第二章 第二节 函数的单调性与最值-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

该高中数学讲义聚焦函数单调性与最值高考核心考点，依据定义、性质、应用的逻辑层次梳理知识，涵盖单调性判断证明、单调区间求解、函数最值求法等考向。通过课标要求解读、知识点表格化呈现、考向例题精讲、分层练习巩固的教学流程，帮助学生系统构建知识网络，突破定义理解与综合应用难点。 讲义创新采用“定义辨析-性质应用-真题突破”三阶教学法，如通过定义法证明函数单调性培养数学思维，结合复合函数“同增异减”策略提升逻辑推理能力。设置基础判断、中档应用、综合拔高分层练习，配合错题归因指导，确保高效复习。助力学生形成用数学语言表达函数关系的能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第二节　函数的单调性与最值 课标要求 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值的实际意义. 3.掌握函数单调性的简单应用. 1.函数的单调性 （1）单调性的定义 定 义 要求x1，x2 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果　∀　x1，x2∈I，当x1＜x2时 要求 f（x1）与 f（x2） 都有　f（x1）＜f（x2）　 都有　f（x1）＞f（x2）　 结论 函数f（x）在区间I上　单调递增　；若函数f（x）在定义域D上单调递增时，则称f（x）为增函数 函数f（x）在区间I上　单调递减　；若函数f（x）在定义域D上单调递减时，则称f（x）为减函数 图象描述 自左向右看图象是　上升的　 自左向右看图象是　下降的　 （2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上　单调递增　或　单调递减　，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，　区间I　叫做y＝f（x）的单调区间. 提醒 （1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域；（2）“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N⊆M. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有　f（x）≤M　； ②∃x0∈D，使得　f（x0）＝M　 ①∀x∈D，都有　f（x）≥M　； ②∃x0∈D，使得　f（x0）＝M　 结论 M是函数y＝f（x）的　最大　值 M是函数y＝f（x）的　最小　值 提醒 （1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得；（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 1.函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈I（x1≠x2），则： （1）＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0）⇔f（x）在I上单调递增； （2）＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0）⇔f（x）在I上单调递减. 2.若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： （1）当f（x），g（x）都单调递增（减）时，f（x）＋g（x）单调递增（减）； （2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反； （3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反. 3.对于复合函数y＝f（g（x）），若u＝g（x）在（a，b）上是单调函数，并且y＝f（u）在（g（a），g（b））或（g（b），g（a））上也是单调函数，则y＝f（g（x））在（a，b）上的单调性为“同增异减”. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝在定义域内单调递减.（　×　） （2）对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数.（　×　） （3）函数y＝f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数f（x）的单调递增区间是[1，＋∞）.（　×　） （4）若函数f（x）在区间（1，2]和（2，3）上均单调递增，则函数f（x）在区间（1，3）上单调递增.（　×　） 2.下列函数中是增函数的为（　　） A.f（x）＝－x B.f（x）＝ C.f（x）＝x2 D.f（x）＝ 解析：D　取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f（x1）＝1，f（x2）＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f（x1）＝，f（x2）＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f（x1）＝1，f（x2）＝0，所以C项不符合题意.故选D. 3.（人A必修一P81例5改编）函数y＝在区间[3，5]上的最小值为a，最大值为b，则a－b＝　－2　. 解析：由y＝在[3，5]上单调递减，故a＝＝1，b＝＝3，即a－b＝1－3＝－2. 4.（人A必修一P86习题7（1）题改编）函数y＝的单调递减区间是　（－∞，－2]　. 解析：由题意，要使函数y＝有意义，需满足x2＋2x≥0，解得x≤－2或x≥0，又由t＝x2＋2x在（－∞，－2]上单调递减，在[0，＋∞）上单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数y＝的单调递减区间是（－∞，－2]. 5.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意两个不等的实数a，b∈[0，＋∞），总有＞0，则满足f（2x－3）＜f（1）的实数x的取值范围是　（1，2）　. 解析：由题意知，函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，又函数为偶函数，则在（－∞，0]上单调递减，故f（2x－3）＜f（1）即｜2x－3｜＜1，解得1＜x＜2，故实数x的取值范围是（1，2）. 函数的单调性（定向精析突破） 考向1　函数单调性的判断或证明 试讨论函数f（x）＝（a≠0）在（－1，1）上的单调性. 解：设－1＜x1＜x2＜1，f（x）＝a·＝a（1＋），则f（x1）－f（x2）＝a（1＋）－a（1＋）＝. 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0， 即f（x1）＞f（x2）， 函数f（x）在（－1，1）上单调递减； 当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0， 即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递增. 解题技法 定义法证明或判断函数单调性的步骤 提醒　判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等. 考向2　求函数的单调区间 求函数f（x）＝｜4－x｜·（x－1）的单调区间. 解：f（x）＝｜4－x｜·（x－1）＝ 作出函数y＝f（x）的图象如图所示， 根据图象可知其单调递增区间为（－∞，），（4，＋∞），单调递减区间为（，4）. 解题技法 确定函数的单调区间的方法 1.已知函数f（x）＝ax＋1在R上是减函数，则函数g（x）＝a（x2－4x＋3）的单调递增区间为（　　） A.（－2，＋∞） B.（2，＋∞） C.（－∞，2） D.（－∞，－2） 解析：C　由函数f（x）＝ax＋1在R上是减函数，可知a＜0，所以函数g（x）＝a（x2－4x＋3）图象开口向下，对称轴为直线x＝2，因此g（x）在（－∞，2）上单调递增，故选C. 2.已知定义域为（－1，1）的函数f（x）＝，判断函数f（x）的单调性，并证明. 解：函数f（x）＝在（－1，1）上为增函数. 证明如下：设－1＜x1＜x2＜1， 则f（x1）－f（x2）＝－ ＝， 又－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1x2－1＜0， 则有f（x1）－f（x2）＜0， 故f（x）在（－1，1）上为增函数. 函数单调性的应用（定向精析突破） 考向1　比较函数值的大小 已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，设a＝f（－），b＝f（2），c＝f（e）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（　　） A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞c＞b D.b＞a＞c 解析：D　∵f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴f（－）＝f（）.又∵当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，∴f（x）在（1，＋∞）上单调递减.∵2＜＜e，∴f（2）＞f（）＞f（e），∴b＞a＞c. 解题技法 利用单调性比较函数值大小的方法 　　比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用中间值法比较大小. 考向2　解不等式 已知函数f（x）＝ln x＋2x，若f（a2－4）＜2，则实数a的取值范围是　（－，－2）∪（2，）　. 解析：因为函数f（x）＝ln x＋2x在定义域（0，＋∞）上为增函数，且f（1）＝ln 1＋2＝2，所以由f（a2－4）＜2得，f（a2－4）＜f（1），所以0＜a2－4＜1，解得－＜a＜－2或2＜a＜. 解题技法 考向3　求参数的值（范围） 已知函数f（x）＝在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围为　（1，3]　. 解析：由分段函数解析式知：f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上单调递减，在[－1，1]上单调递增，由f（x）在[－1，a－2]上单调递增，得－1＜a－2≤1，即a∈（1，3]. 解题技法 利用函数的单调性求参数的值（范围）的方法 （1）根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解； （2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. 1.已知函数f（x）＝（t＞0）是区间（0，＋∞）上的增函数，则实数t的取值范围是（　　） A.{1} B.（0，＋∞） C.（1，＋∞） D.[1，＋∞） 解析：D　∵f（x）＝（t＞0）是区间（0，＋∞）上的增函数，∴∴t≥1. 2.设函数f（x）在（－∞，＋∞）上为减函数，a∈R，则（　　） A.f（a）＞f（2a） B.f（a2）＜f（a） C.f（a2＋a）＜f（2a） D.f（a2＋1）＜f（a） 解析：D　∵a2＋1－a＝（a－）2＋＞0，∴a2＋1＞a，又∵f（x）在（－∞，＋∞）上为减函数，∴f（a2＋1）＜f（a），故选D. 函数的值域（最值） （师生共研过关） 求下列函数的最值： （1）f（x）＝，x∈[1，4]； （2）f（x）＝2x2－. 解：（1）∵f（x）＝＝＝2－，x∈[1，4]， ∴f（x）在[1，4]上单调递增， ∴函数的最小值为f（1）＝，最大值为f（4）＝. （2）令＝t，t≥1，则x2＝t2－1， ∴y＝2（t2－1）－t＝2t2－t－2（t≥1）. ∵y＝2t2－t－2（t≥1）的图象的对称轴为直线t＝， ∴当t≥1时，y＝2t2－t－2的图象是上升的， ∴ymin＝2×12－1－2＝－1， ∴函数f（x）的最小值为－1，无最大值. 解题技法 求函数最值（值域）的五种常用方法 （1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； （2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求出最值； （3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求出最值； （4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值； （5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 1.已知函数f（x）＝（a＞0）在区间[2，6]上的最大值为5，则a＝（　　） A.2 B.3 C.15 D.3或15 解析：B　f（x）＝＝＝2＋.因为a＞0，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减，所以函数f（x）在区间[2，6]上的最大值为f（2）＝2＋＝2＋a＝5，解得a＝3. 2.函数f（x）＝的最大值为　2　. 解析：作出函数f（x）＝的图象（如图所示），由函数图象可知，f（x）max＝f（0）＝2. 1.若函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，则f（m）与f（1）的大小关系是（　　） A.f（m）＜f（1） B.f（m）＞f（1） C.f（m）≤f（1） D.f（m）＝f（1） 解析：B　因为函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，所以m－1＜0，得m＜1，因为f（x）在R上是减函数，所以f（m）＞f（1）.故选B. 2.函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜的单调递增区间是（　　） A.[1，＋∞） B.（－∞，1] C.[1，2] D.[2，＋∞） 解析：D　因为f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜＝所以f（x）的单调递增区间为[2，＋∞），故选D. 3.函数f（x）＝在（　　） A.（－∞，1）∪（1，＋∞）上单调递增 B.（－∞，1）∪（1，＋∞）上单调递减 C.（－∞，1）和（1，＋∞）上单调递增 D.（－∞，1）和（1，＋∞）上单调递减 解析：C　函数f（x）的定义域为{x｜x≠1}，f（x）＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f（x）在（－∞，1）和（1，＋∞）上单调递增. 4.已知函数f（x）＝＋2x，若f（2a2－5a＋4）＜f（a2＋a＋4），则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，）∪（2，＋∞） B.[2，6） C.（0，］∪[2，6） D.（0，6） 解析：C　由题意可知，函数f（x）在[2，＋∞）上单调递增，∵f（2a2－5a＋4）＜f（a2＋a＋4），∴2≤2a2－5a＋4＜a2＋a＋4，解得2≤a＜6或0＜a≤. 5.设函数f（x）＝若函数f（x）在区间（a，a＋1）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，1] B.[4，＋∞） C.（－∞，1）∪（4，＋∞） D.（－∞，1]∪[4，＋∞） 解析：D　函数f（x）的图象如图所示，由图象可知f（x）在（a，a＋1）上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4. 6.〔多选〕设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）＞0，g（x）＞0，f（x）是减函数，g（x）是增函数，则下列说法正确的有（　　） A.g（x）＋f（x）是增函数 B.f（x）－g（x）是减函数 C.f（x）g（x）是增函数 D.是减函数 解析：BD　对于A，若g（x）＝2x，f（x）＝（）x，则g（1）＋f（1）＝，g（－1）＋f（－1）＝，故g（x）＋f（x）不一定为增函数，A错误；而f（x）·g（x）＝1不是增函数，C错误；对于B，因为g（x）是增函数，所以－g（x）为减函数.又f（x）是减函数，所以f（x）－g（x）＝f（x）＋（－g（x））为减函数，B正确；对于D，因为g（x）是增函数，且g（x）＞0，所以＞0且是减函数.又f（x）＞0，且f（x）为减函数，所以＝f（x）×为减函数，D正确. 7.已知一次函数f（x）＝（4a－2）x＋3在[－2，1]上的最大值为9，则实数a的值为　2或－　. 解析：当4a－2＞0时，f（x）在[－2，1]上单调递增，∴∴则a＝2；当4a－2＜0时，f（x）在[－2，1]上单调递减，∴∴则a＝－.综上所述，a＝2或a＝－. 8.若函数f（x）＝在（a，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围为　[1，2）　. 解析：f（x）＝＝＝1＋，且定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞）.∵f（x）在（a，＋∞）上单调递增，∴解得1≤a＜2. 9.已知函数f（x）＝－x2＋2x＋1的定义域为（－2，3），求函数f（｜x｜）的单调递增区间. 解：因为函数f（x）＝－x2＋2x＋1的定义域为（－2，3），对称轴为直线x＝1，开口向下，所以函数f（｜x｜）满足－2＜｜x｜＜3，所以－3＜x＜3.又f（｜x｜）＝－x2＋2｜x｜＋1＝且y＝－x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝－1，所以由二次函数的图象与性质可知，函数f（｜x｜）的单调递增区间是（－3，－1）和（0，1）. 10.已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，－2），B（3，2）是其图象上的两点，则不等式｜f（x＋1）｜＜2的解集是（　　） A.（1，4） B.（－1，2） C.（－∞，－1）∪[4，＋∞） D.（－∞，－1）∪[2，＋∞） 解析：B　不等式｜f（x＋1）｜＜2即为－2＜f（x＋1）＜2，因为A（0，－2），B（3，2）是函数f（x）图象上的两点，所以－2＜f（x＋1）＜2等价于f（0）＜f（x＋1）＜f（3）.又因为f（x）是定义在R上的增函数，所以0＜x＋1＜3，解得－1＜x＜2.故选B. 11.已知函数f（x）＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f（x1）＋f（x2）＋f（x3）的值（　　） A.一定大于0 B.一定小于0 C.等于0 D.正负都有可能 解析：B　因为f（x）＝x＋x3是增函数，且x1＋x2＜0，所以f（x1）＜f（－x2）.又易验证f（－x）＝－f（x），所以f（x1）＜－f（x2），即f（x1）＋f（x2）＜0.同理f（x2）＋f（x3）＜0，f（x3）＋f（x1）＜0.所以f（x1）＋f（x2）＋f（x3）＝[f（x1）＋f（x2）＋f（x2）＋f（x3）＋f（x3）＋f（x1）]＜0. 12.〔多选〕已知函数f（x）＝（a≠0）在区间（－2，＋∞）上单调递增，则a，b的取值可以是（　　） A.a＝－1，b＝2 B.a＝2，b＝1 C.a＝1，b＞ D.0＜a≤1，b＝2 解析：CD　函数f（x）＝＝＋在区间（－2，＋∞）上单调递增，必有－≤－2且3－＜0，即0＜a≤1且＞3.选项A、B都不满足0＜a≤1；对于选项C，当a＝1，b＞时，满足0＜a≤1且＞3，条件成立；对于选项D，当0＜a≤1，b＝2时，满足0＜a≤1且＞3，条件成立.故选C、D. 13.（开放创新题）能使“函数f（x）＝x｜x－1｜在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间I为　［，2］（答案不唯一）　. 解析：当x≥1时，f（x）＝x（x－1）＝x2－x；当x＜1时，f（x）＝x（1－x）＝－x2＋x，∴f（x）在，（1，＋∞）上单调递增，在上单调递减.令f（x）＝0，解得x＝1或x＝0；令f（x）＝2，解得x＝2，∴只需I＝[a，2]，0≤a＜1或I＝（b，2]，0≤b＜1时，f（x）在I上不单调且函数值的集合为[0，2]. 14.已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（）＝f（x1）－f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0. （1）求f（1）的值； （2）证明：f（x）为减函数； （3）若f（3）＝－1，求f（x）在[2，9]上的最小值. 解：（1）令x1＝x2＞0，代入得f（1）＝f（x1）－f（x1）＝0，故f（1）＝0. （2）证明：任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＞x2，则＞1， 由于当x＞1时，f（x）＜0，∴f（）＜0，即f（x1）－f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2）， ∴函数f（x）在区间（0，＋∞）上是减函数. （3）∵f（x）在（0，＋∞）上是减函数.∴f（x）在[2，9]上的最小值为f（9）. 由f（）＝f（x1）－f（x2）得，f（）＝f（9）－f（3），∴f（9）＝2f（3）＝－2.即f（x）在[2，9]上的最小值为－2. 15.（新定义）〔多选〕若对任意x1，x2∈（1，＋∞）（x1≠x2），不等式＜1成立，则称f（x）在（1，＋∞）上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的为（　　） A.f（x）＝－2x－1 B.f（x）＝x2＋2x＋1 C.f（x）＝x2－log2x D.f（x）＝x2－x＋ 解析：ACD　设g（x）＝f（x）－x2，由题意可得－1＝＝·＜0，则函数g（x）＝f（x）－x2在（1，＋∞）上单调递减；反之亦然.对于选项A，f（x）＝－2x－1，g（x）＝f（x）－x2＝－x2－2x－1在（1，＋∞）上单调递减，则f（x）在（1，＋∞）上是“平方差减函数”.对于选项B，f（x）＝x2＋2x＋1，g（x）＝f（x）－x2＝2x＋1在（1，＋∞）上单调递增，则f（x）在（1，＋∞）上不是“平方差减函数”.对于选项C，f（x）＝x2－log2x，g（x）＝f（x）－x2＝－log2x在（1，＋∞）上单调递减，则f（x）在（1，＋∞）上是“平方差减函数”.对于选项D，f（x）＝x2－x＋，g（x）＝f（x）－x2＝－x＋在（1，＋∞）上单调递减，则f（x）在（1，＋∞）上是“平方差减函数”.故选A、C、D. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $