5 浅析数列求和中的技巧策略-《中学生数理化》高考数学2025年11月刊

舞輕数全颜丽膏中学生款理化 浅析数列求和中的技巧策略 0六0 ■江苏省姜堰中学 朱爱明 数列求和是数列模块知识考查中的一个 当n=1时，a1b1=3,则b1=3,符合bn= 重要方式，借助自身基础知识的综合体现，同 3”,所以bn=3”。 时交汇并融合函数、方程、不等式等相关内 (2)由题意得T2n=1十c2十ca+…十c2n 容，成为高考命题中的一个基本考查点。而 在数列求和时，除了公式法，经常还有一些不 =(b+6,十…+b1)+(1+1十 aza ajai 易于直接处理的数列求和问题，这就需要掌 1 0 握数列求和的一些常见的典型技巧策略，例 a 2na 2n+2 如，分组求和法、裂项相消法及错位相减法 记T奇=b1十b3十…十b2m-1,则T奇= 等，使得复杂的数列求和问题迎刃而解。 3(1-9")_3m1-3 1-9 8 一、分组求和法 分组求和法是基于数列的通项由差异明 1+1 i记T=aa千a 十…十 ,则 a2na 2n+2 显的几部分（往往以两部分为主）构成，常见 的类型就是{an十bn},进而在求和过程中，可 T= [品2)+()+…+ 以借助合理的分组进行处理，不同组内借助 -× 常规的特殊数列求和的公式来处理，再将各 组的求和结果加以综合，从而实现复杂数列 的求和问题。 例1记S,为等差数列{am}的前n项 所以Tn=T奇十T偶= 32m+1-3+1 8 和，己知a3=5,S。=81,数列{b,}满足 (3 1 _3×9 1 7 a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=(n-1)· 4n+3 8-16n+12-249 3m+1+3。 点评：分组求和法经常适用于{an十bn} (1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式； 型的数列求和，此时分别利用公式求解{an}, (2)若数列{c。}满足c,= {b,}的前n项和，再进行综合求和；还适用于 bn,n为奇数， 奇偶项为两类不同特殊数列的数列求和问 1 求数列{cn}的前2n项和 题。分组求和法的本质就是拆分与转化，合 ,n为偶数， ana n+2 理加以分组拆分，在各组内分别利用特殊数 T2no 列的公式来处理，最后再加以综合。 解析：(1)设等差数列{a,}的公差为d, 二、裂项相消法 由a=a1+2d=5, 解得a11, 裂项相消法是基于数列的通项吻合一些 S,=9a1+36d=81, d=2。 特殊结构特征，如常见的指数型、对数型、无 所以an=1+2(n-1)=2n-1。 理型、奇偶型及三角型等，在问题处理时，可 因为a1b1十a2b2十aab3+…+anbn= 以将通项公式加以合理分拆，转化为两项之 (n-1)·3"+1+3,所以a1b1十a2b2+agb 差（或和）的关系式，从而实现裂项处理，再通 十…十am-b,-1=(n一2)·3”十3(n≥2)，两式相 过求和转化，实现中间一些项的相消作用，达 减得anbn=(2n-1)·3”,所以bn=3”(n≥2)。 到求和的目的。 17 中学生款理化解整贺学自瓢鼻靓海 例2记S,为正项数列{an}的前n项 正确加以推理与运算，从而求得数列之和。 和。已知a=1,当n≥2时，a1 三、错位相减法 2 =Sn十 错位相减法是基于等比数列的求和公式 Sn-1o 的推导方式，借助数列的通项形如〈a,·bn} (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn十an= anSn+ (或侵)的创设，其中数列a,与6.)分别 ,求数列 S. 6 的前 是一个确定的等差数列与等比数列，进而按 n项和Tn。 照“一加、二乘、三减、四除”的步骤进行错位 解析：(1)依题意，当n≥2时，a+1 相减处理，最终解决复杂数列的求和问题。 2 例3在数列{an}中，a1=2,记Tm= Sn十Sm-1,所以a7=2Sn十2Sm-1-1。 a1a2a3…an,{Tn}是公差为1的等差数列。 所以a+1=2Sn+1+2Sm-1,所以a+1 (1)求数列{an}的通项公式； a=2Sn+1-2Sn-1,即(an+1十an)(am+1-an) =2(an+1十am）。 (2)令0，-受，求数列，的前n项和 因为an>0,所以an+1一an=2。 当n=2时，有02=S,+S1=2a1中 解析：(1)依题意，当n=1时，T1=a1= 2,所以T,=T1十(n-1)×1=n十1，所以 a2,解得a2=3,所以当n≥2时，数列{an}是 首项为a2=3,公差为2的等差数列，则an= a1a2a3…am=n十1； 当n≥2时，a1a2a3…am-1=n,两式相除 3十2(n-2)=2n-1。 又a1=1也符合上式，所以am=2n一1。 得a.=”+1(m≥2. n (2)因为b.十a.=as山，所以6. 又a=2也符合上式，所以a,=n+1 n anSn+1 S+-S, Sn (-1）=a· a=a（ S. (2)由1)知a.=”十1，所以b. na n =a出，则 S n+1 S 2” 因为 an =2n一1，所以S。= 则Sn=b1十b,十b3+…+b-1十bn= n(1+2n-1) =,则 = anan+l 1 m-+D-+( n +会十十+出，两式相减得s 3,4 2" 所以工，一十公十…+-十 4 +（++安++） n十1 =1十 2”+1 8[(日-)+（合-）+…+( 1-(3)] n+13n+3 】-+1-+) 1-2 2n+1 22+11 点评：裂项相消法经常适用于一些通项 表达式为分式、根式、幂式、对数式或三角式 所以S,=3-”十3 2” 的复杂数列求和问题。裂项相消法的关键就 点评：错位相减法主要适用于数列中的 是把握一些相关的裂项公式与运算法则，在 通项是由一个确定的等差数列与一个确定的 实际操作过程中会熟练加以裂项处理，结合 等比数列的乘积（或商式）构成的复杂数列的 求和过程中关系式的变化规律与相消情况， 求和问题。在实际操作过程中，要特别注意 18 解整数学摄酒中学生教理化 等比数列的公比为负数的情形；在进行“二 乘”时要注意“Sn”与“Sn”的表达式的“错项 )×(-2+--(g+)(-2。 对齐”处理，以方便下一步“三减”的表达式的 解法3：（分组求和法）因为4，=”+ ,所 正确确定。 四、“三技巧”融合 以ax”=m+2x”=x"十2”，合理分组得 m 例4(2025年新高考全国I卷第16 f(x)=(x+x2+x+…十x)+2(+ 题改编)已知数列{a,}满足a,=”十2，结定 n 正整数m,设函数f(x)=a1x十a2x2十…十 ++…叶). amxm,求f'(-2)。 令函数g(x)=x十x2十x3十…十x", 解法1：（错位相减法）由函数f(x)= hx)=2(片+三+写+…十合)，所以 a1x十ax2+…十ax,结合a.=n十2，求 f(x)=g(x)+h(x)。 导得f'(x)=a1十2a2x+3a3x2十…+ 所以'(x)=g'(x)十h'(x)。 manz-1=3+4x十5x2+…十(m+2)xm-1, 当x≠1时，g(x)=x十x2+x3+…十 所以xf'(x)=3x十4x2十5.x3十…十(m十 x”1一x）三2，则g(x) 1-x 1)xm-1+(m十2)xm,故(1一x)f'(x)= f'(x)-xf'(x)=3十x十x2十x3+…十xm-1 (m.x-m-1)xm+1 (x-1)2 一(m+2)xm=3-(m+2)xm+ 又h'(x)=2(1+x+x2+…十xm-1)= x(1-x）,此时x≠1 1一x 2x子则f-)计 当x=-2时，可得3f'(-2)=3一 (m+2)(-2)+二212)1-7 h'(x)=mx-m-1)x"+1+2(x”-1) (x-1)2 x-1 1+2 所以r'(-2)=-3m-1)(-2)”+1 (m+3)-2)”. 9 所uf(-2)=号一(g+号)-2) 2-2”2-号-贤+)-2 -3 点评：巧妙整合数列求和“三技巧”加以 解法2：（裂项相消法）由函数∫(x)= 合理创设，得以解答2025年新高考全国I卷 a1x十ax2+…十anx“,结合a.=n十2，求 第16题的第二小题，实现问题的全面突破与 导得f”(x)=a1十2a2x十3aax2十…十 解决，是数列求和“三技巧”的典型代表。 manx-1=3+4x十5.x2十…十(m十2)xm-1。 其实，涉及数列求和的综合应用问题，其 设bn=(n十2)×（一2）”1，借助裂项得 实质还是离不开两个特殊数列（等差数列与 bn=(n+2)×(-2)n-1=(An十B)(-2)” 等比数列)的求和公式，在此基础上，借助合 理的恒等变形与化归转化策略，进行逻辑推 [A(n-1D+B](-2),解得A=一3B 理与数学运算，从而解决复杂数列的求和问 名，所以6.=（-号-号)×(-2)”- 题。在实际数列求和时，采用转化思想进行 分组求和法、错位相减法处理，采用变形思想 (”3-号)×(-2) 进行裂项相消法、错位相减法处理等，这些都 离不开数学“四基”与“四能”的考查与应用。 所以f'(-2)=26,=(-号-号)× 在这个过程中，实现数学基础知识的考查，并 (-2-(1g-)×-2)-（-3 全面考查数学关键能力与数学核心素养等。 (责任编辑王福华) 19