第八章 第一节 直线的方程-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

第一节　直线的方程 课标要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）. 1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l　向上　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角； ②规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为　0°　； ③范围：直线的倾斜角α的取值范围为　0°≤α＜180°　. 提醒 倾斜角从“形”的方面直观地描述了直线对x轴正方向的倾斜程度.每条直线都有唯一确定的倾斜角. （2）直线的斜率 ①定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α； ②坐标式：若P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝　　. 提醒 如果y2＝y1且x2≠x1，则直线与x轴平行或重合，斜率等于0；如果y2≠y1且x2＝x1，则直线与x轴垂直，倾斜角等于90°，斜率不存在. 2.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 　y－y0＝k（x－x0）　 不含垂直于x轴的直线 斜截式 　y＝kx＋b　 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝（x1≠x2，y1≠y2） 不含垂直于x轴，y轴的直线 名称 方程 适用范围 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 （A，B不同时为0） 平面直角坐标系内的直线都适用 1.直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系 θ的大小 0° 0°＜θ＜90° 90° 90°＜θ＜180° k的范围 0 k＞0 不存在 k＜0 k的 增减性 随θ的增大而增大 随θ的增大而增大 2.特殊直线的方程 （1）过点P1（x1，y1），垂直于x轴的直线方程为x＝x1； （2）过点P1（x1，y1），垂直于y轴的直线方程为y＝y1； （3）y轴的方程为x＝0； （4）x轴的方程为y＝0. 3.直线Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的一个方向向量为a＝（－B，A）. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）直线的倾斜角越大，其斜率就越大.（　×　） （2）直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.（　×　） （3）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.（　×　） （4）经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）·（x2－x1）＝（x－x1）·（y2－y1）表示.（　√　） 2.（人A选一 P55练习4题改编）已知点A（2，0），B（3，），则直线AB的倾斜角为（　　） A.30°　　　B.60°　　　C.120°　　　D.150° 解析：B　由题意得直线AB的斜率k＝＝，设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝，∵0°≤α＜180°，∴α＝60°. 3.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　） A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2 C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2 解析：D　由题图知，直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2. 4.（苏教选一P13练习1（5）题改编）倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是（　　） A.x－y＋1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y－1＝0 D.x＋y＋1＝0 解析：D　直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0. 5.（人A选一 P67 习题7题改编）过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为　　3x－2y＝0或x＋y－5＝0　　. 解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.所以直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0. 直线的倾斜角与斜率（基础自学过关） 1.〔多选〕已知直线l的方程为ax＋by－2＝0，则下列判断正确的是（　　） A.若ab＞0，则直线l的斜率小于0 B.若b＝0，a≠0，则直线l的倾斜角为90° C.直线l可能经过坐标原点 D.若a＝0，b≠0，则直线l的倾斜角为0° 解析：ABD　对于A，若ab＞0，则直线l的斜率－＜0，故A正确；对于B，若b＝0，a≠0，则直线l的方程为x＝，直线l的倾斜角为90°，故B正确；对于C，将（0，0）代入ax＋by－2＝0中，显然不成立，故C错误；对于D，若a＝0，b≠0，则直线l的方程为y＝，直线l的倾斜角为0°，故D正确.故选A、B、D. 2.直线x＋（m2＋1）y＋1＝0的倾斜角的取值范围是（　　） A.（0，］ B.（，） C.（，） D.［，π） 解析：D　依题意，直线的斜率k＝－∈[－1，0），因此其倾斜角的取值范围是［，π）. 3.直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为　（－∞，－]∪[1，＋∞）　；倾斜角的取值范围为　　　　. 解析：如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为k1，则k1＝＝－；当直线l过点A时，设直线l的斜率为k2，则k2＝＝1，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（－∞，－]∪[1，＋∞），倾斜角的取值范围是. 4.在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线的斜率为2，则边AC所在直线斜率的可能值为　　－或　　. 解析：设直线AB的倾斜角为α，则kAB＝tan α＝2.设直线AC的倾斜角为θ，在等边三角形ABC中，∠BAC＝60°，所以当θ＝α＋60°时，kAC＝tan θ＝tan（α＋60°）＝＝＝－；当θ＝α－60°时，kAC＝tan θ＝tan（α－60°）＝＝＝.综上所述，kAC＝－或kAC＝. 练后悟通 解决直线的倾斜角与斜率问题的方法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性求解； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可. 提醒 根据斜率求倾斜角的范围时，要分［0，）与（，π）两种情况讨论. 直线的方程（师生共研过关） 求符合下列条件的直线方程： （1）直线过点A（－1，－3），且斜率为－； （2）直线过点A（1，4），且直线在两坐标轴上的截距之和为0； （3）已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1），Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程. 解：（1）因为所求直线过点A（－1，－3），且斜率为－， 所以所求直线方程为y＋3＝－（x＋1），即x＋4y＋13＝0. （2）法一（直接法） 设直线与两坐标轴的交点分别为M（a，0），N（0，－a）， 由于A，M，N三点共线，所以＝，解得a＝0或a＝－3. 当a＝0时，直线方程为y＝4x，即4x－y＝0； 当a＝－3时，直线方程为x－y＋3＝0. 故所求直线方程为4x－y＝0或x－y＋3＝0. 法二（待定系数法） 当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为y＝4x，即4x－y＝0； 当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1（a≠0），因为直线过点A（1，4）， 所以－＝1，解得a＝－3，此时直线方程为x－y＋3＝0. 故所求直线方程为4x－y＝0或x－y＋3＝0. 法三（待定系数法） 易知直线的斜率不存在或直线的斜率为0时不符合题意. 设直线方程为y－4＝k（x－1）（k≠0）， 则当x＝0时，y＝4－k，当y＝0时，x＝1－， 由题意知1－＋4－k＝0，解得k＝4或k＝1， 即直线方程为4x－y＝0或x－y＋3＝0. （3）因为P（2，3）在已知直线上， 所以2a1＋3b1＋1＝0，2a2＋3b2＋1＝0. 所以过两点Q1（a1，b1），Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程为2x＋3y＋1＝0. 解题技法 求解直线方程的两种方法 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程（组）；③解这个方程（组）求出参数；④把参数的值代入所设直线方程. 提醒 （1）应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在；（2）应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0；（3）应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0. 1.经过点（1，1），且方向向量为（1，2）的直线方程是（　　） A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－3＝0 C.x－2y＋1＝0 D.x＋2y－3＝0 解析：A　∵直线的方向向量为（1，2），∴直线的斜率k＝2.又直线过点（1，1），∴直线的方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0. 2.已知一条直线经过点A（2，－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为　x－y－3＝0　. 解析：由已知得直线x－y＝0的斜率为，则其倾斜角为30°，故所求直线倾斜角为60°，斜率为，故所求直线的方程为y－（－）＝（x－2），即x－y－3＝0. 3.已知△ABC的三个顶点坐标为A（1，2），B（3，6），C（5，2），M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为　　2x＋y－8＝0　　. 解析：由题知M（2，4），N（3，2），故中位线MN所在直线的方程为＝，整理得2x＋y－8＝0. 直线方程的综合应用（师生共研过关） 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）. （1）证明：直线l过定点； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程. 解：（1）证明：直线l的方程可化为k（x＋2）＋（1－y）＝0，令解得 ∴无论k取何值，直线总经过定点（－2，1）. （2）由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则解得k＞0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞）. （3）由题意可知k＞0，由l的方程，得A（－，0），B（0，1＋2k）. ∵S＝·｜OA｜·｜OB｜＝·｜｜·｜1＋2k｜＝·＝（4k＋＋4）≥×（2×2＋4）＝4，“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0. 解题技法 直线方程综合问题的两大类型及解法 （1）与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x（或y）的函数，借助函数的性质解决； （2）与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决. 1.已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0＋2，则的取值范围是（　　） A.［－，0）　　　　 B.（－，0） C.（－，＋∞） D.（－∞，－）∪（0，＋∞） 解析：D　设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为M（x0，y0），即x0＝，y0＝.由两式相加，得（x1＋x2）＋3（y1＋y2）＋4＝0，则2x0＋6y0＋4＝0，即x0＋3y0＋2＝0，由y0＜x0＋2，得x0＞－2，则＝＝－－∈（－∞，－）∪（0，＋∞）. 2.已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P（a，b）在线段AB上，则ab的最大值为　　. 解析：由题得A（2，0），B（0，1），由动点P（a，b）在线段AB上.可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝（2－2b）b＝－2b2＋2b＝－2＋.由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值. 1.若直线l的方程为x＝－3，则直线l的倾斜角是（　　） A.　　　　B.　　　　C.π　　　　D.0 解析：A　∵直线l的方程为x＝－3，∴直线l与x轴垂直，∴直线l的倾斜角是. 2.若ac＞0且bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0不经过（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：D　因为ac＞0且bc＜0，所以－＞0，－＞0，又直线ax＋by＋c＝0可化为y＝－x－，斜率为－＞0，在y轴上的截距为－＞0，因此直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限.故选D. 3.已知直线l过点（1，2），且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程为（　　） A.2x－y＝0 B.2x＋y－4＝0 C.2x－y＝0或x＋2y－2＝0 D.2x－y＝0或2x＋y－4＝0 解析：D　由题意设直线l与x轴的交点为（a，0），则与y轴的交点为（0，2a），当a＝0时，直线l过原点，斜率为＝2，故直线l的方程为2x－y＝0；当a≠0时，直线l的斜率为＝－2，故直线l的方程为y－2＝－2（x－1），即2x＋y－4＝0.故选D. 4.若直线y＝ax＋1与连接A（2，3），B（－3，2）的线段总有公共点，则实数a的取值范围是（　　） A.［－1，］ B.（－∞，－］∪[1，＋∞） C.［－，1］ D.（－∞，－2]∪［，＋∞） 解析：B　由直线y＝ax＋1可得直线的斜率为a，且过定点P（0，1），又A（2，3），B（－3，2），则由图可得，要使直线与线段AB总有公共点，需满足a≥kPA或a≤kPB，又kPA＝＝1，kPB＝＝－，所以a≥1或a≤－.故选B. 5.〔多选〕下列说法正确的有（　　） A.若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第二象限 B.直线y＝ax－3a＋2过定点（3，2） C.过点（2，－1）且斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－（x－2） D.斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3 解析：ABC　对于A，由直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，所以直线的斜率k＜0，截距b＞0，故点（k，b）在第二象限，所以A正确；对于B，由直线方程y＝ax－3a＋2，整理得a（x－3）＋（－y＋2）＝0，所以无论a取何值，点（3，2）都满足方程，所以B正确；对于C，过点（2，－1）且斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－（x－2），所以C正确；对于D，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，所以D错误.故选A、B、C. 6.〔多选〕已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0（α∈R），则下列命题正确的是（　　） A.直线的倾斜角是π－α B.无论α如何变化，直线不过原点 C.直线的斜率一定存在 D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1 解析：BD　根据直线倾斜角的范围为[0，π），而π－α∈R，A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝｜｜·｜｜＝≥1，D正确. 7.若直线x－ay－1＝0的倾斜角大于，则正实数a的取值范围是　　（0，1）　　. 解析：由题意可知，直线的斜率为k＝.因为直线的倾斜角大于，所以＞1，解得0＜a＜1，所以正实数a的取值范围是（0，1）. 8.已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l'的方程为　x＝－或y＝（x＋）　. 解析：在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝－，即M（－，0）.因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l'的倾斜角为90°，此时直线l'的斜率不存在，故其方程为x＝－；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l'的倾斜角为30°，此时直线l'的斜率为tan 30°＝，故其方程为y＝（x＋）. 9.已知直线l：＋＝1. （1）若直线l的斜率为2，求实数m的值； （2）若直线l与两坐标轴的正半轴相交，求l与坐标轴围成的三角形面积最大时直线l的方程. 解：（1）直线l的方程可化为y＝x＋m， 所以＝2，解得m＝4. （2）直线l与两坐标轴的交点分别为（2－m，0），（0，m）. 由题意知解得0＜m＜2. 直线l与两坐标轴围成的三角形面积为m（2－m）＝－（m－1）2＋. 因为0＜m＜2， 所以当m＝1时，面积取到最大值， 故所求直线l的方程为x＋y－1＝0. 10.若a＝，b＝，c＝，则（　　） A.a＜b＜c　　　　　　　　B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.b＜a＜c 解析：B　a＝＝，b＝＝，c＝＝分别表示（2，ln 2），（3，ln 3），（5，ln 5）与（1，0）连线的斜率.由图可知，c＜b＜a. 11.〔多选〕已知点A（－2，－1），B（2，2），直线l：2ax－2y＋3a－3＝0上存在点P满足｜PA｜＋｜PB｜＝5，则直线l的倾斜角可能为（　　） A.0 B. C. D. 解析：BD　将点A（－2，－1）代入直线l：2ax－2y＋3a－3＝0得a＝－1，再将点B（2，2）代入直线l：2ax－2y＋3a－3＝0得a＝1，故点A，B不可能同时在直线l上，又因为｜AB｜＝＝5，且｜PA｜＋｜PB｜＝5，所以点P的轨迹为线段AB，即直线l与线段AB恒有交点，又因为直线l：2ax－2y＋3a－3＝0，即a（2x＋3）＋（－2y－3）＝0，所以直线l恒过定点C（－，－），作出示意图，此时kAC＝＝－1，kBC＝＝1，故直线l的斜率的取值范围是（－∞，－1]∪[1，＋∞），且直线的斜率存在，故直线l的倾斜角的取值范围是［，）∪（，］.故选B、D. 12.若直线ax＋by＝ab（a＞0，b＞0）过点（1，4），则该直线在x轴，y轴上截距之和的最小值为　　9　　. 解析：∵直线ax＋by＝ab（a＞0，b＞0）过点（1，4），∴a＋4b＝ab，即＋＝1，∴a＋b＝（a＋b）（＋）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝2b时上式等号成立.∴直线在x轴，y轴上截距之和的最小值为9. 13.（创新知识交汇）若正方形一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为　　　　，　　－2　　. 解析：正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为3，建立如图所示直角坐标系，设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝3，由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan（θ－45°）＝＝＝，kOC＝tan（θ＋45°）＝＝＝－2. 14.过点P（3，2）的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于点A，B. （1）当P为AB的中点时，求l的方程； （2）当｜PA｜·｜PB｜最小时，求l的方程. 解：（1）设A（a，0），B（0，b）， ∵P（3，2）为AB的中点，∴＝3，＝2，则a＝6，b＝4，∴A（6，0），B（0，4），则l的方程为＋＝1， 即2x＋3y－12＝0. （2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，则可设直线l的方程为y－2＝k（x－3）（k＜0）， 令x＝0可得y＝2－3k，令y＝0可得x＝3－， 则A（3－，0），B（0，2－3k）. ∴｜PA｜·｜PB｜＝ ＝≥12， 当且仅当k2＝1，即k＝－1时取等号， ∴此时直线l的方程为y－2＝－（x－3），即x＋y－5＝0. 15.（情境创新）已知t∈（0，5]，由t确定两个点P（t，t），Q（10－t，0）. （1）写出直线PQ的方程（解析式含t）； （2）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点C在边PQ上.若｜OA｜＝a，当正方形ABCD的面积最大时，求a，t的值. 解：（1）由题意知当t＝5时，直线斜率不存在，直线PQ的方程为x＝5， 当t≠5时，直线斜率存在，kPQ＝， 直线PQ的方程为y－t＝（x－t）. 即为（2t－10）y＝t（x＋t－10）. （2）由P（t，t）和正方形ABCD可知｜OA｜＝｜AD｜＝｜AB｜， 因为｜OA｜＝a，所以A（a，0），B（2a，0），C（2a，a）. 因为点C（2a，a）在直线PQ上， 所以（2t－10）a＝t（2a＋t－10）， 所以a＝t（10－t）＝－（t－5）2＋， 而正方形ABCD的面积最大时a最大， 所以当t＝5时，a取得最大值，最大值为a＝，故正方形ABCD的面积最大时，a＝，t＝5. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $