2 明确知识主线 攻克立体几何-《中学生数理化》高考数学2025年11月刊

中学生表理化架学州衡幸新白 明确知识主线攻克立体几何 ■广东省深圳市蛇口育才教育集团育才中学 钟国城 立体几何是高考数学的必考内容，在高 解：对于选项A, 考数学试题中以选择题、填空题或解答题的 如图1，由题意可知 形式出现，试题难度为中等或中等偏上，主要 △ABD与△ACD均 考查空间几何体的表面积与体积，空间点、直 是边长为2的等边三 线、平面之间的位置关系，以及空间角与距离 角形，△ABC与 等核心知识。高考试题通常以同学们熟悉的 △DBC均是底边长 图1 空间几何体为载体，全面考查立体几何基础 为3、腰长为2的等腰 知识，着重考查空间想象能力、逻辑推理能 三角形，所以其表面积S=2(S△ABD十S△Ax) 力、化归与转化能力和运算求解能力。本文 将对立体几何相关内容进行总结，以期对同 ( ,×2×2×sm5+2×3X 学们的高考复习备考有所帮助。 /2- 侵)=2厅+放选项A错误 一、明确知识主线 对于选项B,如图1，取AD的中点M,连 1.考查空间几何体的表面积与体积 这部分内容主要以常见的空间几何体或 接BM,CM,则AD⊥BM,AD⊥CM,BM= 组合体为情境，考查其表面积与体积的计算， CM=√5。因为BM∩CM=M,BM,CMC 常以选择题或填空题的形式出现，要求同学 平面BCM,所以AD⊥平面BCM,其体积V 们有较强的空间想象能力与计算能力。 =Vw+Vnw=专XSAmX(AM+DM） 1 例1(2025年江苏连云港模拟)（多 1 ·X SABCM×AD= 1 1 选)在四面体ABCD中，BC=3,其余各棱长 3×2×3× 均为2，则该四面体的( )。 ×2= ,故选项B正确。 A.表面积为2√3+3√7 )-( 2 B体积为号 对于选项C,如 图2，设△ABD与 C.外接球的半径为 △ACD的外心分别 3 为点P,Q,则PM= D.内切球的半径为3(V2T一4) QM= 3。过点P,Q 图2 分析：此题以同学们熟悉的四面体为背 分别作平面ABD与 景，考查表面积、体积，以及球的外接与内切 平面ACD的垂线，且相交于点O,根据球心 等相关知识，既涉及线面位置关系，更关注数 的性质，点O为四面体ABCD的外接球的球 学计算，重点落实化归与转化的数学能力。 心。连接OM,则OM为∠BMC的平分线。 解决此题的关键在于根据题设条件，正确作 设OM∩BC=G,则G为BC的中点， 出图形，通过合理分析图形，结合相关性质， 利用数学运算，即可得到正确答案。 GM √)- cos∠GMC= CM v3 8 如识算￥科学备考新指月中学生教理化 高三数学2025年11月 即eo∠oM0-8X-2,放OM=2aM- B.若mC&,lCβ，m∥儿，则a∥3 C.若a∩B=m,l∥a,l∥B,则m∥l 2等，所以其外接球的半径R=OA 25 D.若m⊥a,l⊥3，m∥l,则a⊥3 分析：此题将平行、垂直关系融为一体， /1+(23） 2 VAM2+OM- √W21 3 ,故选 考查空间中线线、线面、面面的位置关系，重 3 在培养同学们的空间想象及逻辑推理等核心 项C正确。 素养。由于题中未给出图形，直接利用相关 对于选项D,设四面体ABCD的内切球 判定定理与性质定理去判断比较困难，借助 的球心为O',半径为r,则点O'到四个面的 常见的空间几何体模型，如长方体、正方体 距离均为r。因为V=VaAx十Vo'-Duc十 等，通过观察线面位置关系，结合定理进行判 1 Vo-ABD+Vo-ACD = XS×r,所以=Y 断，是一种行之有效的方法 3 解：如图3，在长方体 3X3 3(√21-4) ABCD-AB:C1D1中，对 ,故选项D正确。 23+3吃 5 于选项A,设平面ABCD 为a,平面ADD1A1为B, 故选BCD。 AC为m,BC为l,则 图3 评注：空间几何体的表面积与体积问题 a⊥B,m∥a,l∥B,但m与 是高考的高频考点，解决此类问题需注意以 不互相垂直，故选项A错误。 下几点：一是求空间几何体的表面积就是求 对于选项B,设平面ABCD为a,平面 各个面的面积之和，其本质是将立体几何问 ADD1A1为B,BC为m,A1D1为l,则mC 题转化为平面几何问题，即空间图形平面化： a,l二B,m∥l,但a与B不互相平行，故选项B 二是求空间几何体的体积的主要方法有直接 错误。 利用体积公式进行计算，或者通过转换空间 对于选项C,设平面AABB为a,平面 几何体的底面和高使得体积计算更容易，即 BB1C1C为B,BB1为m,DD1为l,可知m∥ 等体积法，或者把不能直接计算体积的空间 ,故选项C正确。 几何体进行适当分割或补形，转化为易计算 对于选项D,设平面ABCD为a,平面 体积的几何体；三是对于空间几何体的外接 A1BCD1为B,AA1为m,DD1为l,则m 球与内切球的问题，通常可以通过补形法，把 ⊥a,l⊥B,m∥1，但a与B不互相垂直，故选 几何体还原到正方体或长方体等常见模型中 项D错误。 去求解，或者是通过空间直角坐标系，利用球 故选C。 心到各顶，点的距离相等，建立有关球心坐标 评注：求解此类问题，一是要熟悉与线面 的方程组，求解方程组即可得到球心位置，进 位置关系相关的判定定理和性质定理；二是 而解决问题。 对于未给出具体图形的问题，要善于借助空 2.考查空间点、直线、平面的位置关系 间几何体模型，如从长方体、四面体等模型中 这部分内容主要考查线线、线面、面面位 观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定 置关系的判定与性质定理，主要出现在选择 或否定；三是要学会举例子，特别是举反例， 题，或解答题的第一问中，要求同学们有较强 既能快速准确地得到答案，更是一种培养严 的直观想象能力，以及严谨的逻辑推理能力。 谨数学思维的重要方式。 例2(2025年天津模拟)设a,9是两 3.考查空间角与距离 个平面，，l是两条直线，则下列命题为真命 这部分内容以空间几何体为载体考查空 题的是 )。 间角与距离的相关计算，是高考的重点、热点 A.若a⊥B,m∥a,l∥B,则m⊥l 与难点内容，通常以解答题的形式出现，其求 9 中学生款理化架贺学科章新指 解方法多样，要求同学们有较强的化归与转 思路2（建立空间直角坐标系）：设AD= 化和运算求解能力。 1,则PD=AB=2。 例3(2025年重庆模 由思路1得BD=√3，则AD十BD= 拟改编)如图4，在四棱锥 4=AB2,即AD⊥BD P-ABCD中，PD⊥底面 因为PD⊥平面ABCD,AD,BDC平面 ABCD,底面ABCD为平行 ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥BD。 四边形，且PD=AB 以D为坐标原点，建 图4 2AD,∠DAB=F 立如图6所示的空间直角 坐标系，则D(0,0,0), (1)求直线BD与直线PC所成角的余 B(0,3,0),P(0,0,2), 弦值： C(-1,3,0),故DB= (2)求直线PD与平面PBC所成角的正 弦值； (0,3,0),PC=(-1, 图6 (3)求点D到平面PBC的距离。 √5，-2)。 分析：此题以熟悉的四棱锥为载体，通过 设直线BD与直线PC所成角为θ，则 一条侧棱垂直于底面和底面包含特殊直角三 cos0=|cos〈Di,PC)|= DB·PC 角形的平行四边形来构建空间几何体，考查 DBIPCI 空间角与距离的求解，其求解方法多样，既可 3 4 ,故直线BD与直线PC所成 以使用传统的几何法，也可以通过建立空间 √5X2√2 直角坐标系，利用空间向量来解决，突出考查 角的余孩值为气， 同学们的空间想象能力、逻辑推理能力和运 算求解能力。 (2)思路1（综合法 作出所成角)：由 解：(1)思路1（综合法一作平行线，构 题意及(1)，得BC⊥BD,BC⊥PD。因为 BD∩PD=D,BD,PD二平面PBD,所以 造三角形)：如图5，过点C 作CE∥BD,交AD的延长 BC⊥平面PBD。因为BC 线于点E,连接PE,则四边 C平面PBC,所以平面 形BCED为平行四边形， PBC⊥平面PBD。 ∠PCE为直线BD与直线 如图7，过点D作DF PC所成角或其补角。 图5 ⊥PB于点F,则DF⊥平面 PBC,故∠DPF为直线PD 图7 设AD=1,则PD=AB =2,DE=1。 与平面PBC所成角。 在△ABD中，由余弦定理得BD2=1+ 由(1)得PB=√22+（√3）”=√7，所以 2-2X1×2×c0s吾-8，即BD=E,所以 sin∠DPF=sin∠DPB= BD√3√2I CE=√5。 PB 7 7 因为PD⊥平面ABCD,BD,DE二平面 故直线PD与平面PBC所成角的正弦值为 ABCD,所以PD⊥BD,PD⊥DE,则PC= √2I √2+2=2√2，PE=√2+1严=√5。 在△PCE中，由余弦定理得cos∠PCE 思路2（综合法一等体积法）：设直线 (22)2+(3)2-(5)2_√6 PD与平面PBC所成角为a,点D到平面 2×2√2×√3 ，放直线BD PBC的距离为d,则sina=PD d 与直线PC所成角的余弦值为后。 由(1)得BC⊥BD,BC⊥PB,PB=7。 10 程氯学学意费新指肉中学生凝理化 因为VP-WcD=VDPc,即S△BD·PD= 思路3（建立空间直角坐标系）：同第(2) S△Px·d,即BC·BD·PD=BC·PB, 问的思路3，得DP=(0,0,2),平面PBC的 d,所以d= BD·PD_2W5 PB 7 ,所以sina= 一个法向量为n=(0,2,√3)。 设点D到平面PBC的距离为d,则d= d2√3_√2T PD2√7 ,故直线PD与平面PBC |Dp.nl232√21 7 7 ,故点D到平面 n √7 所成角的正弦值为√②红 7。 PBC的距离为2V2I 7 思路3（建立空间直角坐标系）：同第(1) 评注：空间角与距离的求解是高考的高 问的思路2，得D(0,0,0),B(0,√3,0)， 频考，点，其求解方法多样，既可以利用向量方 P(0,0,2),C(-1,√3,0)，则DP=(0,0,2), 法来解决，也可以利用几何法进行处理。在 PB=(0,W3,-2),PC=(-1,5,-2)。 解决此类问题时，一是明确各类角度的范围， 设平面PBC的一个法向量为n=(x,y, 以防在使用向量法求解时出现符号的错误； {n·PB=√5y-2x=0, 二是使用几何法时，要指出所成角；三是要注 ),则 取y= n.PC=-x+√3y-2x=0, 意线面角的正弦值与向量夹角的余弦值的关 系，以及平面与平面的夹角和二面角的关系， 2,则x=0,x=√3，故n=(0,2,√3)。 防止求解出错。 设直线PD与平面PBC所成角为a,则 二、攻克立体几何 sin a=I cos(n,DP1 =In.DPI23 nDPI 27 1.回归教材，构建知识体系 立体几何是高考必考内容，考查形式稳 √2T ?,故直线PD与平面PBC所成角的正弦 定，因此，在复习时，同学们要学会回归教材， 值为②T 以上述知识主线为依据，整体把握知识联系， 构建知识框架，建立知识体系，落实重点内 (3)思路1（综合法一作出距离）：由题 容，深人研究教材中的例题、习题，达到融会 意及(1)，(2)，得PB=√7，平面PBC⊥平面 贯通。 PBD。 2.积累模型，重视逻辑推理 如图7，可知DF⊥平面PBC,故DF为 高考中的立体几何通常是以同学们熟知 点D到平面PBC的距离。 的空间几何体作为背景，命题设问相对稳定， 由等面积法知PD·BD=PB·DF,即 因此，在复习时，要积累常见的儿何模型，总 DF=PD·BD_2322 结典型问题的求解方法，在训练过程中重视 二，故点D到平 PB √7 7 逻辑推理能力的培养，才能突破立体几何的 难点，在高考中做到以不变应万变。 面PBC的距离为22红 3.活用思想，尝试一题多解 思路2（综合法—等体积法）：设点D 在复习中要提升认识问题、理解问题、分 到平面PBC的距离为d,由(1)知BC⊥BD, 析问题的能力，学会运用数学思想方法求解 BC⊥PB,PB=√7。 问题，落实通性通法，尝试一题多解，优化解 因为VP-xD=VDPe,即S△BD·PD= 题思路。例如，求解空间角与距离问题时，可 S△Px·d,即BC·BD·PD=BC·PB· 以从代数与几何两个角度入手，既能培养数 d,所以d= BD·PD=2WE_2V2I 学运算能力，又能提升空间想象能力、化归与 ,故点 PB √7 7 转化能力，开拓数学视野，提高复习效率。 (责任编辑王福华) D到平面PBC的距离为2T 7 11