第二章 第七节 指数函数-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

该高中数学高考复习讲义聚焦指数函数专题，涵盖概念、图象与性质等核心考点，依据课标要求构建知识体系，通过考点梳理明确指数函数定义与图象性质的内在联系，结合解题技法指导、真题训练等环节，帮助学生突破单调性判断、图象应用等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义突出数学思维培养，设计分类讨论策略，如通过特殊点判断图象和分底数a＞1与0＜a＜1讨论性质，设置分层练习与真题改编题，保障复习效果，助力学生提升用数学语言表达和解决问题的能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第七节　指数函数 课标要求 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 1.指数函数的概念 函数y＝　ax　（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数. 提醒 形如y＝kax（y＝ax＋k）（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数叫做指数型函数，只有k＝1时，y＝ax才是指数函数. 2.指数函数的图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域为　R　，值域为　（0，＋∞）　 图象过定点　（0，1）　 当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1 　增　函数 　减　函数 提醒 指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，应分a＞1与0＜a＜1来研究. 1.函数y＝ax与y＝（）x（a＞0，且a≠1）的图象关于y轴对称. 2.作指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：（1，a），（0，1），（－1，）. 3.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.（　√　） （2）若am＜an（a＞0，且a≠1），则m＜n.（　×　） （3）若函数f（x）是指数函数，且f（1）＞1，则f（x）是增函数.（　√　） 2.（苏教必修一P145例3（2）改编）函数y＝ax＋2＋1（a＞0，且a≠1）的图象过定点（　　） A.（－1，1） B.（2，1） C.（－2，2） D.（2，－2） 解析：C　令x＋2＝0，则x＝－2，此时y＝a－2＋2＋1＝2，故函数y＝ax＋2＋1的图象过定点（－2，2），故选C. 3.〔多选〕下列函数中，值域为（0，＋∞）的是（　　） A.y＝x2　 B.y＝　 C.y＝2x　 D.y＝3x－1 解析：CD　y＝x2的值域为[0，＋∞）；y＝的值域为（－∞，0）∪（0，＋∞）；y＝2x的值域为（0，＋∞）；y＝3x－1的值域为（0，＋∞）. 4.（人A必修一 P119习题3题改编）已知2x－1＜23－x，则x的取值范围是　（－∞，2）　. 解析：由指数函数的性质，得x－1＜3－x，解得x＜2，所以x的取值范围是（－∞，2）. 5.若函数f（x）＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝　2或　. 解析：若a＞1，则f（x）max＝f（1）＝a＝2；若0＜a＜1，则f（x）max＝f（－1）＝a－1＝2，得a＝. 指数函数的图象及应用（师生共研过关） （1）设a，b为实数，a＞0，a≠1.已知函数y＝ax＋b的图象如图所示，则下列结论正确的是（　B　） A.a＞1，b＜0 B.a＞1，b＜－1 C.0＜a＜1，b＞1 D.0＜a＜1，b＜－1 解析：（1）由题图可知函数y＝ax＋b为增函数，即a＞1，所以a的取值范围为（1，＋∞）；由题图可知当x＝0时，有y＝a0＋b＝1＋b＜0，解得b＜－1，所以b的取值范围为（－∞，－1）. （2）若直线y＝2a与函数y＝｜ax－1｜（a＞0，且a≠1）的图象有两个交点，则a的取值范围是　（0，）　. 解析：（2）y＝｜ax－1｜的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，保持x轴上及其上方的图象不变得到的.