9 例谈计算变力做功问题的常用方法-《中学生数理化》高考理化2025年11月刊

部量业腰孩方清中学生表理化 例谈计管变力做问题的常用方法 ■湖南省邵阳市第三中学 王雄雄 功是能量转化的量度，做功的过程是能 量转化的过程，做功的多少体现出能量转化 的多少，因此分析与求解功能关系问题需要 熟练掌握功的计算方法。计算恒力做的功通 m☐. 常应用公式W=Flcos a,而计算变力做的功 A 往往需要采用一些行之有效的巧妙方法。下 图1 面介绍五种常见的求解变力做功的方法，供 解析：轻绳拉力的大小始终等于水平恒 同学们参考。 力F,但方向发生变化，因此求变化的轻绳拉 方法一：转化研究对象，化变力为恒力 力做的功不能直接用公式W=Flcos a求解。 若物体在跨过定滑轮的轻绳拉力作用下 因为轻绳拉力对小物块做的功等于水平恒力 运动，轻绳的拉力是变力，求变化的轻绳拉力 F做的功，所以转化研究对象，将轻绳拉力对 对物体做的功，则可以转换研究对象，先将变 小物块做的功转化为水平恒力F做的功，就 力做功转化为恒力做功，再用求恒力做功的 可以直接用公式W=Flcos a进行计算。 公式W=Flcos a进行计算。 因为小物块从A点运动到定滑轮O所 例1（多选题）如图1所示，轻绳一 在位置处的过程中，水平恒力F的作用点移 端受到大小为F的水平恒力作用，另一端跨 动的距离x=2lcosθ，所以水平恒力F做的 过定滑轮O与质量为的小物块（可视为质 功Wx=Fx=2 Flcos日。因为轻绳拉力对小 点)相连。初始状态下，小物块位于水平面上 物块做的功等于水平恒力F做的功，所以 的A点，定滑轮。左侧轻绳与水平方向间的 W,=Ws=2 Flcos日，选项A错误，B正确。 夹角为0，已知水平面上的A点与斜面底端 根据几何关系可知，斜面的倾角为28，所以 B点之间的距离为(，斜面底端B点与定滑 小物块沿斜面运动过程中受到的摩擦力f= 轮O之间的距离也为(，小物块与水平面、斜 umg cos28,克服摩擦力做的功W,=fL= 面之间的动摩擦因数均为以。小物块在轻绳 umglcos20,选项C正确，D错误。 的拉动下先沿水平面从A点移动到B点，再 答案：BC 沿斜面从B点移动到定滑轮。所在位置处 点评：根据题设条件通过转化研究对象， (小物块与定滑轮O不碰撞)。若小物块从 将变力做功问题转化为恒力做功问题，采用 A点运动到定滑轮O所在位置处的过程中， 恒力做功的公式W=Flcos a进行计算，不仅 轻绳拉力对小物块做的功为W,,小物块沿斜 通俗易懂，而且可简化解题过程，达到快速求 面运动过程中克服摩棕力做的功为W,则下 解问题的目的。 列关系式正确的有()。 方法二：巧用微元法，化曲为直 A.Wr=Fl(cos 0+1) 若物体受到大小不变而方向改变的外力 B.Wr=2Flcos 0 作用做曲线运动，求变力对物体做的功，则可 C.W:=umglcos 20 以将物体的位移分割为极小的微元，先将变 D.W,=Fl-mglsin 20 力做功转化为微元上的恒力做功，再求其代 33 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高中理化2025年11月 数和，得到最终结果。 C.7.5×10J D.5.5×10J 例2如图2所示，长度 解析：因为汽车所受牵引力的大小与行 l=1m的轻绳一端固定在光 驶路程的变化关系为F=1×103x+f。,即F 滑水平桌面上的O点，另一端 随x线性变化，所以在汽车行驶距离为x的 系一质量m=2kg的小球。现 过程中牵引力做的功可视为平均牵引力F做 对小球施加一个沿桌面大小不 图2 的功。 变的力F=10N,力F拉着小球在水平桌面 根据题意知汽车所受阻力f。=0.05× 上做圆周运动，力F的方向保持任何时刻均 1×10×10N=5×103N,平均牵引力F= 与小球的运动方向相同。小球在水平桌面上 5×103+(100×10+5×10)N=5.5× 完成一周的圆周运动，力F对小球做的总功 2 为()。 101N,因此牵引力做的功W=Fx=5.5× A.0 B.20πJ 101×100J=5.5×10J。 C.10J D.20J 答案：D 解析：因为力F的方向保持任何时刻均 点评：利用平均力下=F十F求变力做 2 与小球的运动方向相同，所以把圆周划分成 功仅适用于物体所受变力是位移的线性函数 无限多小段，在每一小段上，力F都可视为 的特殊情况，且式中的F1为物体在初状态下 恒力。 受到的力，F,为物体在末状态下受到的力。 将小球的圆周运动轨迹分割为足够小的 方法四：利用F-x图像，借助“面积”求 段，则在各小段的弧长△l,内力F的方向可 变力做的功 视为与小球的位移△l,的方向一致，因此力 若题目已经给出物体在变力F作用下 F做的总功W=F·△l1十F·△l2十F· 的F-x图像或根据题意可以作出物体的F-x △lg十…=F·2πl=20πJ。 答案：B 图像，则可以根据F-x图像与坐标轴所围成 的图形的“面积”表示力做的功，间接求出变 点评：本题中的力F大小不变，方向时 力F做的功。需要注意的是“面积”是有正 刻发生变化，不能直接应用恒力做功的公式 负的，在x轴上方的“面积”为正，表示力F W=Flcos a代入l=0得出W=0,而应该采 做正功，在x轴下方的“面积”为负，表示力F 用微元法，化曲为直，化变为恒，得到力F做 做负功。 的功W=Fs,其中s为小球通过的路程。 方法三：借助平均值，求线性变力做的功 例4如图3甲所示，静止在光滑水平 若物体受到方向不变而大小随位移线性 地面上O点的小物块（可视为质点），在水平 变化的外力作用做直线运动，求变力对物体 拉力F作用下向右运动，以O点为坐标原 做的功，则可以用平均力下一F十E昔代公 点，以水平向右为x轴正方向建立直线坐标 2 系，拉力F的大小随物块所在位置坐标x的 式W=Flcos a中的F进行计算。 变化关系如图3乙所示，其中x轴上方半圆 例3一辆质量m=1×10kg的汽 的直径是下方4圆直径的2倍。在物块由原 车，从静止开始沿平直公路行驶，其所受阻力 f。恒为车重的0.05倍，所受牵引力的大小 点O运动到坐标为x。处的过程中，力F做 的总功为( )。 随它行驶路程的变化关系为F=1×103x十 f。,取重力加速度g=10m/s2。在这辆汽车 A.0 B.F. 行驶距离x=100m的过程中，牵引力做的 功为( ）。 C. D.年x A.1×10J B.1.1×10J 解析：水平拉力F的大小时刻发生变 34 部量业经腰要孩方清中学生表理化 1F/N 动的过程中，拉力F的方向不变，而大小时 刻变化，拉力F做正功，小球的重力做负功， 小球的动能保持不变，根据动能定理得W mgl(1-cos0)=0,解得Ws=mgl(1 甲 cos8)。 图3 答案：B 化，根据F-x图像与坐标轴所围成的图形的 例6如图5所示，倾 面积表示力F在这段位移内所做的功，可以 角0=37°的光滑斜面底端固 将求变力F做的功转化为求图形的面积。 定一挡板，轻质弹簧一端与 因为在x轴上方的“面积”为正，表示力F做 挡板拴接，另一端自由伸长 正功，在x轴下方的“面积”为负，表示力F 时位于D点，质量m=2kg 图5 做负功，所以力F做的总功W=S=R 的小物体（可视为质点），从斜面上的A点以 初速度w。=5m/s下滑，在D点与弹簧接触 πF8 _7·F。· 并将弹簧压缩到B点时的速度减小为零。已 4 16 16 知A、B两点间的距离l=5m,取重力加速 度g=10m/s2,sin37°=0.6，则弹簧弹力对 5 物体做的功为()。 答案：B A.125J B.85J 点评：图像是数与形、动与静、抽象与形 C.-125J D.-85J 象、数学与物理相结合的产物，能够直观地描 解析：因为斜面光滑，所以物体沿斜面下 述物理过程，形象地表述物理规律，便捷地揭 滑压缩弹簧的过程中，由物体和弹簧组成的 示物理量之间的关系。本题是一道看似复杂 系统机械能守恒。物体在压缩弹簧的过程中 的变力做功问题，然而借助直观形象的图像， 受到的弹簧弹力是变力，对物体做负功，弹簧 将变力做功问题转化为求解图形“面积”的问 的弹性势能曾加，物体的动能和重力势能均 题，就会简单明了。 减少，且物体克服弹簧弹力做的功与弹簧弹 方法五：依据功能转化关系，应用动能定 性势能的增加量相等。 理或机械能守恒定律求变力做的功 取B点所在平面为重力势能的零参考 若已知物体在初、末位置的速度，且除待 面，D点为弹簧弹性势能的零参考点，当物体 求变力做的功外其他力做的功较易计算，则 位于斜面上的A点时有E4=nglsin日十 可以应用动能定理W=△Ek求变力做的 功；若物体只受变化的重力或弹力作用，满足 2mu,当物体到达B点时有E。=一W,根 机械能守恒定律，则可以应用机械能守恒定 据机械能守恒定律得E4=EB,解得W= 律求变力做的功。 -85J. 例5如图4所示，质量为 答案：D m的小球用长度为l的细线悬挂 点评：动能定理和机械能守恒定律是力 在天花板上，现用水平拉力F缓 学能量观中的两个重要规律，动能定理适用 慢地将小球拉到细线与竖直方向 于变力做功和曲线运动的情况，机械能守恒 成日角的位置。在此过程中，拉 定律适用于只有重力或弹力做功的物体系 图4 力F做的功为( )。 统，因此在研究对象满足动能定理或机械能 A.mglcos 0 B.mgl (1-cos 0) 守恒定律的前提条件下，可以应用动能定理 C.mglsin 0 D.FL(1-cos 0) 或机械能守恒定律列式求解变力做的功。 解析：小球在水平拉力F作用下缓慢移 (责任编辑张巧) 35