11 利用空间向量求空间角的易错点分析-《中学生数理化》高考数学2025年11月刊

解题物学易结题归类朝析中学生教理化 高三数学2025年11月 利用空间向量求空间角的易错点分折 ■江苏省南京市第二十七高级中学 闻琳 立体几何是高中数学的主要知识，也是 1 1 高考必考内容。其中求空间角是对立体儿何 √+1严×√12+(-√3)2 22 4。 考查的主要形式之一。在立体几何中，空间 角有三种：异面直线所成角、线面角和二面 故直线PC与AB所成角的余弦值为 49 角。求这些角的常用方法有两个：一是传统 点评：本题是求异面直线所成角问题。 法；二是空间向量法。而在实际解题过程中， 利用空间向量求解该类问题的一般步骤为： 同学们更多的是采用空间向量法。借助空间 第一步，根据已知条件建立恰当的空间直角 向量求解空间角属于知识点融合应用问题， 坐标系；第二步，根据所建立的坐标系和已知 相较传统法而言，步骤虽简洁但也更容易出 条件，把需要的点的坐标求出来；第三步，根 错。下面具体从求异面直线所成角、线面角 据点的坐标，求出两条异面直线的方向向量； 和二面角三个方面展开讨论，分析易错点，并 提出应对策略。 、第四步，利用公式cos〈a,b)=b(其中 一、求异面直线所成角 向量a,b分别是两异面直线的方向向量)求 求解这类问题的关键在于准确建立空间 结果。在解答过程中，常见的易错点及处理 直角坐标系，确定直线的方向向量，然后利用 技巧：一是建立空间直角坐标系要以已知条 公式eoa,6》=88(其中空同向量ab 件为准，不能随意而为；二是建系一定要恰 当，有的题目可以以多种方式建系，但是要以 分别是两异面直线的方向向量)计算即可。 恰当的形式建立，主要依据是将问题简单化， 常见的易错点是坐标系选取不当、向量计算 尽可能地使需要的点在坐标轴上；三是找坐 失误及公式记错等。因此，同学们应注重基 标，在找坐标时，一定要清楚空间直角坐标系 础知识的巩固，熟练掌握向量点积和叉积的 的逻辑性；四是使用公式时，注意分子有绝对 应用，确保计算过程的严谨性。 值，而且求出的是余弦值。 例1已知三棱锥P-ABC中，PA= 二、求线面角 PC=AC=2,AB=BC=√2，AB⊥BC,平面 这类问题采用空间向量求解时，一般是 PAC⊥平面ABC,求异面直线PC与AB所 把直线的方向向量和平面的法向量求出，然 成角的余弦值。 后利用公式sina,b)=|8论（其中向量a: 解析：如图1所示，建 b是直线的方向向量和平面的法向量)计算 立空间直角坐标系O 即可。常见的易错点是建系不常规、向量计 xyx。因为PA=PC= 算错误和公式应用错误等。 AC=2,AB=BC=√2，所 以A(0,-1,0),B(1,0, 例2如图2，在直四 0),C(0,1,0),P(0,0, 棱柱ABCD-A1B1CD1中， 底面ABCD是边长为2的 √3)，则AB=(1,1,0), 图1 正方形，AA1=4,M是CC PC=(0,1,-√3)。 的中点，求直线BM与平面 因此cos〈A方，p元)=A言·P心 BDA,所成角的大小。 ABIPCI 图2 解析：根据题意，建立如 31 中学生教理化离数学202年1月 解题篇易错题归类剖析 图3所示的空间直角坐标 解决的一般思路：首先，根据已知条件建立恰 系A-xyx。因为底面 B 当的坐标系；其次，根据所建立的坐标系找需 ABCD是边长为2的正方 要的点的坐标；再次，根据点的坐标求出平面 形，AA1=4,M是CC1的 的法向量；最后，利用公式cos〈a,b)= 中点，所以B(2,0,0), :其中向量a,b分别是两个平面的法 D(0,2,0),A1(0,0,4), M(2,2,2),则BM=(0, 图3 向量)求二面角，或利用公式cos(a,b〉= 2,2),BD=(-2,2,0), a·b(其中向量a,b分别是两个平面的法 ab A1D=(0,2,-4)。 向量)求两个平面的夹角。主要的易错点是 设平面BDA1的一个法向量为a=(x, 对二面角和两个平面的夹角区分不清。 BD·a=-2x+2y=0, y,之)，则 令x=1, 例3如图4，在四棱 A1D·a=2y-4x=0, 锥P-ABCD中，PA⊥平面 则x=y=2,所以a=(2,2,1)。 ABCD,底面ABCD是边长 所以sin(B应，a〉=B·a 为4的正方形，PA=4,M, a BM N分别为PB,PD的中点， 2×2+2×1√2 求平面ACM与平面ACN 图4 3×2√2 又<ia)∈[o,],所 夹角的余弦值。 以(B,a)-至。放直线BM与平面BDA 解析：根据题意，建 立如图5所示的空间直 所成角的大小为车。 角坐标系A-xyz。因为 底面ABCD是边长为4 点评：本题是在直四棱柱的情境中，求线 面角的大小。利用空间向量求解该类问题的 的正方形，PA=4,M,N 一般步骤为：第一步，根据已知条件建立恰当 分别为PB,PD的中点， 所以A(0,0,0),C(4,4, 图5 的空间直角坐标系；第二步，根据已知和空间 0),M(2,0,2),N(0,2, 直角坐标系找出所需要的点的坐标；第三步， 2),从而AC=(4,4,0),AM=(2,0,2),AN 根据，点的坐标求直线的方向向量和平面内的 =(0,2,2)。 两个相交向量；第四步，求出平面的法向量； 设平面ACM的一个法向量为a=(x1, a·b 第五步，利用公式sin(a,b〉=ab(共中 AC·a=4x1十4y1=0, y1,之1)，则 令x1= 向量a,b分别是直线的方向向量和平面的法 AM·a=2x1+2x1=0, 向量)计算角（三角函数值）。在解答过程中， 1,则y1=1=-1,所以a=(1,一1，-1)。 常见的易错点及应对策略：一是不会建立恰 设平面ACN的一个法向量为b=(x2, 当的坐标系，应对策略例1已说明；二是很多 AC·b=4x2十4y2=0, 同学在求平面的法向量时不会根据变量的逻 y2,之2)，则 令y2= AN.b=2y2+2x2=0, 辑关系进行赋值，应对策略就是找准三个变 1,则x2=x2=一1，所以b=(一1,1，一1)。 量的逻辑关系，一般是对最小变量进行赋值； a·b11-1-1+1 三是公式的应用，这里要特别注意分子有绝 所以cos(a,b)=ab7 3 对值，公式求出的是线面角的正弦值，而不是 余弦值。 3。故平面ACM与平面ACN夹角的余 三、求二面角或两个平面的夹角 弦值为3· 1 这类问题是高考的热点，利用空间向量 32 赞数学8领概新中学生表理化 倒析求数列通项公式的易错点、 ■江西省赣州市赣县区第五中学 肖帆 数列是高中数学的核心内容，也是高考 {an}=2n一1，这都是不规范的写法，必须养 的必考题型。求通项公式是考查数列知识的 成好的习惯：②公式记不清，特别是等差数列 主要形式之一，在求解与数列通项公式有关 和等比数列的通项公式混淆，数列的通项公 的问题时，同学们存在的易错点主要有：公式 式和前项和公式混淆，必须找到各自的特 记忆不清、方法混淆、思路不明确、情况考虑 征进行区分记忆。 不全等。下面结合实例逐一剖析。 二、方法混淆 一、公式记不清 在众多求数列通项公式的方法中，累加 主要针对等差数列、等比数列求通项公 法和累乘法非常类似，所以很容易混淆。 式，这两个数列均是特殊数列，求通项公式均 例2已知数列{an}的首项a1=1。 要利用公式。等差数列：a,=a1十(n一1)d (1)若数列{an}满足am+1=an十n十1 (n≥2，n∈N“),其中a1为首项，d为公差； (n∈N“,求数列{an}的通项公式； 等比数列：b,=b1q”-1(n≥2，n∈N),其中b1 (2)若数列(a,}满足a1=n十史a 为首项，q为公比。 na,(n∈ 例1已知等差数列{an}中，a=5, N“),求数列{a,}的通项公式。 解析：(1)由a+1=an十n十1，得a,+1一 a1o=19。正项等比数列{bn}满足b2=a2, am=n十1，am一am-1=n,am-1一am-2=n-1, b1=a14。求数列{an}和{b}的通项公式。 …,a3一a2=3,a2一a1=2,上述各式相加得 解析：设等差数列{an}的首项为a1,公差 am+1-a1=(n+1)十n+(n-1)+…+3+2。 为d,等比数列{bn}的首项为b1,公比为q。 因为a1=1,所以am+1=1十2+3十…+(n一 a3=a1+2d=5, 由题意得 解得0=1， 所 a1o=a1+9d=19, d=2, 1)+n+(n+1)=1×(m+1)+n(n+1D×1 2 以数列{an}的通项公式为an=1十(n一1)× -十3m十2=n+1)十(n+D,故数列 2=2n一1。 2 2 所以a2=3,a14=27,则b2=3,b1=27, a,}的通项公式为a,=”十n 2。 因此g会- =9。 (2)由a1=+1a,得a-m am-1n-11 因为b,>0,所以g=3,则b==1,故 -器-号…会-总 =2’a 数列(bn}的通项公式为b,=3。 评注：求解本题的关键是准确求出等差 兰，上述各式相粟得会=？=因为a=1, a11 数列的首项和公差，以及等比数列的首项和 所以an=n,故数列{an}的通项公式为an=n。 公比，然后利用公式即可。此类题型的易错 评注：本题设置两问，第一问体现累加 点主要有：①符号使用不规范，如等差数列 法，第二问体现累乘法，这两种方法都是求数 {an}的通项公式，很多同学记为2n一1或 列通项公式的常规方法。同学们在解题时需 ,点评：本题是求两个不同平面的夹角问 围是[0，π]，两个平面的夹角的取值范围是 题，解题时同学们需要注意区分二面角和两 ,这决定了公式中的分子需不需要绝 个平面的夹角的取值范围（二面角的取值范 对值。 (责任编辑王福华) 33