当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不符合题意；当0＜a＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，即0＜a＜.综上可知，a的取值范围是（0，）. 解题技法 有关指数函数图象问题的解题策略 （1）已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足，则排除； （2）对于指数（型）函数图象的问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到所求函数的图象.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 1.函数f（x）＝（）｜x＋1｜的图象大致为（　　） 解析：B　作出函数y＝（）｜x｜的图象，如图所示，将y＝（）｜x｜的图象向左平移1个单位长度得到f（x）＝（）｜x＋1｜的图象. 2.已知函数y＝2｜x＋a｜的图象关于y轴对称，则实数a＝　0　. 解析：由于函数图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，所以2｜x＋a｜＝2｜－x＋a｜.根据指数函数的单调性可知｜x＋a｜＝｜－x＋a｜，只有当a＝0时，等式恒成立.故a＝0. 指数函数的性质及应用（定向精析突破） 考向1　比较指数式的大小 （人A必修一 P117例3改编）已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则（　　） A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.c＞b＞a 解析：D　由指数函数y＝0.3x在定义域内是减函数，得a＜b，由幂函数y＝x0.5在定义域内是增函数，得c＞b. 解题技法 比较指数式大小的方法 （1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； （2）不能化成同底数的，一般引入“0”“1”等中间量比较大小. 考向2　解简单的指数方程或不等式 （1）已知不等式≤（）x－2的解集为A，则A＝　[－3，1]　； （2）若函数f（x）＝4x－a·2x－1＋4的一个零点是0，那么它的另一个零点为　2　. 解析：（1）∵（）x－2＝（2－2）x－2＝2－2x＋4，∴≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，故A＝[－3，1]. （2）依题意有f（0）＝40－a·2－1＋4＝0，解得a＝10，于是f（x）＝4x－10·2x－1＋4＝（2x）2－5·2x＋4，令2x＝t（t＞0），则函数化为y＝t2－5t＋4，令y＝0，解得t＝1或t＝4，当t＝1时，得x＝0；当t＝4时，得x＝2，所以函数f（x）的另一个零点为2. 解题技法 解指数方程或不等式的依据及方法 （1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，等价于f（x）＜g（x）； （2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解. 1.（2023·天津高考3题）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（　　） A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞b＞c D.b＞a＞c 解析：D　∵指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞1.010.5，故b＞a.∵幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞0.60.5，故a＞c.故选D. 2.设函数f（x）＝则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是　（－∞，4]　. 解析：当x＜1时，由2x－1≤2，得x＜1；当x≥1时，由≤2，得1≤x≤4.所以使得f（x）≤2成立的x的取值范围为（－∞，4]. 指数型函数性质的综合问题（师生共研过关） （1）（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（　D　） A.