1 数列综合问题分类精析与突破策略-《中学生数理化》高考数学2025年11月刊

超氯学格新月中学生款理化 数列综合问题分类精析与突破策略 ■广东省深圳市南头中学 田彦武 教育部教育考试院最新发布的2026年 2n十6，两式相减得Sm+1一S。=3(Sn一Sn-1) 高考数学试题分析中，特别强调要注重数学 一2，即am+1=3an一2，所以am+1一1=3(am 知识的融会贯通，试题将在知识网络的交汇 1)(n≥2)。 点处设计，既推动各分支知识的纵向延伸，也 又a1=4,a2=10,a2-1=3(a1-1)成 加强分支间的横向拓展。数列作为高中数学 的核心内容与高考考查重点，近年来其命题 立，故+11 a,-1=3对任意的n∈N均成立。 趋势已逐渐转向与其他知识的交叉融合，着 所以数列{am一1}是以a1一1=3为首 重考查同学们的分析问题与综合应用能力。 项，q=3为公比的等比数列，所以am一1= 这类题目往往综合性强、涉及知识点多且情 3×3”-1=3”。 境新颗，成为同学们复习备考的一大难点。 所以an=3”十1。 本文将通过深人剖析数列与导数、解析几何、 (2)对函数f(x)=a1x十a2x2十…十 概率及新定义等知识相结合的典型例题，归 am-1x”-1十ax",求导得f'(x)=a1十2a2x 纳数列综合问题的解题方法与策略，帮助同 十…十(n-1)am-1x”-2十na.x"-1 学们厘清思路、突破难点。 所以f'(1)=a1十2a2十十(n一1)am- 一、数列与导数结合 +na,=(31十1)+2(32+1)十…+ 数列与导数的结合题，常涉及数列的相 (n-1)(3"-1+1)+n(3"+1)=(3+2×3”+ 关知识与函数的单调性、最值等的综合应用。 3×3+…十n×3")+(1十2+3+…+n)。 解题关键是通过构造函数，利用导数分析函 令Tn=3+2×32十…+(n-1)·3"-1十 数性质，进而解决数列中的比较大小、恒成立 n·3”,则3Tn=32+2×33+…+(n-1)·3" 等相关问题。 十n·3+1,两式相减得一2Tn=3十32十… 例1已知数列{an〉的前n项和为 Sn,满足Sn+1=3Sm-2n十4，且a1=4。 +3-n·g1=3g2-n·3t 1-3 (1)求数列{an}的通项公式an; 3"+1-3 (2)令函数f(x)=a1x十a2x2十…十 2 -n·30+1。 a,-1x”-I+anx",n∈N,试讨论f'(1)与 所以T,=2n二1)·3+1 4 8m2+11n一3的大小关系： 4 4 故f'1)=T,+n十-2n-1)·3 2 4 3)若对任意的n∈N,(1+) +3+n2+n 4 29 (1+）.…(1+）<m恒成立，求正整 a 所以(1)一 8n2+11n-3 数m的最小值。 4 解析：(1)当n=1时，有S2=3S1十2，且 2n-)·3+3+2+2-8m2+11n-3 4 2 4 S1=a1=4,所以S2=14,故a2=S2-a1= _3(2n-1)[3”-(n十2)] 10。 因为Sn+1=3S,一2n十4，所以当n≥2 时，有Sn=3Sn-1-2(n-1)十4=3Sm-1一 当n=1时，易知f'1)=8n十11n一3】 4 3 中学生表理化架学州衡幸新白 当n≥2时，有2n-1>0,从而3"+1 化，然后用错位相减法解出F'(1),再通过作 (n+3)-3”+(n十2)=2·3”-1>0，所以 差分析单调性比较大小；第(3)问利用经典不 {3”一(n十2)}是单调递增数列，即有f'(1) 等式ln(1十x)≤x进行放编，结合等比数列 >8n+11n-3 求和与单调性确定界值，其中取对数转化是 4 核心技巧。另外，导数在数列不等式中的工 (3)令函数g(x)=x-1-lnx,求导得 具作用突出，尤其在放缩与单调性分析时，需 g'(x)=1- 1=-1 要同学们熟练掌握切线放缩（如x一1≥l1nx, e≥x十1等)和函数构造技巧。 令g'(x)>0,得x>1; 令g'(x)<0,得0<x<1。 二、数列与解析几何结合 所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，在 数列与解析几何的结合题是高考的热点 题型。这类题目往往呈现出立意新、角度活、 (1,十∞)上单调递增，故g(x)mm=g(1)=0。 所以g(x)≥g(1)=0,即x-1≥lnx, 思维跨度大、综合性强等特点，具有一定的思 故ln(1十x)x(当且仅当x=0时取等 辨性和挑战性，对同学们综合运用数学知识 分析和解决问题的能力要求比较高。 岗2巴如第网5：若+若-1a 所以1(1+）<3,1n1+)< 6>0)的离心率e= 29 京，n(1+2）。 (1)若椭圆E过点(2，√2)，求椭圆E的 所以n(1+)+1n(1+)+…+ 标准方程。 (2)若直线l1,l2均过点P(pm,0)(0 1 ) pn<a,n∈N)且互相垂直，直线l1交椭圆 1-3 E于A,B两点， 直线，交椭圆E 2(1-子)<2-1nE,即(1+)·(1+ 于C,D两点，M, N分别为弦AB ）…(1+）。 和CD的中点，直 线MN与x轴交 设6，=(1+).(1+)…(1+ 于点Q(tn,0),如 2)≥0，则有分=1十2>1，所以6>6 图1 an+i 周1，设A 故，是单调递增数列，且(1+)· ①求tn; ②记an=|PQ,求数列{ 的前n项 (+出)+)≥1+品是 和Sn。 所以正整数m的最小值为2。 点评：本题以递推数列为背景，结合函数 解析：(1)由e= √2 a ,a=b+c2,可 导数工具解决不等式问题。第(1)问通过常 得a2=2b2。 规的通项与前n项和的关系得出递推关系 am+1=3an一2，然后构造等比数列求通项，需 又椭圆E过点(22)，则。+后-1 注意验证初始项（如验证a2一1=3(a1一1）是 1a2=2b, 否成立)，否则易失分；第(2)问先通过求导转 联立 42 解得a=2√2，b=2,故 a 61, 知识篇科学备考新指向 高三数学2025年11月 中学生数理化 椭圆万的标准方程为后+芳-1。 项为9，公比为3的等比数列。 1 9(1-3") (2)①若直线l1,l,中一条直线的斜率不 故数列 的前n项和S。= 1-3 存在，另一条直线的斜率为O,则直线MN与 = x轴重合，不符合题意，故直线1，l2的斜率 2(3-1). 均存在且不为0。 点评：本题以椭圆弦中，点性质为几何载 设直线L1的方程为y=k(x一p,)(k卡 体，生成，点列并求距离数列的和。第(1)问基 0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM), 础简单；第(2)问的第①小问通过弦中，点坐标 N(xN,yN)。 公式（韦达定理应用）和三点共线条件求tn, y 计算量较大，需细心处理斜率参数消元；第② 联立26+6=1， 消去y整理得(1+ 1 小问利用几何关系得到a,=3是突破点， y=k(x一pn), 2k2)x2-4k2pnx+2k2p员-2b2=0。 转化为等比数列求和即可。同学们在斜率讨 因为直线1交椭圆E于A,B两点，所 论时易遗漏“两条直线斜率均存在”的条件，导 Ak'Pn 致点Q坐标求解错误，需要注意这些细节。 x1十x2 1+2k 三、数列与概率结合 以△>0，且 2k2p元-2b2 数列与概率的结合题，常以概率递推为 x1x2= 1十2k2 背景，通过建立概率或期望的递推关系，转化 2k2Pn 为数列通项或求和问题。解题需结合概率的 TM- 所以 1+2k2, 基本性质与数列的递推公式、数列中的构造 一kpn 方法等求解。 yM= 1+2k2 例3“冰雪同梦，亚洲同心”，2025年 TN- 2pn 2十k2, 第九届亚冬会在哈尔滨举办，本次赛事共有 同理可得 kpn 6个大项，11个分项，64个小项，有来自34 yN= 2十k2 个国家和地区，1200多名运动员参赛，是 因为M,N,Q三点共线，所以kMN= 场令人回味无穷的冬季体育盛会。亚冬会圆 a,即N二M=yN，,则yN(xN-x) 满结束后，某校团委组织学生参加与亚冬会 IN-IM EN-t 有关的知识竞赛。为鼓励学生积极参加此项 (yN-yM)(xN一tm)。 活动，比赛规定：答对一题得2分，答错一题 得1分，选手不放弃任何一次答题机会。已 易知yN一yM≠0，则tn xMyN一xNyM yN一yM 知小明报名参加比赛，每道题回答是否正确 2k'pn kp 2pn 一kp 相互独立，且每次答对的概率不一定相等。 1+2k·2十k 2十k2· 1十2k22pn 3。 (1)若前三道试题，小明每道试题答对的 kp 一kpn 2十k21十2k9 概率均为p。 2 因为p。= 3,所以，=2 3m+1。 ①设力=三，记小明答完前三道题的得分 ②结合①可知an=|PQ|=|pn一tn|= 为X,求随机变量X的分布列和数学期望； 12 33”+ 3,则3 ②若小明答完前四道题得8分的概率为 1 8,求小明答完前四道题时至少答对三道题 1 因为 3+2 37=3,所以数列 1 的概率的最小值。 1 〉是首 an (②)若小明答对每道题的概率均为了，因 5 中学生表理化架学州幸新 为小明答对第一题或前两题都答错，均可得 到两分，称此时小明答题累计得分为2，记小 明答题累计得分为n的概率为P,求数列 (2)依题意得卫=子P,=子+（侵） 2 {P,}的通项公式。 解析：(1)①由题意可知，随机变量X的 3 -Pm-0 可能取值为3,4,5,6。 所以P,一P-1=一(P。1一P2),且 所以P(X=3)=(）》广=7 3 P-P-。,所以(P-P,}是首项为行， 1 P(x=4)=C×号×()-号 4 公比为-号的等比数列，放P,1一P,=日× P(X=5)= (-)-()”. 由累加法得Pn一P,=(P2一P1)十(P, 所以随机变量X的分布列如表1所示： 表1 卫)+…+D,-卫)=(3)广+(-3) X 3 5 6 2 *(- P 27 9 9 27 1+图 所以E(X)=3× 2 27 十4× +5× 解得卫，=+（吉）广即为所求。 点评：第(1)问的第①小问考查二项分布 8 6×7=5. 的基础问题；第②小问通过全对概率反推第 ②因为前四道试题得8分，即全对的概 四题的正确率，然后构造函数∫(p)=力3十 率为，所以第四道试题答对的概率为 27力一27，并通过求导讨论单调性去求最小 1 1 值。解答第(2)问的关键是通过分析得分规 81p3 所以小明答完前四道题时至少答对三道 则得到板单递推式卫，=号P,十P。香 想的既家为f()=司十(-分)十 构造等比教列卫.-P=一子(P1-P) 81p力3+11 求通项，其中用到了典型的累加法，同学们务 1 Cp(1-p)· 27p27 必要熟练掌握这些基本知识和基本方法。 1=81p'-1 四、数列与新定义结合 则f'(力)=3p2一 27 27p2 数列与新定义的结合题是高中数学中极 (3p-1)(3p+1)(9p”+1) 具创新性和灵活性的一类题型。这类题目往 27p 往突破传统数列的考查模式，通过创设全新 故当0<p<3时，f'(p)0,函数f(b) 的问题情境，定义具有特定性质的“新数列”， 或赋予数列项新的运算规则，要求同学们在 单调递波：当写<力<1时，(p)>0,函数 短时间内理解新定义的内涵，提炼其数学本 ∫（饣）单调递增。 质，并将其与已学的数列知识建立联系，进而 所以f(p)=f(兮)-弓，即小明答完 解决新问题。这类题目不仅考查同学们对数 列基础知识的掌握程度，更侧重考查同学们 前四道题时至少答对三道题的概率的最小值 的抽象概括能力、知识迁移能力和创新思维 程氯学学意费新指肉中学生凝理化 能力，也是命题者比较青睐的命题方向。 1}的所有交错数列的个数A,-1。 例4对于一个递增正整数数列{an}, 因为数列a1,a2,…,am是递增数列，所 如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称 以数列b1,b2,…,bm-1与数列a2,a,…,am 它是一个交错数列。规定只有一项且是奇数 之间一一对应。 的数列也是一个交错数列。将每项都取自集 又因为a1=1,所以数列a1,a2,…,am 合{1,2，…，n}的所有交错数列的个数记为 (m≥2)的所有交错数列的个数为A,-1。 A,。例如，当n=1时，取自集合{1}的交错 综上所述，An=A-1十An-2十1(n≥3)。 数列只有1一种情况，则A1=1;当n=2时， A,=A2十A1十1， 取自集合{1,2}的交错数列有1；1,2，共两种 A1=A3十A2十1， 当n≥3时，由 累 情况，则A2=2。 … (1)求A:和A1的值； An=An-1+A.-2十1， (2)证明：取自集合{1,2，…，n}(n≥3) 加得Sn一A2一A1=Sm-1-A1+Sm-2十n-2。 的首项不为1的交错数列的个数为A,-2； 因为A1=1,A2=2,所以Sn-?=Am一n (3)记数列{An}的前n项和为Sn,求使 (n≥3)。 得Sm>2025成立的n的最小值。 由A,=Am-1十A,-2十1及(1)得A:= 解析：(1)当n=3时，取自集合1,2,3} 12,…,A13=609,A1=986,A15=1596, 的交错数列有1；3；1,2；1,2,3，共四种情况， A6=2583,显然{Sn}单调递增。 因此A3=4。 因为S13=A5一15=1581，S14=A6 当n=4时，取自集合{1,2,3,4}的交错 16=2567,所以S1a<2025<S11。 数列有1；3；1,2：1,4；3,4；1,2,3；1,2,3,4， 所以使得S,>2025成立的n的最小值 共七种情况，因此A,=7。 为14。 (2)设数列a1,a2,…,am是取自集合{1， ,点评：本题创新定义“交错数列”，考查递 2,…,n的交错数列。 推思想，难度相对较大，考查同学们的综合数 因为a1≠1且是奇数，所以a1≥3，构造 学素养。第(1)问直接枚举得A3=4,A1=7; 数列b,=a;-2,i=1,2,…,m,则b,∈{1,2， 第(2)问通过平移变换b,=a,一2将首项大 …,n一2}，此时数列b1,b2,…,bm的个数是 于等于3的数列映射到集合{1,2，…，n一2}， 取自集合{1,2，…，n一2}的所有交错数列的 是组合计数的经典方法；第(3)问通过分类讨 个数A。-2。 论首项是否为1，得到递推式A,=A,-1十 因为数列a1,a2,…,am是递增数列，所 A,-2十1，最终借助递推和累加求Sm,体现了 以对于每一个b,∈{1,2，…，n一2}都有且仅 新定义问题转化为递推关系的核心策略。 有一个a,∈{3,4，…，n}与之对应，所以取自 数列复习备考需以基础为根基，熟练掌 集合{1,2，…，n}(n≥3)的首项不为1的交错 握等差、等比数列的核心公式与性质，这是应 数列的个数为A,-2。 对综合题的前提；同时要聚焦数列与导数、几 (3)设数列a1,a2,…,am是取自集合{1， 何、概率等知识的交叉题型，灵活运用构造、 2,…,n}的交错数列。 放缩、错位相减等方法，强化知识融合能力； 由(2)得，当a1≥3时，所有交错数列的 还要注重提升阅读理解与信息转化能力，能 个数为A-2 从新情境中提炼关键信息并建立数学模型， 当a1=1时，若n=1,则仅有一个交错 且善于借助前问结论启发后问思路，通过针 数列。 对性练习把握知识结合规律，从而突破难点， 若n≥2，构造数列b,-1=a一1(2≤j≤ 提升解题效能。 m),则b,-1∈{1,2，…，n一1}，此时数列b1, (责任编辑王福华) b2,…,bm-1的个数是取自集合{1,2，…，n一