10“沙漏”的项目化学习-《中学生数理化》高考理化2025年11月刊

中学生表理化鳄师丝创新鼻视静 “沙漏”的顶目化学习 ■江苏省南京市金陵中学河西分校 刘小兵 如图1所示，水平桌面上放置 解析：拍照曝光时间内，砂粒可视为做匀 一沙漏，玻璃罐A中的沙子穿过 速直线运动，设曝光时间为t,则痕迹长度 狭窄的管道流入玻璃罐B中，假 l=ut。根据v2=2gh可知，出口下方6cm 设每一粒沙子完全相同且流量恒 处砂粒的速度约是2cm处的√3倍，因此出口 定，判断沙漏的总重力G与对桌 下方6cm处砂粒的痕迹长度约是2cm处的 面压力F的大小关系，需要分四 √3倍，选项A正确，B错误。根据初速度为 个阶段进行讨论：第一阶段，第一 图1 0的匀变速直线运动在连续相等时间内的位 粒沙子还在下落的过程中，所有在 移之比为1：3：5：…可知，从出口下落0一 空中下落的沙子都处于完全失重状态，则 2cm与下落2cm一8cm的时间是相等的， F<G;第二阶段，A、B两玻璃罐中均有沙 因砂粒随时间均匀漏下，故出口下方0 子，在空中下落的沙子都处于完全失重状态， 2cm范围内的砂粒数约与2cm~8cm范围 沙子落到玻璃罐B中的瞬间对B的冲击力 内的砂粒数相等，选项C、D错误。 恰好等于空中所有沙子的重力，则F=G;第 答案：A 三阶段，最后一粒沙子下落的过程中，处于失 重状态的沙子越来越少，则F>G;第四阶 例2沙漏也叫沙钟，是一种测量时间 段，所有沙子均落到玻璃罐B中，则F=G。 的装置。沙漏是根据从一个容器漏到另一个 沙漏问题涉及运动学、动力学、动量等物 容器的沙量来计时的。若近似地认为沙子随 理观点，是很好的项目化学习素材。 时间均匀漏下且沙子下落的初速度为0，不计 主题1：运动学观点 下落过程中沙子间的相互影响和空气阻力。 例1如图2所示是高 已知出口下方0一5cm范围内有100颗沙子， 取重力加速度g=10m/s2。对于还在下落过 中物理必修第一册封面上的沙 物理 程中的沙子，下列说法正确的是( )。 漏照片。同学们发现照片中的 A.出口下方5cm~20cm范围内约有 砂粒在空中时都看不出砂粒本 200颗沙子 身的形状，而是成了条条痕迹， B.假设空中最多有300颗沙子，则沙子 砂粒的疏密分布也不均匀。若 下落的最大距离为0.4m 近似地认为砂粒下落的初速度 图2 C.出口下方0~5cm和5cm~10cm范 为0，忽略空气阻力，不计砂粒间的相互影 围内的沙子数之比约为1：(2一1) 响，假设砂粒随时间均匀漏下，同学们有以下 推断，其中正确的是()。 D.出口下方5cm和10cm处沙子的速 度大小之比为1：2 A.出口下方6cm处砂粒的痕迹长度约 解析：沙子在下落过程中做自由落体运 是2cm处的√5倍 动，从初速度为0开始计时，连续相等时间内 B.出口下方6cm处砂粒的痕迹长度约 的位移之比为1：3：5：…，因出口下方0 是2cm处的3倍 5cm范围固内有100颗沙子，故5cm~20cm C.出口下方0~2cm范围内的砂粒数约 范围内也有100颗沙子，选项A错误。沙子 与2cm~6cm范围内的砂粒数相等 1 D.出口下方0~2cm范围内的砂粒数 下落5cm所用的时间满足h1一2gti,解得 远少于2cm~8cm范围内的砂粒数 t1=0.1s,这段时间内有100颗沙子下落，所 36 驿量热电枫酒中学生表理化 以空中有300颗沙子的下落时间t=3t1= 误。沙子漏出后做平抛运动，沿水平方向做 1 0,3s,则h=2gt=0.45m,选项B错误。 匀速直线运动，地面上沙子的长度等于初始时 刻漏出的沙子与末时刻漏出的沙子在地面上 沙子做自由落体运动，通过连续相等位移所 落点之间的距离，即等于时间t内沙漏的位移 用的时间之比为1：（√2一1），故出口下方 大小，因此若沙漏内的沙子在时间t内落完， 0一5cm和5cm~10cm范围内的沙子数之 则地面上沙子的长度等于ut,选项D错误。 比约为1：（√2-1）：(3一√2)：…，选项C 答案：A 正确。根据=2gh得v=√2gh,故出口下 例4如图4所示，平 方5cm和10cm处沙子的速度大小之比为 面直角坐标系的x轴正方 1:√2，选项D错误。 向水平向右，y轴正方向竖 答案：C 直向下。计时开始时，位于 主题2：动力学观点 原点O处的沙漏由静止出 例3如图3所示，一 发，以加速度a沿x轴正方 图4 个沙漏沿水平方向以速度 向做匀加速运动，此过程中 )做匀速直线运动，沿途连 沙子从沙漏中漏出，每隔相等的时间漏出相 续漏出沙子，单位时间内漏 同质量的沙子。已知重力加速度为g,不计 出的沙子质量恒为Q,出沙 空气阻力及沙子漏出瞬间相对沙漏的初速 口距水平地面的高度为H。 图3 度。下列说法正确的是()。 忽略沙子漏出瞬间相对沙漏的初速度，沙子 A.空中相邻的沙子在相等时间内的竖 落到地面后立即停止，不计空气阻力，已知重 直间距保持不变 力加速度为g,在已有沙子落地后的任意时 B.空中相邻的沙子在相等时间内的水平 刻，下列说法正确的是( 间距保持不变 A.每颗沙子在空中的运动轨迹均是一 C.t。时刻漏出的沙子在t(t>t。)时刻的 条抛物线 位置坐标是(aet-a,g-t)月 B.若将沙漏以速度水平抛出，则漏出 的沙子在空中形成的几何图形是一条竖直的 D.t。时刻漏出的沙子在t(t>t。)时刻的 直线 位置坐标是（分a+)户，&1-t,)） 1 C.每颗沙子从漏出开始计时，t时刻与 解析：漏出的沙子沿竖直方向做自由落 1 地面间的高度h一2gt 体运动，则空中相邻的沙子在相等时间内的 D.若沙漏内的沙子在时间t内落完，则 竖直间距不断增大，选项A错误。漏出的沙 地面上沙子的长度大于t 子沿水平方向做匀速直线运动，但因为沙子 解析：由于惯性，每颗沙子漏出的瞬间具 在漏出前随沙漏一起做匀加速运动，所以空 有一个水平向右的初速度，沙子做平抛运 中相邻的沙子沿水平方向的初速度不相等， 动，在空中的运动轨迹为一条抛物线，选项A 在相等时间内的水平间距也不相等，选项B 正确。若将沙漏以速度水平抛出，则沙漏 错误。根据匀变速直线运动的规律可知，t。 处于完全失重状态，沙漏中的沙子将不会漏 时刻漏出的沙子具有水平初速度v。=at。,沙 出，沙子在空中始终随沙漏一起做平抛运动， 子随沙漏一起做匀加速运动产生的位移x= 选项B错误。每颗沙子从漏出开始计时，t 2at,沙子漏出后做平抛运动，t一t。时间内产 时刻下落的高度A,=子g,此时其与地面间 生的水平分位移x1=o(t一t。),竖直分位移 的高度M=H一h。=H一多g,选项C错 y三之g(t一t),所以t0时刻漏出的沙子在t 37 中学生表理化邵创新降视静 时刻的位置坐标是(a,t一a,g(一1，） 1 流量m。kg/s流进放在秤 显示屏 上的容器中。当秤的示数 阀门 选项C正确，D错误。 达到顾客所要求的数量时， 答案：C 关闭阀门，切断米流。米流 例5（多选题）如图5 在出口处的速度很小，可视 所示，在离地一定高度处，一 为零。对上述现象，买卖双 777777 个沙漏水平向右做直线运动， 方引起了争论。买方认为： 图7 沿途连续漏出沙子，若不计空 米落到容器中时有向下的 气阻力，则下列关于空中沙子 2177777777777777777777 冲力而不划算；卖方则认为：当达到顾客所要 排列的几何图形的说法正确 图5 求的数量时，切断米流，此时尚有一些米在空 的是()。 中，这些米是多给买方的。请谈谈你的看法， A.若沙漏做匀速直线运动，则空中的沙 并根据所学知识给出合理的解释。 子排成图6中甲形状 解析：米粒的流量为m。kg/s,它是恒定 B.若沙漏做匀速直线运动，则空中的沙 的，关闭阀门就可以在出口处切断米流。若 子排成图6中乙形状 切断米流时，容器中的那部分米的质量为 C.若沙漏做匀加速直线运动，则空中的 m1,空中的米的质量为m2,米对静止在容器 沙子排成图6中丙形状 中的米堆的冲击力为F,则刚切断米流时，秤 D.若沙漏做匀加速直线运动，则空中的 安数M=m1十卡。取一小段时间△t 沙子排成图6中丁形状 运动方向一 运动方向一 运动方向一 刚落到米堆上的一部分米为研究对象，这部 运动方向一 分米的质量△m=m。△t,设这部分米落到米 堆前的速度为v,经过时间△t静止，其受力 情况如图8所示，因为△t很小，所以tF 丙 △m很小，即△mg≤F,可忽略不计， 取竖直向下为正方向，根据动量定理 图6 得一F△t=0一△m·v,不妨设米从出 解析：若沙漏做匀速直线运动，则由于惯 △mg 口落到容器中米堆的时间为t,则 性，每颗沙子漏出的瞬间具有与沙漏相同的 图8 速度，沙子在沙漏正下方排成一条竖直的 m2=mot,又有v=gt,所以F=m2g, 直线，选项A正确，B错误。若沙漏做匀加速 所以切断米流时，秤的读数M,=m, g 直线运动，则以沙漏为参考系，沙子沿水平方 向向左做初速度为零的匀加速直线运动，沿 m1十m2。可见，买卖双方的说法都不正确， 竖直方向做自由落体运动，合加速度恒定，沙 用自动称米机称米，读数是准确的，不存在谁 子在空中排列在一条斜向左下方的直线上， 划算谁不划算的问题。 选项C错误，D正确。 例72021年，在“嫦娥七号”任务科 答案：AD 普试验载荷创意设计征集方案中，四位渐浙江 主题3：动量观点 大学的学生打算将沙漏实验搬上月球。 有关自动称米机的问题，生动有趣。剖 (1)如图9所示，沙漏计时器由上下两个 析关于“米多米少”争论的物理学裁量，从自 大小相同、相互连通、底面互相平行的圆锥组 动称米机联想到沙漏，可以更加深刻地理解 成，细沙匀速流下，上面圆锥中的细沙全部流 沙漏中的动量问题。 下恰好需要1min,则上面圆锥中的细沙高度 例6自动称米机（如图7所示）已被 下降一半所需的时间是( )。 广泛使用。称米时，打开阀门，米粒就以恒定 A.7.5s B.30s 38 部绳业暂腰视开中学生表理化 C.45s D.52.5s 的质量变化率离开上面的容器。请画出（定 (2)对于沙漏计时的理论模 量标明)在t≥0的全部时间内关于秤的读数 型，荷兰物理学家Beverloo曾提 的图像。 出过一个经验公式，单位时间内 解析：沙子由上面的容器流到下面的容 流出的沙子质量”与沙子的密 △t 器所用的时间t1一√g ,沙子碰到下面的容 图9 度p、重力加速度g、沙漏开口的 器前的速度v=√2gh。 横截面积A有关，即=CpgA',式中C、 (1)在沙子开始下落到沙子开始碰到下 a、B、Y均为无单位的常数，试求出a、B、y的 面容器底部前的一段时间内(0≤t<t1),秤 数值。 的读数F1=(M十m)g一kgt。 (3)若仅考虑重力加速度对沙漏的影响， (2)从沙子开始碰到下面容器直到全部 已知g-日g,则将一个计时时长为1min 沙子离开上面容器的一段时间内(t1≤t≤t2, 其中：安为全部沙子离开上面容器所用的 的沙漏带上月球，计时时长会变为多少？ 解析：(1)根据圆锥的体积公式V国= 时间)，沙子对容器的作用可分为两部分，一 是静止在容器中的沙子因重力作用而对容器 3S度h可知，当上面圆锥中的细沙高度下降 产生的压力，二是下落的沙子在与容器碰撞 一半时，剩余细沙还是圆锥，且底面半径与高 过程中对容器的作用力（等于空中沙子的重 度是原来的一半。设上面圆锥中的细沙没下 力)，所以秤的读数F2=(M十)g。 降时底面半径为r,高度为h,则V原来= (3)从沙子全部离开上面容器直到全部 号h,Ve=3(台）'×合=h,因此 1 到达下面容器底部的一段时间内(t,≤t≤ t2十t1),秤的读数Fg=F2十kg(t一t2)= 细沙体积的减少量△V=V隙来一V剩象= (M+m)g+kg(t-t2)。 24,h,则细沙高度下降一半所用的时间 (4)沙子全部落到下面容器中后，秤的读 数F1=(M十m)g。 △V t1一V原米 ×60s=52.5s。故选D 综合上述四个过程的分析可知，秤的读 数与时间的关系图像如图11所示。 (2)采用量纲法。公式 △t =Cp°gA满 tF (M+m)g+k/2gh 足单位关系kg=kg·m2+y m0.s,则a=1,g+ (M+m)g 2y=3a,23=1,解得a=1,3=0.5,Y=1.25。 (3)因为沙漏的速度与重力加速度成正 (M+m)g-k/2gh 比，时间与速度成反比，所以时间与加速度成 /2h 反比，所以将一个计时时长为1min的沙漏 + 带上月球，计时时长会变为6min。 图11 例8如图10所示，将一 总结：具有流动特征的物体（如米粒、沙 个沙漏置于台秤上，初始时刻所 子、光子等)间的连续作用问题，通常以作用 有沙子都位于上面容器中，上下 处的“微元”为研究对象，运用动量定理处理， 两容器的总质量为M,容器中 而不运用动能定理分析，这是因为在物体相 沙子的质量为m。t=0时刻， 互作用过程中隐含着机械能的损失。另外， 沙子被释放，以”=（常数） 在沿竖直方向的情景分析中，应忽略“微元” △t 图10 的重力。 (责任编辑张巧) 39