（－∞，－2] B.[－2，0） C.（0，2] D.[2，＋∞） 解析：（1）设t＝x（x－a），易知函数y＝2t是增函数.因为f（x）＝2x（x－a）在（0，1）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x（x－a）在（0，1）上单调递减.因为函数t＝x（x－a）在（－∞，）上单调递减，所以≥1，即a≥2.故选D. （2）〔多选〕（2025·温州高三统一测试）已知函数f（x）＝，则（　AD　） A.不等式｜f（x）｜＜的解集是（－1，1） B.∀x∈R，有f（－x）＝f（x） C.f（x）在R上是减函数 D.f（x）的值域为（－1，1） 解析：（2）对于A，｜f（x）｜＜，即－＜＜，即－＜1－＜，即＜＜，即＜2x＋1＜3，即＜2x＜2，所以－1＜x＜1，故A正确；对于B，f（－x）＝＝＝－f（x），故B错误；对于C，f（x）＝1－，因为u＝2x＋1在R上是增函数，且u＞1，y＝1－在u＞1时单调递增，所以f（x）在R 上是增函数，故C错误；对于D，记y＝f（x）＝1－，显然y≠1，则2x＝，由2x＞0得，＞0，解得－1＜y＜1，所以函数f（x）的值域为（－1，1），故D正确.综上，选A、D. 解题技法 指数型函数问题的求解策略 　　对于指数型函数问题，关键是判断其单调性，对于形如y＝af（x）的函数的单调性，它的单调区间与f（x）的单调区间有关：若a＞1，则函数f（x）的单调递增（减）区间即为函数y＝af（x）的单调递增（减）区间；若0＜a＜1，则函数f（x）的单调递增（减）区间即为函数y＝af（x）的单调递减（增）区间. 1.若函数f（x）＝a｜x＋1｜（a＞0，且a≠1）的值域为[1，＋∞），则f（－4）与f（1）的关系是（　　） A.f（－4）＞f（1） B.f（－4）＝f（1） C.f（－4）＜f（1） D.不能确定 解析：A　由题意知a＞1，所以f（－4）＝a3，f（1）＝a2，由指数函数的单调性知a3＞a2，所以f（－4）＞f（1）. 2.已知奇函数f（x）＝ax－b·a－x（a＞0，a≠1）在[－1，1]上的最大值为，则a＝（　　） A.或3 B.或2 C.3 D.2 解析：A　由奇函数的性质可知，f（0）＝0，∴1－b＝0，∴b＝1，经检验，b＝1符合题意，∴f（x）＝ax－a－x.当a＞1时，f（x）＝ax－a－x在[－1，1]上单调递增，∴f（x）max＝f（1）＝a－a－1＝，解得a＝3或a＝－（舍去）；当0＜a＜1时，f（x）＝ax－a－x在[－1，1]上单调递减，∴f（x）max＝f（－1）＝a－1－a＝，解得a＝或a＝－3（舍去）.综上所述，a＝3或a＝.故选A. 1.已知指数函数f（x）＝（2a2－5a＋3）ax在（0，＋∞）上单调递增，则实数a＝（　　） A. B.1 C. D.2 解析：D　由题意得2a2－5a＋3＝1， ∴2a2－5a＋2＝0， ∴a＝2或a＝.当a＝2时，f（x）＝2x在（0，＋∞）上单调递增，符合题意；当a＝时，f（x）＝（）x在（0，＋∞）上单调递减，不符合题意.∴a＝2. 2.（2024·天津高考5题）若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为（　　） A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞a＞b D.b＞c＞a 解析：B　由函数y＝4.2x是增函数可知，0＜a＜1＜b，又c＝log4.20.2＜0，故b＞a＞c，故选B. 3.若函数y＝2－x＋1＋m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　） A.（－∞，－2] B.[－2，＋∞） C.（－∞，－1] D.[－1，＋∞） 解析：A　y＝2－x＋1＋m＝（）x－1＋m，由指数函数的单调性可得函数为减函数，因为图象不经过第一象限，所以当x＝0时，（）－1＋m≤0，解得m≤－2，故选A. 4.已知函数f（x）＝1＋2x－｜1－2x｜，则f（x）的值域是（　　） A.（－∞，2] B.（0，2] C.（0，3] D.[1，2] 解析：B　①当x≤0时，0＜2x≤1，所以f（x）＝1＋2x－1＋2x＝2·2x，又因为0＜2x≤1，所以0＜2·2x≤2，所以0＜f（x）≤2；②当x＞0时，2x＞1，所以f（x）＝1＋2x＋1－2x＝2.综上，f（x）的值域为（0，2].故选B. 5.（2025·珠海阶段练习）若函数f（x）＝（）（x－a）（x＋2）在区间（－1，2）上单调递增，则a的取值范围是（　　） A.[0，6] B.[－2，0] C.[6，＋∞） D.（6，＋∞） 解析：C　f（x）＝（，设y＝（）t，t＝x2－（a－2）x－2a，因为y＝（）t是减函数，f（x）在（－1，2）上单调递增，所以t＝x2－（a－2）x－2a在（－1，2）上单调递减，则≥2，即a≥6.故选C. 6.〔多选〕（2025·乌鲁木齐质量监测）已知函数f（x）＝，g（x）＝，则（　　） A.函数f（x）在R上是增函数 B.函数f（x）g（x）是奇函数 C.函数f（x）与g（x）的图象关于原点对称 D.g（2x）＝[f（x）]2＋[g（x）]2 解析：ABD　对于A，因为y＝ex在R上是增函数，y＝－e－x在R上是增函数，所以f（x）＝在R上是增函数，故A正确；对于B，因为f（x）g（x）＝·＝，所以f（－x）g（－x）＝＝－f（x）g（x），所以f（x）g（x）为奇函数，故B正确；对于C，因为f（x）为奇函数，图象关于原点对称，而g（x）为偶函数，图象关于y轴对称，所以f（x）与g（x）的图象不会关于原点对称，故C错误；对于D，[f（x）]2＋[g（x）]2＝（）2＋（）2＝＋＝＝g（2x），故D正确.综上，选A、B、D. 7.写出一个值域为（－∞，1），在区间（－∞，＋∞）上是增函数的函数f（x）＝　1－（）x（答案不唯一）　. 解析：f（x）＝1－（）x，理由如下：∵y＝（）x为R上的减函数，且（）x＞0，∴f（x）＝1－（）x为R上的增函数，且f（x）＝1－（）x＜1，∴f（x）＝1－（）x符合题意. 8.对任意实数a＞1，函数y＝（a－1）x－1＋1的图象过定点A（m，n），f（x）＝（）x的定义域为[0，2]，g（x）＝f（2x）＋f（x），则g（x）的值域为　[2，6]　.　　 解析：令x－1＝0，得x＝1，此时y＝（a－1）0＋1＝2，所以函数y＝（a－1）x－1＋1的图象过定点A（1，2），即m＝1，n＝2，所以f（x）＝（）x＝2x，x∈[0，2]，所以g（x）＝f（2x）＋f（x）＝22x＋2x，所以得0≤x≤1，所以g（x）的定义域为[0，1].又y＝22x，y＝2x均是增函数，所以g（x）是增函数，所以g（x）的值域为[2，6]. 9.已知函数f（x）＝（）｜x｜－a. （1）求f（x）的单调区间； （2）若f（x）的最大值等于，求实数a的值. 解：（1）不论a取何值，u＝｜x｜－a在（－∞，0]上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，又y＝（）u是减函数，因此f（x）的单调递增区间是（－∞，0]，单调递减区间是（0，＋∞）. （2）由于f（x）的最大值是，且＝（）－2，所以u（x）＝｜x｜－a有最小值－2，即u（0）＝－2，从而a＝2. 10.已知f（x）＝2x－2－x，则使f（x）＜f（－3x2＋4）成立的实数x的取值范围是（　　） A.（－，1） B.（－1，） C.（－∞，1）∪（，＋∞） D.（－∞，－）∪（1，＋∞） 解析：A　因为f（x）＝2x－2－x＝2x－（）x，所以f（x）是增函数，又因为f（x）＜f（－3x2＋4），所以x＜－3x2＋4，3x2＋x－4＜0，所以（3x＋4）（x－1）＜0，所以x的取值范围为（－，1）.故选A. 11.对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0，满足f（－x0）＝－f（x0），则称f（x）为“局部奇函数”.已知f（x）＝－aex－1在R上为“局部奇函数”，则a的取值范围是（　　） A.[－1，＋∞） B.（－∞，－1] C.[－1，0） D.（－∞，1] 解析：C　因为f（x）＝－aex－1在R上为“局部奇函数”，所以存在实数x0，使得－a－1＝a＋1，所以方程－ae－x－1＝aex＋1在R上有解，所以方程＝a在R上有解，又ex＋e－x＝ex＋≥2，当且仅当x＝0时等号成立，所以－1≤a＜0，所以a的取值范围是[－1，0）. 12.〔多选〕已知非零实数a，b满足3a＝2b，则下列不等关系中正确的是（　　） A.a＜b B.若a＜0，则b＜a＜0 C.｜a｜＜｜b｜ D.若0＜a＜log32，则ab＜ba 解析：BCD　如图，由指数函数的图象可知，0＜a＜b或者b＜a＜0，所以A错误，B、C正确；D选项中，0＜a＜log32⇒0＜a＜b＜1，则有ab＜aa＜ba，所以D正确. 13.已知函数y＝a2x＋2ax－1（a＞0，a≠1）在区间[－1，1]上的最大值是7，则a＝　2或　. 解析：设t＝ax，又x∈[－1，1]，若a＞1，则t∈，函数y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝（t＋1）2－2，对称轴为t＝－1，则t＝a，即x＝1时，ymax＝（a＋1）2－2＝7，解得a＝2或a＝－4（舍）；若0＜a＜1，则t∈，函数y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝（t＋1）2－2，对称轴为t＝－1，则t＝，即x＝－1时，ymax＝（＋1）2－2＝7，解得a＝或a＝－（舍）.综上，a＝或2. 14.已知定义域为R的函数f（x）＝ax－（k－1）a－x（a＞0且a≠1）是奇函数. （1）求实数k的值； （2）若f（1）＜0，判断函数f（x）的单调性，若f（m2－2）＋f（m）＞0，求实数m的取值范围. 解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数， ∴f（0）＝a0－（k－1）a0＝1－（k－1）＝0，∴k＝2， 经检验k＝2符合题意，∴k＝2. （2）由（1）得f（x）＝ax－a－x（a＞0且a≠1）， ∵f（1）＜0，∴a－＜0， 又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1， ∴y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数， 故由单调性的性质可判断f（x）＝ax－a－x为减函数， 不等式f（m2－2）＋f（m）＞0可化为f（m2－2）＞f（－m）， ∴m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1， ∴实数m的取值范围是（－2，1）. 15.（定义新运算）在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有以下性质： （1）对任意a∈R，a*0＝a； （2）对任意a，b∈R，a*b＝ab＋（a*0）＋（b*0）. 关于函数f（x）＝ex*的性质，有如下说法： ①函数f（x）的最小值为3； ②函数f（x）为偶函数； ③函数f（x）的单调递增区间为（－∞，0]. 其中正确说法的个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析：C　由定义，可得f（x）＝ex*＝1＋ex＋.由于1＋ex＋≥1＋2＝3，当且仅当ex＝，即x＝0时“＝”成立，故①正确；因为f（－x）＝1＋e－x＋＝1＋ex＋＝f（x），则函数f（x）为偶函数，故②正确；因为f'（x）＝ex－，令f'（x）＞0，得x＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞），故③错误. 16.（新定义）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有－M≤f（x）≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界.已知f（x）＝4x＋a·2x－2. （1）当a＝－2时，求函数f（x）在（0，＋∞）上的值域，并判断函数f（x）在（0，＋∞）上是否为有界函数，请说明理由； （2）若函数f（x）在（－∞，0）上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围. 解：（1）当a＝－2时， f（x）＝4x－2×2x－2＝（2x－1）2－3， 令2x＝t，由x∈（0，＋∞），可得t∈（1，＋∞）. 令g（t）＝（t－1）2－3，有g（t）＞－3， 可得函数f（x）的值域为（－3，＋∞）， 故函数f（x）在（0，＋∞）上不是有界函数. （2）由题意，当x∈（－∞，0）时，－2≤4x＋a·2x－2≤2， 可化为0≤4x＋a·2x≤4， 必有a·2x≥0且a≤－2x. 令2x＝k，由x∈（－∞，0），可得k∈（0，1）， 由a·2x≥0恒成立，可得a≥0， 令h（k）＝－k（0＜k＜1）， 可知函数h（k）为减函数， 有h（k）＞h（1）＝4－1＝3， 由a≤－2x恒成立，可得a≤3， 若故函数f（x）在（0，＋∞）上是以2为上界的有界函数，则实数a的取值范围为[0，3]. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $