6 依托立体几何场景创设，开发长(正)方体模型-《中学生数理化》高考数学2025年11月刊

中学生表理化学新降视器 依托立体几何场景创设，开发长（正）方体模型 ■江苏省泰州市第二中学 李 欣 长（正）方体模型是立体几何模块知识中 =12π。 最为常见的一类基本空间几何模型，也是高 故选B。 考数学命题中最为基本的一种立体儿何场景 (2)由题知PA2+PC2=32+52=34= 或模型母体。借助长（正）方体模型的特殊结 AC2,故PA⊥PC。同理PA2+PB2=AB, 构特征与几何性质等，合理回归立体儿何本 PC2+PB2=BC2。所以PA⊥PB,PB⊥ 质，巧妙借助长（正）方体模型的嵌人操作、提 PC,即三条侧棱PA,PB, 取应用、探寻轨迹等方式来分析与解决立体 PC两两垂直。如图3，以 几何中的相关问题。 P为顶点，PA、PB、PC分 一、模型的嵌入 别为一个长方体的长、宽、 嵌入是将不规则几何体嵌入到长（正）方 高，将三棱锥P-ABC补成 图3 体中去，可以将不规则图形转化为规则图形 长方体。易知长方体的外 来处理，有效化陌生为熟悉，化残缺为完整， 接球就是三棱锥P-ABC的外接球，长方体 借助长（正）方体模型使得问题解决起来更加 的体对角线长为√3”+4十5=5√2，即为外 直观、灵活与方便，可以减少数学运算量。 接球的直径。所以球O的表面积为4π× 例1(1)据《九章算术》 =50元。 记载，“鳖糯”为四个面都是直角 2 三角形的三棱锥。如图1所示， 故选D。 现有一个“鳖懦”，PA⊥底面 (3)如图4，将四面体 ABC,AB⊥BC,且.PA=AB= P-ABC放入长方体中，设 BC=2,则该三棱锥的外接球的 图1 长方体相邻的三边长分别 表面积为( )。 a2+b2=3, A.10元 B.12x C.14π D.16π 为a,b,c,则b2十c2=9,相 图4 (2)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在 a2+c2=4, 球O的球面上，PA=3,PB=4,PC=5,AB 加并整理得a2+b2十c2=4R=8,故R=√2。所 =5,AC=√34，BC=√41，则球O的表面积 为()。 3R-82x 以该四面体的外接球的体积V=4元 3 A.16π B.25π C.32π D.50π 故填8V②x (3)在四面体P-ABC中，PA=BC=3, 3 PB=AC=2,PC=AB= 点评：借助嵌入式操作，将问题场景中不 √3，则该四面体的外接球的 规则的几何体嵌入到长（正）方体中去，有效 实现补形，优化几何模型结构与特征，进而利 体积为 用长（正）方体模型的结构特征与几何性质等 解析：(1)如图2，将三 棱锥补形为正方体，则外接球 来解决相应的立体几何问题。此类嵌入到长 (正)方体中去的操作，经常用于空间几何体 的半径R= PC 图2 的外接球及其他一些相关的综合应用问题。 √AP+AB+BC W/4+4+4 二、模型的提取 2 =√3，所以 提取是依托长（正）方体模型中有效信息 三棱锥的外接球的表面积S=4πR”=4π×3 所生成概念辨析问题、位置关系的判断与推 20 然数学暂腰视滑中学生表理化 理问题、生成角和距离的计算问题、生成简单 AD1⊥平面PCD,故选项C错误。 组合体的切接或组合问题等，并结合长（正） 对于选项D,如图7， 方体模型的结构特征与几何性质等来分析与 将△BAD1和△CAD1展 解决问题。 开到同一平面，当P为 例2(2024年山东省潍坊市高三 AD1与BC的交点时，PB (上)期末数学试卷)（多选题）在棱长为1的 十PC有最小值。因为 图7 正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为线段AD1 AD,=AC=CD1=√2，所 (包括端点)上一动点，则( )。 以∠D1AC=60°。又∠BAD,=90°，所以 A异面直线AD1与A1C1所成的角为60 ∠BAC=150°。在△ABC中，由余弦定理得 B.三棱锥B1-PBC1的体积为定值 BC2=AB2+AC2-2AB·ACc0s150°=1 C.不存在点P,使得AD1⊥平面PCD +2-2x1×E×() 3+√6，所以PB D.PB+PC的最小值为3十√ 解析：对于选项A,如图 0 十PC的最小值为√3十√6，故选项D错误。 5,连接CD1,AC。因为A 故选AB。 AD1=AC=CD1,所以 ,点评：借助提取式操作，依托长（正）方体 △ACD1是等边三角形，所 模型来提取有效信息，进而生成空间问题。 以∠D1AC=60°。因为 在提取与应用过程中，关键在于依托长（正） AA1∥CC1且AA1=CC1,所 图5 方体模型的结构特征与几何性质等，通过相 以四边形A:C1CA是平行 关的数据信息来巧妙联系起对应的概念、公 四边形，所以A1C1∥AC,所以异面直线AD 式、公理或定理等，用来处理立体几何中的综 与AC1所成的角等于AD1与AC所成的 合应用问题。 角，即为∠D1AC=60°，故选项A正确。 三、模型的探寻 对于选项B,因为AB∥C1D1且AB= 探寻是基于空间中动点的变化规律，在 C1D1,所以四边形ABCD1是平行四边形， 长（正）方体模型的表面确定对应的轨迹及其 所以AD1∥BC1。因为BC1C平面BCC1B1, 相应图形特征。往往借助动点保持元素的基 AD1丈平面BCC1B1,所以AD1∥平面 本性质类型：平行关系、垂直关系、等距关系 BCC1B1,从而点P到平面BCB:的距离等 及等角关系等加以探寻与应用。 于点A到平面BCC1B1的距离，即AB=1。 例3(2024年湖北省高考数学联考 又Sx=子×B,B×B,C=子，所以 1 试卷)已知正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长 为3，P为正方体表面上的一个动点，A1P= 1 1 VaPe=VxB=3 XABXS△xB,=6,故 2√3，则点P的轨迹长度为 选项B正确。 解析：如图8，由于正方 对于选项C,如图6，设 0 体的棱长为3，而AP= AD1的中点为P,连接DP, 2,此时点P在平面 CP。因为DA=DD1,P是 ABB1A1,平面A1B1C1D1, AD1的中点，所以DPL 平面ADD1A:内的轨迹是一 AD1。又因为CD⊥平面 样的，以平面ABB1A1为例， 图8 ADD1A1,AD1C平面 图6 其是以A1为圆心，2√5为半径在平面 ADD1A1,所以CD⊥AD1。 ABBA,上画圆，则在对应正方体表面上留 又CD∩DP=D,且CD,DPC平面PCD, 所以AD1⊥平面PCD,即存在点P,使得 下一段圆心角为否的圆弧。 21 中学生款理化贺韁学创新海酒 基于数列场景，创新问题应用 ■山东省东营市胜利第一中学李凯 随着高考改革的不断深入，以及新课程 环，则第(n一1)号环必 的逐步推进，高考也由单纯的知识考查转变 须解下（或安上），且(n 为能力、素养等的全面考查，特别是对同学们 一1)号环往前的都要解 数学思维、归纳探索、探究创新等能力有了更 下（或安上）才能实现， 高的要求。而数列中的创新性问题，因其情 记解下n连环所需的最 图1 境设置新颖，考查角度灵活多变等特点，已经 少移动步数为an,已知 成为新高考数学的“新宠”之一。解决数列中 a1=1,a2=2,amn=am-1十2am-2十1(n≥3)，则 的创新性问题的关键在于分析与挖掘问题的 解六连环最少需要移动圆环步数为。 本质和内涵，从特殊到一般，结合已学过的数 解析：由题意可得，a=a2十2a1十1= 列知识、方法来解决问题，有时可以联系其他 2+2+1=5,a1=a3+2a2+1=5+4+1= 相关的知识加以交汇，如函数、方程、不等式 10,a5=a1+2a3+1=10+10+1=21,a6= 等，契合“在知识交汇点处命题”的高考命题 a5十2a1十1=21+20+1=42。所以解六连 指导精神。 环最少需要移动圆环步数为42步。 一、新情境 故填42。 例1九连环是中国最杰出的益智游 ,点评：对于数列中的新情境问题，关键是 戏。九连环由九个相互连接的环组成，这九 要从问题情境中寻找“重要信息”，即研究对象 个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩 的本质特征、数量关系（数量化的特征）等，剖 法就是要将这九个环从柄上解下来，如图1 析问题的本质与内涵，进而建立对应的数学模 所示，规则如下：如果要解下（或安上）第n号 型，结合数列的相关知识来分析与求解。 而点P在平面BCCB1,平面CDD1C1, 表面上确定对应动，点的变化规律与移动性 平面ABCD内的轨迹也是一样的，以平面 质，确定对应的轨迹曲线。此类探寻式操作， BCC1B:为例，其是以B1为圆心，√3为半径 经常用于探究一些动，点轨迹、平面截空间几 在平面BCC1B1上画圆，则在对应正方体表 何体、创新应用等问题。 基于长（正）方体模型的提取、嵌入、探寻 面上留下一段圆心角为的圆弧。 等方式的开发与利用，将陌生问题放置于熟 1 故点P的轨迹长度为2×2π×25× 知的长（正）方体模型中，进而研究空间元素 的位置关系、空间角或空间距离等的逻辑推 年×2π×W3×3=53x 3 理与数学运算，实现问题的化归与转化，全面 2 考查数学基础知识，基本技能、基本思想、基 故填5vr 本活动经验的落实情况，以及发现问题、提出 2 问题、分析问题、解决问题能力的培养与提升 点评：借助探寻式操作，依托长（正）方体 情况，重视核心素养的全面发展。 模型，结合动，点保持元素的基本性质，借助各 (责任编辑王福华) 对应的方式来提取有效信息，在长（正）方体 22