第八章 第五节 椭圆-【优学精研】2026年高考数学一轮总复习教用word

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆专题，覆盖定义、标准方程、几何性质及离心率、最值等核心考点，按“基础概念—性质应用—考向突破”逻辑架构知识体系。通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题技巧，真题训练（含2023年全国甲卷等）强化应用，助力学生系统突破解析几何难点。 讲义突出数学思维与数学眼光的培养，如在焦点三角形问题中引导学生观察几何关系，离心率求解中通过方程思想与几何性质推理提升逻辑能力。设置分层练习（基础巩固、能力提升）和一题多解（如定义法与待定系数法求方程），确保高效复习，为学生提升应考能力和教师把控复习节奏提供有力支持。

第五节　椭圆 课标要求 1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质. 3.通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想. 4.了解椭圆的简单应用. 1.椭圆的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为椭圆 　F1，F2　为椭圆的焦点； 　｜F1F2｜　为椭圆的焦距 ｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a 2a＞｜F1F2｜ 提醒 若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，则动点的轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准 方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0） 图形 续表 性 质 范围 －a≤x≤a；－b≤y≤b －b≤x≤b；－a≤y≤a 对称性 对称轴：　x轴、y轴　； 对称中心：（0，0） 顶点 A1（－a，0），A2（a，0）；B1（0，－b），B2（0，b） A1（0，－a），A2（0，a）；B1（－b，0），B2（b，0） 轴 长轴A1A2的长为　2a　； 短轴B1B2的长为　2b　 焦距 ｜F1F2｜＝　2c　 离心率 e＝　　，e∈（0，1） a，b，c的 关系 a2＝　b2＋c2　 1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，O为椭圆中心，则（1）b≤｜OP｜≤a；（2）a－c≤｜PF｜≤a＋c. 2.焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ. （1）｜PF1｜＝｜PF2｜时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，最大，最大值为bc； （2）＝｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝b2tan ＝c｜y0｜； （3）｜PF1｜·｜PF2｜≤（）2＝a2； （4）焦点三角形的周长为2（a＋c）. 3.焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长lmin＝. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（　×　） （2）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（　×　） （3）方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆.（　√　） （4）＋＝1（a＞b＞0）与＋＝1（a＞b＞0）的焦距相同.（　√　） 2.（人A选一P109练习1题改编）设椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是（　　） A.20　　　 B.14　　　 C.2 　　　D. 解析：B　由椭圆的定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，又椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，即｜PF1｜＝6，且a＝10，所以6＋｜PF2｜＝20，故｜PF2｜＝14. 3.（人A选一P116习题12题改编）若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为（　　） A.3 B.2＋ C.2 D.＋1 解析：A　由题意知a＝2，b＝，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3. 4.〔多选〕已知椭圆的焦距是8，离心率等于0.8，则（　　） A.长轴的长为10 B.短半轴的长为6 C.焦点坐标可以是（0，4） D.椭圆的标准方程可以是＋＝1 解析：ACD　由题意知2c＝8，即c＝4.又e＝＝0.8，所以a＝5，2a＝10，A正确.因为a2－b2＝c2，所以b2＝9，b＝3，B错误.若椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为＋＝1，D正确.若椭圆的焦点在y轴上，则一个焦点坐标是（0，4），椭圆的标准方程为＋＝1，C正确. 5.已知P是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若∠PF1F2＝60°，∠PF2F1＝30°，则椭圆C的离心率为　　－1　　. 解析：由题意知，∠F1PF2＝180°－∠PF1F2－∠PF2F1＝90°，所以｜PF1｜＝｜F1F2｜sin 30°＝c，｜PF2｜＝｜F1F2｜cos 30°＝c.由｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a得，（＋1）c＝2a，所以＝＝－1. 椭圆的定义及其应用（师生共研过关） （1）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（　A　） A.椭圆　　B.双曲线　　C.抛物线　　D.圆 （2）（2023·全国甲卷文7题）设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（　B　） A.1 B.2 C.4 D.5 解析：（1）连接QA（图略） .由已知得｜QA｜＝｜QP｜，所以｜QO｜＋｜QA｜＝｜QO｜＋｜QP｜＝｜OP｜＝r.又因为点A在圆内，所以｜OA｜＜｜OP｜，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.故选A. （2）由题意，得a2＝5，b2＝1，则c2＝a2－b2＝4.∵·＝0，∴PF1⊥PF2，∴｜PF1｜2＋＝＝4c2.∵｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝＝＝2.故选B. 解题技法 椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等； （2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的关系. 1.已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，点P是椭圆上一点，3｜PF1｜＝4｜PF2｜，则＝（　　） A.24 B.26 C.22 D.24 解析：A　由椭圆方程可得焦点在y轴上，且a＝7，b＝2，c＝＝5.由椭圆定义可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝14.又3｜PF1｜＝4｜PF2｜，所以｜PF1｜＝8，｜PF2｜＝6，又｜F1F2｜＝2c＝10，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，所以PF1⊥PF2，所以＝｜PF1｜｜PF2｜＝×8×6＝24.故选A. 2.已知椭圆＋＝1上的一点P到焦点F1的距离为6，点M是PF1的中点，O为坐标原点，则｜OM｜＝（　　） A.2 B.4 C.7 D.14 解析：C　如图所示，设椭圆的另一焦点为F2，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以｜OM｜＝｜PF2｜，由椭圆的方程得a＝10，所以2a＝20，所以｜PF2｜＝2a－｜PF1｜＝20－6＝14，所以｜OM｜＝7，故选C. 椭圆的标准方程（师生共研过关） （1）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8，则椭圆C的方程为（　A　） A.＋＝1　　　　　B.＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 （2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（，1），P2（－，－），则该椭圆的方程为　　＋＝1　　. 解析：（1）如图，由椭圆的定义可知，△F1AB的周长为4a，所以4a＝8，a＝2，又离心率为，所以c＝1，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1. （2）设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，且m≠n）.因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，则解得所以所求椭圆的方程为＋＝1. 解题技法 根据条件求椭圆方程的两种方法 （1）定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程； （2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可. 1.一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且｜PF1｜，｜F1F2｜，｜PF2｜成等差数列，则椭圆的方程为（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：A　设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.由点（2，）在椭圆上，可得＋＝1.∵｜PF1｜，｜F1F2｜，｜PF2｜成等差数列，∴｜PF1｜＋｜PF2｜＝2｜F1F2｜，即2a＝2·2c，＝.又∵c2＝a2－b2，联立解得a2＝8，b2＝6.∴椭圆方程为＋＝1. 2.过点P（3，）且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为　　＋＝1　　. 解析：设所求椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），则a2－b2＝9①.又点P（3，）在所求椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1②.由①②得a2＝25，b2＝16，故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 椭圆的几何性质（定向精析突破） 考向1　离心率问题 （1）（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆C1：＋y2＝1（a＞1），C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝（　A　） A. B. C. D. （2）（2025·保定一模）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，且在第一象限，PA是∠F1PF2的角平分线，过点F2作PA的垂线，垂足为B，若｜PF2｜＝m，｜OB｜＝b－m，则C的离心率为（　B　） A. B. C. D. 解析：（1）法一 由题意知e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝.故选A. 法二 代入验证，若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意，由于是单选题，故选A. （2）如图，延长F2B交PF1于点E，可知｜PF2｜＝｜PE｜＝m，｜EF1｜＝2a－2m，所以｜OB｜＝a－m＝b－m，a＝b，所以e＝＝＝.故选B. 解题技法 求椭圆离心率的方法 （1）直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解； （2）列出含有a，b，c的齐次方程（不等式），借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程（不等式）求解； （3）利用公式e＝求解. 考向2　与椭圆性质有关的最值（范围）问题 〔多选〕已知椭圆＋＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则（　　） A.的最大值为4 B.｜PF1｜的取值范围是[4－2，4＋2] C.不存在点P使PF1⊥PF2 D.｜PB｜的最大值为2 解析：AB　依题意知，a＝4，b＝2，c＝2，当P为短轴顶点时，（）max＝×2c×b＝4，故A正确；由椭圆的性质知｜PF1｜的取值范围是[a－c，a＋c]，即[4－2，4＋2]，故B正确；对于C，sin∠F2BO＝＝，所以∠F2BO＝，所以∠F1BF2＝，即∠F1PF2的最大值为，最小值为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误；对于D，设P（x0，y0），所以｜PB｜＝，又＋＝1，所以＝16－4，所以｜PB｜＝＝＝，又－2≤y0≤2，故当y0＝－时，｜PB｜max＝＝，故D错误. 解题技法 与椭圆性质有关的最值（范围）问题的求解策略 1.（2024·安庆一模）设F是椭圆C：＋＝1的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P，Q两点，则△PQF的周长的最小值为（　　） A.12 B.14 C.16 D.18 解析：C　由椭圆的对称性可知P，Q两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为F1，则四边形PFQF1为平行四边形，由椭圆定义可知：｜PF｜＋｜PF1｜＋｜QF｜＋｜QF1｜＝4a＝20，又｜PF｜＝｜QF1｜，｜PF1｜＝｜QF｜，所以｜PF｜＋｜QF｜＝10，又PQ过原点，所以｜PQ｜min＝2b＝6，所以△PQF的周长的最小值为10＋6＝16.故选C. 2.（2024·青岛一模）已知O为坐标原点，点F为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，OA⊥OB，则C的离心率为　　　　. 解析：F为AB的中点，故AB与x轴垂直，令x＝c，则＋＝1，y＝±，又OA⊥OB，可得c＝，即a2－ac－c2＝0，解得e＝. 3.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点. （1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率； （2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围. 解：（1）连接PF1（图略）.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝c，于是2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝（＋1）c，故C的离心率为e＝＝－1. （2）由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在，且｜y｜·2c＝16，·＝－1，＋＝1， 即c｜y｜＝16，　① x2＋y2＝c2，　② ＋＝1.　③ 由②③及a2＝b2＋c2得y2＝. 又由①知y2＝，故b＝4. 由②③及a2＝b2＋c2得x2＝（c2－b2）， 所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4. 当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P. 所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞）. 1.（2025·江南十校联考）与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2的椭圆方程是（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：B　椭圆9x2＋4y2＝36化成标准方程为＋＝1，焦点在y轴上，设所求椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），依题意有所以a2＝25，b2＝20，所求椭圆方程为＋＝1. 2.椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝（　　） A.4　　　　B.8　　　　C.4或8　　　　D.12 解析：C　当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8.∴m＝4或8. 3.已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上任意一点P到椭圆中心O的距离的取值范围是（　　） A.[4，5] B.[6，8] C.[6，10] D.[8，10] 解析：A　不妨设椭圆的焦点在x轴上，则该椭圆的标准方程为＋＝1.设点P（x，y），则－5≤x≤5，且有y2＝16－x2.所以｜OP｜＝＝∈[4，5]，故选A. 4.已知F是椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若｜PF｜＝3｜QF｜，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：A　如图所示，由椭圆的对称性可知，｜PF｜＋｜QF｜＝2a，由于｜PF｜＝3｜QF｜，则｜QF｜＝a，｜PF｜＝a，由∠PFQ＝120°，得｜PQ｜＝a，在△FQP与△FQO中利用同角余弦值相等，则＝，解得c＝a，则e＝＝. 5.〔多选〕若椭圆C：＋＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，则能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的b的值为（　　） A. B. C.2 D. 解析：ABC　以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2.因为圆x2＋y2＝c2与椭圆C有公共点，所以c2≥b2，即9－b2≥b2，所以b2≤，即0＜b≤，故，，2满足条件，故选A、B、C. 6.〔多选〕（2025·沈阳质量监测）设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列说法正确的是（　　） A.｜PF1｜的最大值为8 B.椭圆C的离心率e＝ C.△PF1F2面积的最大值等于12 D.以线段F1F2为直径的圆与圆（x－4）2＋（y－3）2＝4相切 解析：ACD　椭圆C：＋＝1的长半轴长a＝5，短半轴长b＝4，则半焦距c＝＝3.对于A，｜PF1｜的最大值为a＋c＝8，A正确；对于B，椭圆C的离心率e＝＝，B错误；对于C，设点P（x0，y0），则｜y0｜max＝4，而｜F1F2｜＝2c＝6，因此△PF1F2面积的最大值等于×6×4＝12，C正确；对于D，以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝9，圆心O（0，0），半径r1＝3，圆（x－4）2＋（y－3）2＝4的圆心C（4，3），半径r2＝2，｜OC｜＝5＝r1＋r2，则圆O与圆C外切，D正确.故选A、C、D. 7.若椭圆＋＝1（m＞0）的离心率为，则该椭圆的长轴长为　4或2　. 解析：由椭圆＋＝1的离心率为，当m＞2时，椭圆焦点在x轴上，＝＝，解得m＝4，所以椭圆的长轴长为4；当0＜m＜2时，椭圆焦点在y轴上，＝＝，得m＝1，所以椭圆的长轴长为2. 8.设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若｜AF1｜＝3｜F1B｜，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为　x2＋y2＝1　. 解析：如图所示，设F1（－c，0），F2（c，0），其中c＝，则可设A（c，b2），B（x0，y0）.由｜AF1｜＝3｜F1B｜，可得＝3，故 即代入椭圆方程，可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1. 9.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），焦点F1（－c，0），F2（c，0），左顶点为A，点E的坐标为（0，c），A到直线EF2的距离为b. （1）求椭圆C的离心率； （2）若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，求椭圆C的方程. 解：（1）由题意得，A（－a，0），EF2：x＋y＝c， 因为A到直线EF2的距离为b，即＝b， 所以a＋c＝b， 即（a＋c）2＝3b2，又b2＝a2－c2， 所以（a＋c）2＝3（a2－c2），所以2c2＋ac－a2＝0， 因为离心率e＝，所以2e2＋e－1＝0， 解得e＝或e＝－1（舍）， 所以椭圆C的离心率为. （2）由（1）知离心率e＝＝，即a＝2c，　① 因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为， 则｜PF1｜｜PF2｜sin 60°＝， 所以｜PF1｜｜PF2｜＝4， 又 所以a2－c2＝3，　② 联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 10.椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（　　） A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：A　法一 设P（m，n）（n≠0），则Q（－m，n），易知A（－a，0），所以kAP·kAQ＝·＝＝　（*）.因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，得n2＝（a2－m2），代入（*）式，得＝，结合b2＝a2－c2，得3a2＝4c2，所以e＝＝.故选A. 法二 设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以kAQ＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－＝e2－1，所以e＝.故选A. 11.已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（　　） A.3 B.2 C. D. 解析：D　因为椭圆为＋＝1，所以a＝5，b＝3，c＝＝4.当△MF1F2的面积最大时，点M为椭圆C的短轴顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，点O为坐标原点，△MF1F2内切圆半径为r，则｜MF1｜＝｜MF2｜＝a＝5，｜F1F2｜＝2c＝8，｜OM｜＝b＝3，＝（｜MF1｜＋｜MF2｜＋｜F1F2｜）·r＝｜F1F2｜·｜OM｜，所以r＝，故选D. 12.〔多选〕如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则（　　） A.椭圆的长轴长为4 B.椭圆的离心率为 C.椭圆的方程可以为＋＝1 D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－ 解析：ACD　圆柱的底面半径是，直径是2，所以椭圆的长轴长2a＝＝4，a＝2，短轴长2b＝2，b＝，则c＝＝，离心率e＝＝，以椭圆中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，可得椭圆的方程为＋＝1，椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－.故选A、C、D. 13.（2024·临沂二模）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上第一象限内的一点，且PF1⊥PF2，PF1与y轴相交于点Q，离心率e＝，若＝λ，则λ＝　　　　. 解析：设｜｜＝m，｜｜＝n，则有m2＋n2＝4c2，m＋n＝2a＝2×c＝c，则（m＋n）2＝m2＋n2＋2mn＝c2，即2mn＝c2－4c2＝c2，则（m－n）2＝m2＋n2－2mn＝4c2－c2＝c2，即m－n＝c，即m＝＝c，n＝＝c，则｜｜＝λ｜｜＝λm＝λc，由｜｜＝｜｜，则有（λc）2＝（c－λc）2＋（c）2，整理得8λ＝5，即λ＝. 14.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1（b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与C交于A，B两点，且｜AF2｜∶｜AB｜∶｜BF2｜＝3∶4∶5. （1）求C的离心率； （2）设M，N分别为C的左、右顶点，点P在C上（点P不与点M，N重合），证明：∠MPN≤∠MAN. 解：（1）由＋＝1（b＞0）得a2＝4，则a＝2. 设｜AF2｜＝3m，｜AB｜＝4m，｜BF2｜＝5m， 由勾股定理知∠BAF2＝. 由｜AF2｜＋｜AB｜＋｜BF2｜＝4a＝8可知m＝，所以｜AF2｜＝2. 所以｜AF1｜＝2a－｜AF2｜＝4－2＝2， 所以△AF1F2为等腰直角三角形， 所以点A是椭圆短轴的一个端点，则b＝c＝， 所以椭圆的离心率为e＝＝. （2）证明：由（1）可得椭圆方程为＋＝1， 则M（－2，0），N（2，0）. 由椭圆的对称性可设A（0，），P（x0，y0），y0∈（0，]， α＝∠PMN，β＝∠PNM， 则tan α＝，tan β＝，＋＝1， 所以tan α·tan β＝·＝＝＝， tan α＋tan β＝＋＝＝＝， 所以tan（α＋β）＝＝， 所以当y0＝时，tan（α＋β）取得最小值2， 由（1）知∠BAF2＝，所以（α＋β）∈（0，）， 所以当点P与点A重合时，α＋β取得最小值，此时∠MPN＝π－（α＋β）取得最大值，所以∠MPN≤∠MAN. 15.（新定义）若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C1：＋＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”. （1）求椭圆C2的方程； （2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：A1H⊥PA2. 解：（1）椭圆C1：＋＝1的离心率为e＝＝＝， 设椭圆C2的方程为＋＝1（a'＞b'＞0），且b'＝，因为两个椭圆为“相似椭圆”，所以e＝＝，解得a'2＝12， 所以椭圆C2的方程为＋＝1. （2）证明：不妨设P（m，n），其中n＞0，则＋＝1，可得m2＝6－， 把x＝m代入椭圆C1：＋＝1，可得y＝，所以H（m，）， 所以＝，＝， 所以·＝·＝＝＝－1. 所以A1H⊥PA2. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $