3）由1－x2≥0得－1≤x≤1，所以x＋2＞0， 所以f（x）＝，定义域为[－1，0）∪（0，1]，关于原点对称. 又f（－x）＝＝－＝－f（x）， 所以函数f（x）是奇函数. （4）f（x）＝ 解：（4）法一（图象法） 画出函数f（x）＝的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f（x）为偶函数. 法二（定义法） 易知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，当x＞0时，f（x）＝x2－x，则当x＜0时，－x＞0，故f（－x）＝x2＋x＝f（x）；当x＜0时，f（x）＝x2＋x，则当x＞0时，－x＜0，故f（－x）＝x2－x＝f（x），故原函数是偶函数. 法三（性质法）　f（x）还可以写成f（x）＝x2－｜x｜（x≠0），故f（x）为偶函数. 解题技法 函数奇偶性的判断方法 （1）定义法 （2）图象法 （3）性质法：设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 提醒 对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f（－x0）＝－f（x0），不能判定函数f（x）是奇函数. 1.（2024·天津高考4题）下列函数是偶函数的是（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝ 解析：B　法一 对于A，f（－x）＝＝≠f（x），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝＝＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数；对于D，f（－x）＝＝＝－＝－f（x），故f（x）是奇函数.故选B. 法二（特殊值法） 对于A，f（1）＝＝，f（－1）＝＝，f（1）≠f（－1），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝＝＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数；对于D，f（π）＝＝，f（－π）＝＝，f（π）≠f（－π），故f（x）不是偶函数.故选B. 法三（性质法）　易知y＝x2＋1与y＝e｜x｜均为偶函数，且恒为正.对于A，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f（x）也是非奇非偶函数；对于B，y＝cos x＋x2是偶函数，所以f（x）是偶函数；对于C，易知f（x）的定义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；对于D，y＝sin x＋4x是奇函数，所以f（x）是奇函数，故选B. 2.设函数f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，则f（x）（　　） A.是偶函数，且在（，＋∞）上单调递增 B.是奇函数，且在（－，）上单调递减 C.是偶函数，且在（－∞，－）上单调递增 D.是奇函数，且在（－∞，－）上单调递减 解析：D　f（x）的定义域为{x｜x≠±}，f（－x）＝ln｜－2x＋1｜－ln｜－2x－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），则f（x）为奇函数.当x∈（－，）时，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x）单调递增；当x∈（－∞，－）时，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（－2x＋1）＝ln（）＝ln（1＋）单调递减.故选D. 函数奇偶性的应用（定向精析突破） 考向1　利用函数奇偶性求值（解析式） （1）已知偶函数f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝2sin x，当x∈[2，＋∞）时，f（x）＝log2x，则f（－）＋f（4）＝（　C　） A.－＋2 B.1 C.＋2 D.3 解析：（1）因为函数f（x）是偶函数，当x∈[0，2）时，f（x）＝2sin x，所以f（－）＝f（）＝2sin＝.又因为当x∈[2，＋∞）时，f（x）＝log2x，所以f（4）＝log24＝2，所以f（－）＋f（4）＝＋2. （2）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x－2x＋a，则a＝　－1　；当x＜0时，f（x）＝　－2－x－2x＋1　. 解析：（2）因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即1＋a＝0，所以a＝－1.当x≥0时，f（x）＝2x－2x－1，设x＜0，则－x＞0，所以f（－x）＝2－x－2（－x）－1＝2－x＋2x－1，又f（x）为奇函数，所以f（x）＝－f（－x），所以f（x）＝－2－x－2x＋1. 解题技法 函数奇偶性的应用类型及解题策略 （1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程式（组），从而得到f（x）的解析式； （2）求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解； （3）求参数值：利用待定系数法求解，根据f（x）±f（－x）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，得出参数的值.对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解. 考向2　利用函数奇偶性解不等式 （2025·朔州高三阶段练习）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x＋2）.若f（3＋m）＋f（3m－7）＞0，则m的取值范围为（　　） A.（－∞，0） B.（0，＋∞） C.（－∞，1） D.（1，＋∞） 解析：D　当x≥0时，f（x）的对称轴为x＝－1，故f（x）在[0，＋∞）上单调递增.函数在x＝0处连续，又f（x）是定义域为R的奇函数，故f（x）在R上是增函数.因为f（－x）＝－f（x），由f（3＋m）＋f（3m－7）＞0，可得f（3＋m）＞f（7－3m），又因为f（x）在R上是增函数，所以3＋m＞7－3m，解得m＞1.故选D. 解题技法 利用函数的奇偶性解不等式的解题策略 　　利用奇、偶函数的图象特征或根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，将问题转化到同一单调区间内求解，涉及偶函数时常用f（x）＝f（｜x｜），将问题转化到区间[0，＋∞）上求解. 1.（2024·开封第二次质量检测）若函数f（x）＝是奇函数，则实数a＝（　　） A.0 B.－1 C.1 D.±1 解析：C　法一（定义法） 因为函数f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝－a2x－1，－f（x）＝－x－a，则－a2x－1＝－x－a，可得a＝1，故选C. 法二（特殊值法） 因为函数f（x）是奇函数，所以f（－1）＝－f（1），即－a2－1＝－（1＋a），解得a＝0或a＝1，经检验a＝1符合题意，故选C. 2.已知偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，且f（1）＝0，则不等式xf（x－2）＞0的解集为（　　） A.（1，3） B.（3，＋∞） C.（－3，－1）∪（3，＋∞） D.（0，1）∪（3，＋∞） 解析：D　偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，则在（0，＋∞）上单调递增.因为f（1）＝0，则当x＞0时，xf（x－2）＞0即f（｜x－2｜）＞0＝f（1），所以x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，所以x∈（0，1）∪（3，＋∞）.当x＜0时，xf（x－2）＞0即f（x－2）＜0，f（｜x－2｜）＜0＝f（1），所以－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所以解集为空集.综上，原不等式的解集为（0，1）∪（3，＋∞）. 函数的周期性（师生共研过关） （1）已知定义在R上的函数f（x）满足对任意x都有f（x＋2）＝，且f（2）＝2，则f（2 026）＝　2　； 解析：（1）因为f（x＋2）＝，所以f（x＋4）＝＝＝f（x），所以f（x）的周期为4，所以f（2 026）＝f（4×506＋2）＝f（2）＝2. （2）已知偶函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝cos x，则x∈[2 025，2 026]时，f（x）＝　－cos x　. 解析：（2）因为f（x＋2）＝f（x），所以f（x）的周期为2.设x∈[2 025，2 026]，则x－2 026∈[－1，0]，因此2 026－x∈[0，1]，因为当x∈[0，1]时，f（x）＝cos x，所以f（2 026－x）＝cos［（2 026－x）］＝cos（1 013π－x）＝－cosx，又因为函数f（x）的周期为2，且为偶函数，所以f（2 026－x）＝f（－x）＝f（x），故当x∈[2 025，2 026]时，f（x）＝－cos x. 解题技法 函数周期性的判定与应用 （1）判定：判断函数为周期函数只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0）即可，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题； （2）应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期. 1.定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）－2，则下列是周期函数的是（　　） A.y＝f（x）－x B.y＝f（x）＋x C.y＝f（x）－2x D.y＝f（x）＋2x 解析：D　依题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）－2，所以f（x＋1）＋2（x＋1）＝f（x）＋2x，所以y＝f（x）＋2x是周期为1的周期函数. 2.已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，4]上与x轴的交点有　5　个. 解析：当0≤x＜2时，令f（x）＝x3－x＝x（x2－1）＝0，所以y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.当2≤x＜4时，0≤x－2＜2，又f（x）的最小正周期为2，所以f（x－2）＝f（x），所以f（x）＝（x－2）（x－1）（x－3），所以当2≤x＜4时，y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f（4）＝f（2）＝f（0）＝0，综上可知，共有5个交点. 1.已知函数f（x）满足对于任意的实数x，都有f（x＋3）＝，且f（3）＝，则f（2 025）＝（　　） A.－ B. C.－1 D.1 解析：B　由f（x＋3）＝得f（x）的周期T＝6，f（2 025）＝f（337×6＋3）＝f（3）＝. 2.已知函数f（x）＝x3－，则f（x）（　　） A.是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递增 B.是奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增 C.是偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减 D.是奇函数，且在（0，＋∞）上单调递减 解析：B　f（x）的定义域为{x｜x≠0}，f（－x）＝－（x3－）＝－f（x），即函数f（x）为奇函数，当x＞0时，y＝x3单调递增，y＝－单调递增.故函数f（x）＝x3－在x＞0时单调递增.故选B. 3.（2025·湛江一模）已知函数f（x）＝（2x－）·cos x是偶函数，则实数a＝（　　） A.1 B.－1 C.2 D.－2 解析：B　∵f（x）的定义域为R，f（－x）＝（2－x－）·cos（－x）＝（－a·2x＋）cos x，f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），则－a＝1，解得a＝－1.故选B. 4.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f（x＋2）＝－f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝x2＋ax＋b，则a＋b＝（　　） A.0 B.－1 C.－2 D.2 解析：C　因为f（x）是定义在R上的奇函数，且x∈[0，2]时，f（x）＝x2＋ax＋b，所以f（0）＝b＝0，f（－x）＝－f（x）.又对任意的x∈R，都有f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋2）＝f（－x），所以函数图象关于直线x＝1对称，所以－＝1，解得a＝－2，所以a＋b＝－2.故选C. 5.〔多选〕函数f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2－1，则（　　） A.f（－1）＝－1 B.g（－1）＝－2 C.f（1）＋g（1）＝1 D.f（1）＋g（1）＝2 解析：AC　法一 由f（x）－g（x）＝x3＋x2－1得f（－x）－g（－x）＝－x3＋x2－1，又f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以－f（x）－g（x）＝－x3＋x2－1.由得f（x）＝x3，g（x）＝－x2＋1.对于A，f（－1）＝（－1）3＝－1，故A正确；对于B，g（－1）＝－（－1）2＋1＝0，故B错误；对于C和D，f（1）＋g（1）＝1－1＋1＝1，C正确，D错误. 法二 因为f（x）－g（x）＝x3＋x2－1，且f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，将x＝－1代入得f（－1）－g（－1）＝－1，所以－f（1）－g（1）＝－1，即f（1）＋g（1）＝1，故C正确，D错误；将x＝1代入得f（1）－g（1）＝1，又f（1）＋g（1）＝1，所以f（1）＝1，g（1）＝0，所以f（－1）＝－1，g（－1）＝0，故A正确，B错误. 6.〔多选〕函数f（x）的定义域为R，且f（x）与f（x＋1）都为奇函数，则（　　） A.f（x－1）为奇函数 B.f（x）为周期函数 C.f（x＋3）为奇函数 D.f（x＋2）为偶函数 解析：ABC　由题意知：f（－x－1）＋f（x＋1）＝0且f（－x＋1）＋f（x＋1）＝0，∴f（1－x）＝f（－1－x），即f（x－1）＝f（x＋1），可得f（x）＝f（x＋2），∴f（x）是周期为2的函数，且f（x－1），f（x＋2）为奇函数，故A、B正确，D错误；由上知：f（x＋1）＝f（x＋3），即f（x＋3）为奇函数，C正确.故选A、B、C. 7.已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8（a，b是常数），且f（－3）＝5，则f（3）＝　－21　. 解析：令g（x）＝x5＋ax3＋bx，则g（－x）＝（－x）5＋a（－x）3＋b（－x）＝－g（x），即g（x）是奇函数，依题意，g（x）＝f（x）＋8，而g（－3）＋g（3）＝0，则 f（－3）＋8＋f（3）＋8＝0，又f（－3）＝5，所以f（3）＝－21. 8.（2025·中山模拟预测）已知函数f（x）＝2x－sin 2x，则不等式f（x2）＋f（3x－4）＜0的解集为　（－4，1）　. 解析：由f（x）＝2x－sin 2x得f'（x）＝2－2cos 2x＝2（1－cos 2x）≥0，所以函数f（x）＝2x－sin 2x是R上的增函数，又由f（－x）＝－2x－sin（－2x）＝－（2x－sin 2x）＝－f（x）得函数f（x）是奇函数，则由f（x2）＋f（3x－4）＜0得f（x2）＜－f（3x－4）＝f（4－3x），所以x2＜4－3x⇒x2＋3x－4＜0⇒（x－1）（x＋4）＜0，解得－4＜x＜1. 9.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）.当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2. （1）求证：f（x）是周期函数； 解：（1）证明：因为f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）.所以f（x）是周期为4的周期函数. （2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式. 解：（2）因为x∈[2，4]，所以－x∈[－4，－2]，所以4－x∈[0，2]，所以f（4－x）＝2（4－x）－（4－x）2＝－x2＋6x－8. 因为f（4－x）＝f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝－x2＋6x－8，即f（x）＝x2－6x＋8，x∈[2，4]. 10.已知函数f（x）（x∈R，且x≠0）对任意不等于0的实数x1，x2都有f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2），则f（x）为（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既为奇函数也为偶函数 解析：B　令x1＝x2＝1得f（1）＝f（1）＋f（1），即f（1）＝0，令x1＝x2＝－1得f（1）＝f（－1）＋f（－1），即f（－1）＝0，令x1＝－1，x2＝x得f（－x）＝f（－1）＋f（x），即f（－x）＝f（x），所以f（x）是偶函数，故选B. 11.已知函数f（x）的定义域为R，y＝f（x）＋ex是偶函数，y＝f（x）－3ex是奇函数，则函数f（x）的最小值为（　　） A.e B.2 C.2 D.2e 解析：B　因为函数y＝f（x）＋ex是偶函数，则f（－x）＋e－x＝f（x）＋ex，即f（x）－f（－x）＝e－x－ex　①，又因为函数y＝f（x）－3ex是奇函数，则f（－x）－3e－x＝－f（x）＋3ex，即f（x）＋f（－x）＝3ex＋3e－x　②，联立①②可得f（x）＝ex＋2e－x，由基本不等式可得f（x）＝ex＋2e－x≥2＝2，当且仅当ex＝2e－x，即x＝ln 2时，等号成立，故函数f（x）的最小值为2.故选B. 12.〔多选〕（2024·九省联考）已知函数f（x）的定义域为R，且f（）≠0，若f（x＋y）＋f（x）f（y）＝4xy，则（　　） A.f（－）＝0 B.f（）＝－2 C.函数f（x－）是偶函数 D.函数f（x＋）是减函数 解析：ABD　当x＝0，y＝时，f（）＋f（0）f（）＝0，f（）（1＋f（0））＝0，而f（）≠0，所以f（0）＝－1，当x＝－，y＝时，f（0）＋f（－）f（）＝－1，f（－）f（）＝0，所以f（－）＝0，故A正确；f（x）过（0，－1），（－，0），令f（x）＝kx＋b，则解得所以f（x）＝－2x－1，f（x＋y）＋f（x）f（y）＝－2（x＋y）－1＋（－2x－1）（－2y－1）＝4xy，符合题意，所以f（）＝－2，故B正确；f（x－）＝－2（x－）－1＝－2x为奇函数，故C错误；f（x＋）＝－2（x＋）－1＝－2x－2为减函数，故D正确. 13.已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：①对于任意的x∈R，都有f（x＋1）＝；②函数y＝f（x）是偶函数；③当x∈（0，1]时，f（x）＝x＋ex，则f（－），f（），f（）从小到大的排列是　：f（－）＜f（）＜f（）　. 解析：由f（x＋1）＝，得f（x＋2）＝＝f（x），故函数y＝f（x）的周期为2，f（－）＝f（），f（）＝f（8－）＝f（－）＝f（），f（）＝f（6－）＝f（），∵当x∈（0，1]时，f（x）＝x＋ex单调递增，∴f（）＜f（）＜f（），故f（－）＜f（）＜f（）. 14.已知函数f（x）是定义在[－3，3]上的奇函数，当0＜x≤3时，f（x）＝x2＋x. （1）求当－3≤x＜0时，函数f（x）的解析式； 解：（1）设－3≤x＜0，则0＜－x≤3， 所以f（－x）＝（－x）2－x＝x2－x， 因为f（x）是定义在[－3，3]上的奇函数， 所以f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝x2－x，所以f（x）＝－x2＋x， 即当－3≤x＜0时，函数f（x）的解析式为f（x）＝－x2＋x. （2）若f（a＋1）＋f（2a－1）＞0，求实数a的取值范围. 解：（2）由f（a＋1）＋f（2a－1）＞0，得f（a＋1）＞－f（2a－1）， 因为f（x）为奇函数，所以f（a＋1）＞f（1－2a）， 当0＜x≤3时，f（x）＝x2＋x＝（x＋1）2－，所以f（x）在（0，3]上单调递增， 因为函数f（x）是定义在[－3，3]上的奇函数，所以f（x）在[－3，3]上单调递增， 所以解得0＜a≤2， 故实数a的取值范围是（0，2]. 15.（创新设问方式）定义在R上的不恒为零的偶函数f（x）满足xf（x＋2）＝（x＋2）f（x），且f（2）＝4.则[f（2k）＋f（－2k）]＝（　　） A.30 B.60 C.90 D.120 解析：D　由题意可知，＝，且＝2，则＝＝＝＝＝2，所以f（2）＋f（4）＋f（6）＋f（8）＋f（10）＝2（2＋4＋6＋8＋10）＝60，因为函数f（x）为偶函数，所以f（－2）＋f（－4）＋f（－6）＋f（－8）＋f（－10）＝60，则[f（2k）＋f（－2k）]＝60＋60＝120.故选D. 16.（定义新性质）设函数f（x）的定义域为R.若存在常数T，A（T＞0，A＞0），使得对任意x∈R，f（x＋T）＝Af（x）都成立，则称函数f（x）具有性质P. （1）判断函数y＝x和y＝cos x是否具有性质P；（结论不要求证明） （2）若函数f（x）具有性质P，且其对应的T＝π，A＝2.当x∈（0，π]时，f（x）＝sin x，求函数f（x）在区间[－π，0]上的最大值. 解：（1）因为函数y＝x是增函数， 所以函数y＝x不具有性质P. 当A＝1，T＝2π时， 函数y＝cos x对于任意x∈R，f（x＋T）＝Af（x）都成立， 所以y＝cos x具有性质P. （2）设x∈（－π，0]，则x＋π∈（0，π]， 由题意得f（x＋π）＝2f（x）＝sin（x＋π）， 所以f（x）＝－sin x，x∈（－π，0]. 由f（－π＋π）＝2f（－π），f（0＋π）＝2f（0）， 得f（－π）＝f（π）＝0， 所以当x∈[－π，0]时，f（x）＝－sin x， 所以当x＝－时，f（x）在[－π，0]上有最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $