第07讲 平面向量及正余弦定理（复习讲义）（广东小高考专用）2026年春季高考数学

第07讲 平面向量及正余弦定理 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 5 考点一 平面向量的概念 5 考点二 平面向量的线性运算 5 考点三 平面向量基本定理（重） 6 考点四 平面向量的坐标运算 7 考点五 平面向量的共线问题 8 考点六 平面向量数量积及垂直（重） 9 考点七 平面向量的夹角及模（重） 10 考点八 投影向量（难） 11 考点九 余弦定理（重） 11 考点十 正弦定理（重） 12 考点十一 余弦定理、正弦定理的应用（难） 13 实战精练与提升 14 考情解读 一、考试要求 1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念、两个向量相等的含义，掌握向量的几何表示。 2、掌握平面向量的加法、减法及数乘运算，理解其几何意义与线性运算性质，明确两个向量共线的含义。 3、了解平面向量基本定理，掌握正交分解及坐标表示，会用坐标进行向量加减、数乘运算，理解坐标表示的共线条件。 4、理解平面向量数量积的含义、物理意义及与投影的关系，掌握其坐标表达式与运算方法，能运用数量积求夹角、判断垂直。 5、会用向量方法解决简单平面几何、力学及其他实际问题。 6、掌握正弦定理、余弦定理，能解决三角形度量及相关测量、几何计算问题。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 平面向量的线性运算 5年1考 平面向量的加、减、数乘运算 预测2026年在选择题中考查加、减、数乘运算 平面向量基本定理 5年1考 基底的表示 预测2026年在填空题中考查向量的表示 平面向量的坐标运算 5年3考 平面向量的加、减、数乘运算的坐标表示 预测2026年在选择或填空题中考查加、减、数乘运算的坐标运算 向量共线 5年2考 已知向量共线求参数 预测2026年在选择题中考察三点共线 平面向量的数量积 5年4考 求平面向量的夹角、模、垂直 预测2026年在填空题中考察投影向量 正余弦定理 5年5考 解三角形 预测2026年在解答题中考察解三角形 知识梳理 知识点1、向量的有关概念 名称 定义 表示方法 注意事项 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量或； 模或 平面向量是自由向量 零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作 零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 常用表示 非零向量的单位向量是 平行向量 方向相同或相反的非零向量 与共线可记为 与任一向量平行或共线 平行向量又叫共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 知识点2、向量的线性运算 向量运算 定　义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 （1）交换律： （2）结合律： 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， ； ； 知识点3、共线向量定理及平面向量基本定理 共线向量定理：向量与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 平面向量的基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 知识点4、平面向量的坐标运算 1.向量加法、减法、数乘运算及 设，则 2.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设，则 3.平面向量共线的坐标表示 设则 知识点5、平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念 已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中是与的夹角. 【注】零向量与任一向量的数量积为0. 投影向量：①定义：如图，设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量是. 知识点6、平面向量数量积的运算律 已知向量和实数,则 交换律 ； 数乘结合律 ； 分配律 . 知识点7、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质 设非零向量，是与的夹角， （1）数量积：；（2）模：. （3）夹角： （4）垂直与平行：； （5）设向量，θ为向量的夹角. 数量积 模 夹角 两非零向量的充要条件 考点精讲 考点一 平面向量的概念 解题策略 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题. 例1．（2024·25高三上·广东惠州·期中）如图所示，在正方体中，下列向量相等的是 （ ） A．与 B．与 C．与 D．与 例2．（2024·25高三上·广东深圳·期末）下列结论中正确的是（   ）． A．零向量没有大小，方向任意 B．对任一向量，总是成立的 C． D． 练习1．（2025·26高三上·广东中山·阶段练习）关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 练习2．（2025·26高三上·广东·开学考试）已知平面向量，，则“或”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 练习3．（2024·25高三下·广东茂名·期末）若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的起点和终点，可得到两两互不相等的向量的个数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 练习4．（2025·广东汕头·一模）已知四边形，则“四边形是平行四边形”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二 平面向量的线性运算 解题策略 向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则,实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用. 例3．（2025·26高三上·广东·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 例4．（2025·26高三上·广东东莞·阶段练习）已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（   ） A． B． C． D． 练习1．（2024·25高三上·广东湛江·期末）（    ） A． B． C． D． 练习2．（2025·26高三上·广东揭阳·阶段练习）在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 练习3．（2025·广东广州·模拟预测）是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 练习4．（2025·广东中山·模拟预测）已知向量、，则等于 . 考点三 平面向量基本定理 解题策略 运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止 例5．（2024·25高三上·广东潮州·期中）在中，是的中点，是的中点．若，则（    ）． A．3 B． C．2 D． 例6．（2024·25高三上·广东惠州·期末）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 练习1．（2025·26高三上·广东汕头·阶段练习）已知中，点，满足，，设，，则（    ） A． B． C． D． 