7 学习圆锥曲线要养成探究的习惯-《中学生数理化》高二数学2025年11月刊

中学生数理化解题皱学经典题突被方清 学习圆锥曲线要养成探究的习惯 ■安徽省安庆市第一中学 洪汪宝 同学们在学习圆锥曲线的过程中，要勒 方程为x=3,B(3,一 )，PB|=3,点A到 3 动脑，勒动手，学会探究，善于探究。探究试 题的多种解法，从多个角度思考同一问题，有 直线PB的距离d=3,此时SAup-2×3X 1 利于思维的多样性；探究试题的一般结论，开 展深度学习，有利于提升思维的层次与质量； 39 ≠9，不满足条件。 进行类比探究，纵向联想，有利于提高数学素 当直线L的斜率存在时，设直线PB: 养。下面从解法探究、结论探究、类比探究三 3 y 2 =k(x-3),P(x1,y1),B(x2,y2)。 个方面，剖析圆锥曲线的解题策略，希望对同 学们的学习有所启发。 3 y=k(x-3)+2: 一、解法探究 联立 消去y可得 例1已知A(0,3)和P(3,受)为椭圆 (4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k- c塔 =1(a>b>0)上两点。 27=0,于是△=(24k2-12k)2一4(4k2+3)· (36k”一36k一27)>0，且k≠k4p,即k≠ (1)求椭圆C的离心率； (2)若过P的直线l交椭圆C于另一点 20 B,且△ABP的面积为9，求L的方程。 24k2-12k x1十x2 分析：本题是2024年全国新课标I卷第 4k2+3 故 16题，主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简 := 36k2-36k-27 单几何性质、直线与椭圆的位置关系、三角形 4k2+3 的面积等知识点，对同学们的逻辑推理能力、 则|PB|=√k2+1√(x1十x2)2-4x1xg 运算求解能力、分析问题和解决问题能力要 27 求比较高。(1)将两点的坐标分别代入椭圆 4E√+√3k+9k+ 4k2+3 方程，即可求出a2=12,b2=9,于是得到椭圆 因为点A到直线PB的距离d= C的离心率为分。(2)可以直接设直线1的 3k+ 2 方程，不过要注意斜率不存在或斜率为0的 所 以 S△ABP 情况，也可先求出点B的坐标，再求直线（的 方程。下面仅对(2)进行解法探究。 45√k+1/3k2+9k+ 27 =9 解法1：当直线（的斜率不存在时，（的 4k2+3 2+1 16 解题篇学经奥题突破方清中学生教理化 高二数学2025年11月 解得k=工 或号均满足题意。 - 解法3：由题意知kAP= 1 -3 之，则 于是1的方程为y=分：或y= 2x-3, 直线AP的方程为y=一 1 2x+3,即x+ 即x-2y=0或3x-2y一6=0。 解法2：当直线1的斜率为0时， 2y-6=0。 B(-3,号)PB=6,点A到直线PB的距 易知1AP|= √0-3)+(6- 离为受，此时SA×6×子-是≠0，不 3 35 2 精圆c+号 =1o 满足条件。 设点B到直线AP的距离为d,则d= 当直线l的斜率不为0时，设直线l:x 2×9125 3=m(-2） 3√5 50 2 x-3=m(-2) 设B(xo,yo),则： 联立 r! 消去x得(3m 1x。+2y。-6|125 √5 5 +40y-(9m-18m)y+27m-27m-9 +-1 0,所以△=(9m2-18m)2-4(3m2+4)· x0=一3， x0=0, 解得 o= 3 或 即 (m-27m-9)>0,且m≠-2。 2 y=-3, 根据韦达定理得多十y 9m2-18m B(-3,-)或0，-3) 3m2+4 9 2-18m-6 当B0,-3)时，k,=号，直线1的方程 解得yB= 3m2+4 3 为y=2x-3,即3x-2y-6=0。 所以|PB|=√十mIyp一yB 9 当B(-3,一)时，k,=2,直线1的方 =√1+m 3 m-18m-6 2 3m2+4 程为y=2x,即x一2y=0。 =√1+m 118m+12| 3n2+4。 综上，直线l的方程为3x一2y一6=0或 因为点A到直线PB的距离为 x-2y=0。 解法4：如图1，连 -3m+m-3 3 2m+3 接PO并延长交椭圆 所以S△ABP √1+m √1+m C于点P',椭圆的下 顶点为A',连接 2·√1十n· |18m+12 2m+3 P'A',P'A,PA'。 3m2+4 √J1+m 1 =9,整理得|3m2十8m十4|=6m2+8,解得 因为SAPA=2X 图1 m一号或m=2,均满足题意。 9 3×3=2,所以Sap=2SPA=9,此时点 因此直线l的方程为3x一2y-6=0或 A'符合条件，所以直线l的方程为3x一2y一 x-2y=0。 6=0。 17 中学生表理化然氨学品聚酸方待 根据椭圆的对称性知四边形APA'P'为 (3)弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+ 平行四边形，所以S△APp=S△APA=9,此时点 D=_ P'符合条件，直线l的方程为x一2y=0。 。,当。=受时，弦AB为抛物线的通 sin'a 综上，直线L的方程为3x一2y一6=0或 径，此时|AB|=2p是所有焦点弦中最短的； x-2y=0。 1 1 2 点评：解法1和解法2都是直接设直线1 (4)AF十BF=P (5)以线段AB为直径的圆M必与准线 的方程，不过形式稍有不同，先借助弦长公式 l相切，以线段AF(或BF)为直径的圆必与 求出弦PB的长，再利用点到直线的距离公 式得点A到直线PB的距离，即可得到 y轴相切，以线段A'B为直径的圆必与直线 AB相切； △ABP的面积，从而建立关于待定系数k或 m的方程，求出k或m的值，注意代入检验， (6)△AOB的面积为2sina' 整个运算过程比较复杂，对同学们的运算求 (7)AF⊥B'F; 解能力要求比较高。解法3和解法4都是先 (8)A,O,B三点共线，B,O,A'三点共线； 求出点B的坐标，再求直线（的方程，根据条 件进行分析，发现只要，点B的坐标确定，问 (9)若A京=Fi,则|cosa 题即可迎刃而解，注意体会这种间接设元的 例2（多选）抛物线C:y=6x的焦点为 技巧，相较于前两种方法，这两种方法的运算 F,过F的直线交抛物线C于A,B两点，过点F 量要小得多。特别是解法4，先求出△OPA 之于点E,过 3 的面积，再借助椭圆的对称性确定点B的位 且垂直于AB的直线交l:x=一 置，充分利用了数形结合的思想方法，实现了 点A作准线l的垂线，垂足为D,则()。 数与形的统一，同时简化了运算，加深了同学 A.ADI=AF 们对平面解析几何问题的理解，真正体现了 B.AEI=AB “多想少算”的优势。 C.|AB|≥6 二、结论探究 D.|AE1·1BE|≥18 如图2，AB是过抛物线C:y2=2px(p 解：选项A,由抛物线C:y=6x,得p= >0)的焦点F的一条弦，其倾斜角大小为α， 3,其准线方程为x=- 焦点F(贷o) 设A(x1,y1),B(x2,y),弦AB的中点为 M(xo,yo),抛物线C的准线为L,作AA'⊥1 则|AD为抛物线上的点A到准线的距 于A',作BB'⊥1于B',点O为坐标原点，连 离，|AF|为抛物线上的点A到焦点F的距离。 接A'F,B'F,AO,BO。则下列结论成立： 由抛物线的定义可知，AD|=|AF|,故 A正确。 选项B,如图3，过点B作准线l的垂线， 垂足为P,连接AE,BE。 图2 1)x1,= 4y1y2=-p”: )1AF=+号=Cs。BF1 图3 x+ 由题意可知AD⊥l,EF⊥AB,则 1+cos a; ∠ADE=∠AFE=90°。 18 轻题破方清中学生表理化 又因为AD|=|AF|,AE|=|AE|,所 结论2：不过原点O的直线与抛物线y 以△ADE≌△AFE,则∠AED=∠AEF。 =2px(p>0)相交于A,B两点，OA⊥OB, 同理∠BEP=∠BEF。 则该直线经过定点(2p,0)。 又∠AED十∠AEF十∠BEP十∠BEF 结论3：P(s,t)是抛物线y2=2px(p> =180°，以∠AEF+∠BEF=90°，即 0)上一点，不过点P的直线与该抛物线相交 ∠AEB=90°。显然AB为Rt△ABE的斜 于A,B两点，若PA⊥PB,则该直线经过定 边，则|AE|<|AB|,故B错误。 点(s十2p,一t)。 选项C,设直线AB的倾斜角为，则 结论4：P(s,t)是抛物线y=2px（p> AFI-1-cos 0BFI-1+cos 0 0)上一点，过点(s十2p,一t)的直线（不过点 P)与该抛物线相交于A,B两点，则PA⊥ 故AB=AF1+1BF=1-Os9十 PB。 完成以上探究后，那么在椭圆和双曲线 十co80s1n2三2p=6,C正确 中，是否也有类似的结论呢？ 选项D,因为△ABE是直角三角形， 类比结论1：已知点P(a,0)是椭圆之 |EF|≥p=3,所以|AE|·|BE|=|AB· |EF|≥6×3=18，D正确。 y =1(a>b>0)的右顶点，不过点P的直线 故选ACD。 与该椭圆相交于A,B两点，PA⊥PB,则该 点评：本题是2025年全国新课标I卷第 10题，是一道多项选择题，围绕抛物线的焦 直线经过定点(。-)，0 a2+6°，0) ,点孩设置多个问题，主要考查抛物线的简单 几何性质、直线与抛物线的位置关系等知识 类比结论2：已知点P(a,0)是椭圆 "f 点，选项涉及等量关系与不等关系，对同学们 3y9 =1(a>b>0)的右顶点，过点 的逻辑推理能力、运算求解能力要求比较高。 对于上述结论，不必死记硬背，要学会推导， 1a(a2-b2) (a+b一，0)的直线（不过点P)与该椭圆 在理解的基础上加强记忆，把它们串成一条 相交于A,B两点，则PA⊥PB。 线，在脑海中生成知识结构图。 三、类比探究 类比结论3：已知点P(s,)是椭圆二十 例3直线y=x-2与抛物线y2=2x y 相交于A,B两点，点O是坐标原点，求证： =1(a>b>0)上一点，不过点P的直线与 OA⊥OB。 该椭圆相交于A,B两点，则PA⊥PB的充 分析：本题来源于人教A版《数学选择 要条件是该直线经过定点 性必修第一册》第138页习题3.3第6题，主 s(a2-b2)t(a2-b2)1 要考查直线与抛物线的位置关系，直线与直 a2+b2, a2+b2 线的位置关系等知识点。完成证明后可以探 类比结论4：已知点P(s,t)是双曲线 究其逆命题是否成立，即不过原点O的直线 与抛物线y2=2x相交于A,B两点，若OA 6=1(a>0,b>0,a≠b)上一点，不过点 ⊥OB,则该直线过定点(2,0)。在此基础上， P的直线与该双曲线相交于A,B两点，则 将问题一般化，即可得到以下结论。 PA⊥PB的充要条件是该直线经过定点 结论1：过点(2p,0)的直线与抛物线 s(a2+b2)t(a2+b2) y2=2px(p>0)相交于A,B两点，O点是坐 a2-b2, a2-b2)。 标原点，则OA⊥OB。 (责任编辑赵倩) 19