9 浅析内切球问题的应对策略-《中学生数理化》高考数学2025年11月刊

然敏学新腰验根费背中学生表理化 浅析内切球问题的位对策略 ■陕西省宝鸡市长岭中学 徐玲 空间几何体的内切球问题，是近几年高 A.钙 B.2 考数学试卷中的一个基本考点，也是同学们 C. D.2 7 眼中的难点之一。求解空间几何体的内切球 解析：如图1，过点P 问题，可以类比平面几何图形中求内切圆的 作PO⊥平面ABCD,由正 方法，合理升维加以巧妙应用。本文结合实 四棱锥的几何性质知O为 例剖析空间几何体的内切球问题的几类常见 正方形ABCD的中心，连 解题技巧与应对策略，希望能为同学们的复 接OA。因为AB=6,所以 习备考提供一些帮助。 OA=3√2，所以OP= 图 一、结构特征法 √/PA-OA2=√/25-18 结构特征法主要是针对特殊的空间几何 体的内切球问题，往往涉及正方体的内切球， -7,则四棱锥P-ABCD的体积V-专×6 特殊圆柱（底面直径与高相同的圆柱）的内切 ×√7=12√7，四棱锥P-ABCD的表面积S 球问题，结合几何体的结构特征，可以直接确 =6×6土2×6×V25=9×4=84。设四棱 定对应几何体的内切球的半径。 例1棱长为2√2的正方体的内切球 锥P-ABCD的内切球的半径为r,内切球的球 心为O',由V=VgAP+Vgwr+Vacp+VADR 的表面积为()。 A.86元B.24xC8E四 +Vam,可得V-号s7,即12w万= 3×84 D.8元 3 解析：由正方体的结构特征知内切球的 Xr,解得，=3 7。所以四棱锥P-ABCD的 半径是正方体棱长的一半，故内切球的半径 r=√2。所以所求正方体的内切球的表面积 内切球的表面积是4知-严。放选C S=4πr2=4π×（√2）=8π。故选D。 ,点评：利用等体积法 点评：利用结构特征法解决内切球问题 解决内切球问题时，以四棱 锥P-ABCD为例，其内切 的关键在于把握特殊空间几何体的结构特征 与对应的基本性质，例如，内切球的球心到多 球为球O,如图2所示，则 面体各面的距离均相等；正多面体的内切球 该四棱锥的内切球半径r 和外接球的球心重合；正棱推的内切球和外 的求解方法为：由VP-ABCD= 图2 接球的球心都在高线上，但不重合。 Vo-AUCD Vo-Puc Vo-PCD+ 二、等体积法 VO-PAD十VO-PAB,即VP-ABCD= 3SAD·r十 等体积法的实质就是分割法，是通过内 1 切球的球心与棱锥各个顶点的连线，将棱锥 -S△PAD·r十 分割成以原棱锥的面为底面，内切球的半径 为高的小棱锥，根据分割前后的体积相等，列 3S△PB·r,可求出r 出关于内切球的半径的方程。等体积法是求 三、独立截面法 解内切球半径问题的通用方法之一。 独立截面法是解决比较规则的空间儿何 例2在正四棱锥P-ABCD中，PA= 体的内切球问题的一种技巧方法，是平面几 5,AB=6,则该四棱锥的内切球的表面积是 何图形的内切圆的类比与拓展。解决的方案 )。 是依托规则空间几何体的轴截面，在截面中 27 中学生款理化贺韁学创新海 确定圆的位置（即内切球），以及对应圆与轴 强电负性气体，广泛用于超高压和特高压电 截面所对应的平面几何图形的关系，进而突 力系统。六氟化硫分子结 破内切球问题。 构呈正八面体排布(8个面 例3已知球与圆台的上底面、下底 都是正三角形)，如图4所 面、侧面都相切。若圆台的侧面积为16π，上底 示。若此正八面体的表面 面与下底面的面积之比为1：9，则球的表面 积为32√3，则该正八面体 积为()。 的内切球的体积为 图4 A.12πB.14π C.16πD.18π 解析：设该正八面体的棱长为a,则号 解析：依据题意，球内切于圆台，画出两 者的轴截面，球的截面为 3 a×a×8=325,解得a=4。所以该正八 圆，圆台的轴截面为等腰梯 形ABCD,如图3所示。 面体的内切球的球心O到该正八面体的各 过点B作CD的垂线，垂 顶点的距离为2√2。如 足为E。设球的半径为R, 图3 图5所示，在正三棱锥 则BE=2R。设圆台的母线长为1，上底面与 O-ABC中，由Vo-Anc= 1 下底面圆的半径分别为r1,r2,则BC=l。又 3SAx·OH= 上底面与下底面的面积之比为1：9，则 OA,可得OH 元r OA·S△oc=4×2E 图5 一一日得r:=3。由圆的切线长定理知 SAABC 43 r1十r2=l→l=4r1,故圆台的侧面积为x(r1 v6 3 。由正八面体的几何性质得OH的长就 十r2)1=4πr1l=16πr=16π，解得r1=1。 所以2R=BE=√-(2r1)下=2√5，即R 是该正八面体的内切球的半径R,即R=2y⑤ 3 √5，则球的表面积S=4πR=12π。故选A。 3πR= 4 所以该正八面体的内切球的体积V= ,点评：利用独立截面法解决内切球问题， 既是平面几何图形的内切圆的类比与升华， 3X(26) 4 64√W6 3/ 27 。故填46x 27 也是“二维”平面向“三维”空间类比与应用的 点评：利用几何性质法解决内切球问题 一种表现。解题时，首先，画出经过球心和切，点 是平面几何图形的类比与深化，在平面几何 的大圆的截面图；其次，在截面中找到和球半径 图形中，直线与内切圆相切时，对应切点与圆 相关的直角三角形；最后，利用相似、全等、勾股 心的连线一定与该直线垂直；类比到空间几 定理等平面几何知识求出内切球半径。 何体中，平面与球相切时，对应切点与球心的 四、几何性质法 连线一定与该平面垂直。抓住内切球的几何 几何性质法是针对内切球的几何性质 性质，可以给问题的解决创造条件。 (平面与球相切时，对应切点与球心的连线一 在分析与解决多面体内切球的综合应用 定与该平面垂直)而言的一种特殊方法。特 问题时，合理利用多面体的结构特征，挖掘立 别地，对于正多面体，若能求出内切球的球心 体几何的内涵与实质，正确构建与之相对应 到其中某一面的距离，即高线的长，则其为所 的几儿何模型，结合球的定义，合理确定多面体 求内切球的半径。 内切球的球心，进而构建起不同元素之间的 例4六氟化硫是一种无机化合物，化 联系，正确进行空间想象、逻辑推理与数学运 学式为SF。,常温常压下为无色无臭无毒不 算等，最终实现多面体内切球综合应用问题 燃的稳定气体，密度约为空气密度的5倍，是 的巧妙解决。 (责任编辑王福华) 28