练习2．（2024·25高三上·广东汕头·期中）在平行四边形中，，点F是线段DE的中点，若，则＝（   ） A．1 B． C． D． 练习3．（2024·25高三上·广东广州·期中）已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（    ） A． B． C． D． 练习4．（2025·广东汕头·模拟预测）在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 考点四 平面向量的坐标运算 解题策略 （1）若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行； （2）若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算； （3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 例7．（2023高三·广东·学业考试）已知向量，则=（    ） A． B． C． D． 例8．（2024·25高三上·广东东莞·阶段练习）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ． 练习1．（2024·25高三上·广东汕尾·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 练习2．（2024·25高三上·广东广州·期中）已知，，，若，则 . 练习3．（2024·广东佛山·模拟预测）已知点，点，且，则点的坐标为 ． 练习4．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知点，，向量，则向量 . 考点五 平面向量的共线问题 解题策略 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路： （1）若,且与所在的直线无公共点,则这两条直线平行. （2）若,且与所在的直线有公共点,则这两条直线重合. 例9．（2025高三上·广东·学业考试）已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C． D．4 例10．（2024·25高三上·广东惠州·期末）已知向量，若三点共线，则实数（    ） A． B． C．2 D．8 练习1．（2024·25高三上·广东深圳·期中）已知为实数，，则“”是“向量共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 练习2．（2024·25高三上·广东惠州·期中）已知向量，．若实数与向量满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 练习4．（2024·广东东莞·二模）已知向量，，，若，，三点共线，则 . 考点六 平面向量数量积及垂直 解题策略 向量数量积的求法： （1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键； （2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算； nn（3）先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算 例11．（2024·25高三上·广东江门·阶段练习）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（  ）    A．4 B． C． D． 例12．（2024·25高三上·广东清远·期末）已知向量，，若向量与垂直，则 ． 练习1．（2025·26高三上·广东深圳·开学考试）已知向量满足，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 练习2．（2020·21高三上·广东茂名·期中）已知向量，则（   ） A．1 B． C．0 D． 练习3．（2024·25高三上·广东佛山·期末）已知，且，则 . 练习4．（2025·26高三上·广东·阶段练习）若向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．－1 考点七 平面向量的夹角及模 解题策略 求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； 求向量的模：（1）求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. （2）若,则,于是有 例13．（2023高三·广东·学业考试）已知向量满足 ，，则（ ） A． B．6 C． D．5 例14．（2024·25高三上·广东江门·期中）若向量，，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 练习1．（2025·26高三上·广东河源·阶段练习）向量满足与的夹角为，则 ． 练习2．（2025·26高三上·广东梅州·期中）若向量，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 练习3．（2024·25高三上·广东广州·期末）已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C． D． 练习4．（2024·25高三上·广东·期中）已知向量，，则（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 考点八 投影向量 例15．（2025·26高三上·广东广州·阶段练习）已知向量若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．-1 B． C．1 D． 例16．（2024·25高三上·广东阳江·阶段练习）已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 练习1．（2025·26高三上·广东江门·阶段练习）设，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 练习2．（2024·25高三上·广东深圳·期中）已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则 . 练习3．（2024·25高三上·广东广州·期中）已知：，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 练习4．（2025·26高三上·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 考点九 余弦定理 解题策略 （1）已知两边及其一边的对角解三角形：直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. （2）已知三边解三角形：已知先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 注意:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入,从而转化为已知三边求解. 例17．（2024·25高三上·广东东莞·阶段练习）在中，，则（    ） A．1 B． C． D．2 例18．（2025·26高三上·广东佛山·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（   ） A． B． C． D． 练习1．（2024·25高三上·广东汕头·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 练习2．（2024·25高三下·广东清远·开学考试）在中，角的对边分别为，则“”是“为等边三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习3．（2024·25高三上·广东佛山·阶段练习）在中，内角的对边分别为．若，则（   ） A．7 B． C． D．2 练习4．（2025·26高三上·广东汕头·阶段练习）在中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 考点十 正弦定理 解题策略 （1）已知两角一边解三角形：①若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角；②若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边； （2）已知两边一角解三角形：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一；③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论. 例19．（2025·26高三上·广东·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则=（   ） A． B． C． D． 例20．（2024·25高三上·广东韶关·阶段练习）在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 练习1．（2025·26高三上·广东惠州·阶段练习）如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅垂平面内，在A处测得目标C的俯角为，飞行到达B处，测得目标C的俯角为，这时B处与地面目标C的距离为 .    练习2．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 练习3．（2024·25高三上·广东·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A． B． C．或 D．或 练习4．（2024·25高三下·安徽合肥·期末）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 考点十一 余弦定理、正弦定理的应用 例21．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）在中，角所对的边分别是．已知 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 例22．（2024高三上·广东·学业考试）已知在中，内角、、的对边分别为、、，，，. (1)求； (2)求. 练习1．（2025·26高三上·广东湛江·期末）已知的内角所对的边分别为，满足. (1)求外接圆的面积； (2)若，求的面积. 练习2．（2024·广东珠海·二模）在中，角，，的对应边分别为a，b，c，，且. (1)求边的长； (2)求角大小及的面积. 练习3．（2024·25高三上·广东广州·期末）如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3 （1）求△CBD的面积； （2）求边AC的长. 练习4．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，，. (1)若，求； (2)若的面积，求，. 战训练 一、单选题 1．（2024·25高三下·广东深圳·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D．3 2．（2024·25高三上·广东湛江·阶段练习）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 3．（2024·25高三上·山东·阶段练习）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·25高三上·广东梅州·阶段练习）n实战训练1已知向量，若，则（　　） A． B． C．2 D．1 5．（2024·25高三上·广东惠州·阶段练习）已知向量满足，且，则在上的投影的数量为（    ） A． B． C． D．1 二、填空题 6．（2024·25高三下·广东深圳·阶段练习）已知，平面向量，，若，则 . 7．（2024·25高三上·广东揭阳·阶段练习）的三个内角的对边分别为，满足，且，则的面积为 ． 8．（2024·25高三下·广东·开学考试）如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则 ． 9．（2024·25高三上·广东佛山·期中）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若，则的值为 . 三、解答题 10．（2025·26高三上·广东广州·阶段练习）在中，已知，，． (1)求； (2)如为的中点，求的长． 11．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）已知向量，，点． (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点满足点P，B，D三点共线，求y的值． 12．（2024·25高三上·广东江门·阶段练习）已知平面向量、，，，且． (1)求、的夹角； (2)若与（）垂直，求的值． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 平面向量及正余弦定理 目录 考情分析与命题趋势 1 知识体系构建 2 考点精析与突破 5 考点一 平面向量的概念 5 考点二 平面向量的线性运算 5 考点三 平面向量基本定理（重） 8 考点四 平面向量的坐标运算 9 考点五 平面向量的共线问题 12 考点六 平面向量数量积及垂直（重） 14 考点七 平面向量的夹角及模（重） 16 考点八 投影向量（难） 19 考点九 余弦定理（重） 21 考点十 正弦定理（重） 23 考点十一 余弦定理、正弦定理的应用（难） 25 实战精练与提升 27 考情解读 一、考试要求 1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念、两个向量相等的含义，掌握向量的几何表示。 2、掌握平面向量的加法、减法及数乘运算，理解其几何意义与线性运算性质，明确两个向量共线的含义。 3、了解平面向量基本定理，掌握正交分解及坐标表示，会用坐标进行向量加减、数乘运算，理解坐标表示的共线条件。 4、理解平面向量数量积的含义、物理意义及与投影的关系，掌握其坐标表达式与运算方法，能运用数量积求夹角、判断垂直。 5、会用向量方法解决简单平面几何、力学及其他实际问题。 6、掌握正弦定理、余弦定理，能解决三角形度量及相关测量、几何计算问题。 二、命题分析 考点 考频 考查内容 命题趋势 平面向量的线性运算 5年1考 平面向量的加、减、数乘运算 预测2026年在选择题中考查加、减、数乘运算 平面向量基本定理 5年1考 基底的表示 预测2026年在填空题中考查向量的表示 平面向量的坐标运算 5年3考 平面向量的加、减、数乘运算的坐标表示 预测2026年在选择或填空题中考查加、减、数乘运算的坐标运算 向量共线 5年2考 已知向量共线求参数 预测2026年在选择题中考察三点共线 平面向量的数量积 5年4考 求平面向量的夹角、模、垂直 预测2026年在填空题中考察投影向量 正余弦定理 5年5考 解三角形 预测2026年在解答题中考察解三角形 知识梳理 知识点1、向量的有关概念 名称 定义 表示方法 注意事项 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量或； 模或 平面向量是自由向量 零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作 零向量的方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 常用表示 非零向量的单位向量是 平行向量 方向相同或相反的非零向量 与共线可记为 与任一向量平行或共线 平行向量又叫共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为 知识点2、向量的线性运算 向量运算 定　义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 （1）交换律： （2）结合律： 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， ； ； 知识点3、共线向量定理及平面向量基本定理 共线向量定理：向量与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 平面向量的基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使. 其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 知识点4、平面向量的坐标运算 1.向量加法、减法、数乘运算及 设，则 2.向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设，则 3.平面向量共线的坐标表示 设则 知识点5、平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念 已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中是与的夹角. 【注】零向量与任一向量的数量积为0. 投影向量：①定义：如图，设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量是. 知识点6、平面向量数量积的运算律 已知向量和实数,则 交换律 ； 数乘结合律 ； 分配律 . 知识点7、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质 设非零向量，是与的夹角， （1）数量积：；（2）模：. （3）夹角： （4）垂直与平行：； （5）设向量，θ为向量的夹角. 数量积 模 夹角 两非零向量的充要条件 考点精讲 考点一 平面向量的概念 解题策略 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题. 例1．（2024·25高三上·广东惠州·期中）如图所示，在正方体中，下列向量相等的是 （ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】因为与是大小相等，方向相反，所以与是相反向量，故A错误； 因为与也是大小相等，方向相反，所以与也是相反向量，故B错误； 因为，所以与不是相等向量，故C错误； 因为与是大小相等，方向相同，所以与是相等向量，故D正确； 故选：D 例2．（2024·25高三上·广东深圳·期末）下列结论中正确的是（   ）． A．零向量没有大小，方向任意 B．对任一向量，总是成立的 C． D． 【答案】D 【详解】对于A，零向量的模长为，方向任意，A错误； 对于B，当向量为零向量时，，B错误； 对于C，若与方向不同，则，C错误； 对于D，与为相反向量，，D正确. 故选：D. 练习1．（2025·26高三上·广东中山·阶段练习）关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于选项A：若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误； 对于选项B：当时，，，此时未必共线，故B错误； 对于选项C：向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误； 对于选项D：若，则向量，互为相反向量，则，则D正确； 故选：D. 练习2．（2025·26高三上·广东·开学考试）已知平面向量，，则“或”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若或，则，反过来，若，两个向量的方向不确定，不能推出或， 所以“或”是“”的充分不必要条件. 故选：A 练习3．（2024·25高三下·广东茂名·期末）若从平行四边形ABCD的四个顶点中任取两个作为向量的起点和终点，可得到两两互不相等的向量的个数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】如图，两两互不相等的向量有，共8个. 故选:B. 练习4．（2025·广东汕头·一模）已知四边形，则“四边形是平行四边形”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若四边形是平行四边形， 则，所以； 若，则，则四边形是平行四边形. 所以“四边形是平行四边形”是“”的充要条件. 故选：A. 考点二 平面向量的线性运算 解题策略 向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则,实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用. 例3．（2025·26高三上·广东·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 例4．（2025·26高三上·广东东莞·阶段练习）已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 练习1．（2024·25高三上·广东湛江·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ． 故选：C． 练习2．（2025·26高三上·广东揭阳·阶段练习）在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，    则， 故选：D 练习3．（2025·广东广州·模拟预测）是所在平面内的一点，满足，则（   ） A．点P在线段BC上 B．点P在线段BC的延长线上 C．点P在线段AC上 D．点P在线段AC的延长线上 【答案】D 【详解】因为，可得， 可知点为线段的中点，所以点P在线段AC的延长线上. 故选：D. 练习4．（2025·广东中山·模拟预测）已知向量、，则等于 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 考点三 平面向量基本定理 解题策略 运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止 例5．（2024·25高三上·广东潮州·期中）在中，是的中点，是的中点．若，则（    ）． A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】 ，所以，所以. 故选：B 例6．（2024·25高三上·广东惠州·期末）在中，D是BC边上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，由可得， 则. 故选：C 练习1．（2025·26高三上·广东汕头·阶段练习）已知中，点，满足，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 故选：A 练习2．（2024·25高三上·广东汕头·期中）在平行四边形中，，点F是线段DE的中点，若，则＝（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】   ，． 故选：C． 练习3．（2024·25高三上·广东广州·期中）已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为三点共线，则，又点是直线外任一点， 所以，整理得到， 又，则，解得， 故选：C. 练习4．（2025·广东汕头·模拟预测）在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，由题，， ， 所以. 故选：A.    考点四 平面向量的坐标运算 解题策略 （1）若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行； （2）若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算； （3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行. 例7．（2023高三·广东·学业考试）已知向量，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意， 故选：B． 例8．（2024·25高三上·广东东莞·阶段练习）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则 ． 【答案】 【详解】如图建立平面直角坐标系， 则，又， 所以， 则. 故答案为：. 练习1．（2024·25高三上·广东汕尾·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知. 故选：D 练习2．（2024·25高三上·广东广州·期中）已知，，，若，则 . 【答案】0 【详解】因为，，，若， 则， 即，解得， 所以. 故答案为：0 练习3．（2024·广东佛山·模拟预测）已知点，点，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】设点，因为点，点，且， 所以，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 练习4．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知点，，向量，则向量 . 【答案】 【详解】由条件可得， 所以， 故答案为： 考点五 平面向量的共线问题 解题策略 用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路： （1）若,且与所在的直线无公共点,则这两条直线平行. （2）若,且与所在的直线有公共点,则这两条直线重合. 例9．（2025高三上·广东·学业考试）已知向量，，若，则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【详解】因为向量，，且， 所以，解得， 故选：A. 例10．（2024·25高三上·广东惠州·期末）已知向量，若三点共线，则实数（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】D 【详解】因为点共线，. 所以，所以. 故选：D. 练习1．（2024·25高三上·广东深圳·期中）已知为实数，，则“”是“向量共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，，即向量共线， 所以“”是“向量共线”的充分条件； 若“共线”，则，解得或， 所以“”不是“向量共线”的必要条件. 所以“”是“向量共线”的充分不必要条件. 故选：A. 练习2．（2024·25高三上·广东惠州·期中）已知向量，．若实数与向量满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 29． （2022高三下·广东·学业考试）已知向量，，若，则实数= . 【答案】 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 练习4．（2024·广东东莞·二模）已知向量，，，若，，三点共线，则 . 【答案】 【详解】因为，，， 所以， 又，，三点共线，即， 所以，解得. 故答案为： 考点六 平面向量数量积及垂直 解题策略 向量数量积的求法： （1）求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键； （2）根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算； nn（3）先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算 例11．（2024·25高三上·广东江门·阶段练习）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（  ）    A．4 B． C． D． 【答案】C 【详解】由图知，， 则. 故选：C. 例12．（2024·25高三上·广东清远·期末）已知向量，，若向量与垂直，则 ． 【答案】/ 【详解】， ∵向量与垂直， ∴， ∴， 即， 即， 解得． 故答案为：． 练习1．（2025·26高三上·广东深圳·开学考试）已知向量满足，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】因为，所以，又，， 所以． 故选：D 练习2．（2020·21高三上·广东茂名·期中）已知向量，则（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【详解】， ， 则， 故选：C 练习3．（2024·25高三上·广东佛山·期末）已知，且，则 . 【答案】6 【详解】, . 故答案为：6. 练习4．（2025·26高三上·广东·阶段练习）若向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．－1 【答案】B 【详解】由题意可得，， 则． 故选：B 考点七 平面向量的夹角及模 解题策略 求向量的夹角的关键是计算及,在此基础上结合数量积的定义或性质计算,最后借助,求出值； 求向量的模：（1）求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用,勿忘记开方. （2）若,则,于是有 例13．（2023高三·广东·学业考试）已知向量满足 ，，则（ ） A． B．6 C． D．5 【答案】C 【详解】向量满足，， 所以. 故选：C 例14．（2024·25高三上·广东江门·期中）若向量，，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向量，， ， 设向量与的夹角为，则， 由，得. 故选：A. 练习1．（2025·26高三上·广东河源·阶段练习）向量满足与的夹角为，则 ． 【答案】2 【详解】， 所以. 故答案为：2. 练习2．（2025·26高三上·广东梅州·期中）若向量，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，； ∴； ∴ 故选：C. 练习3．（2024·25高三上·广东广州·期末）已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，， 所以. 故选：A 练习4．（2024·25高三上·广东·期中）已知向量，，则（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【解析】利用向量坐标运算求出夹角的余弦值，即可得出夹角. 【详解】， ， ，. 故选：D. 考点八 投影向量 例15．（2025·26高三上·广东广州·阶段练习）已知向量若向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．-1 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】因为向量， 则向量在向量上的投影向量为：， 故有，解得. 故选：C. 例16．（2024·25高三上·广东阳江·阶段练习）已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知 所以在上的投影向量为. 故选：D 练习1．（2025·26高三上·广东江门·阶段练习）设，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题，在方向上的投影向量为. 故选：B 练习2．（2024·25高三上·广东深圳·期中）已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则 . 【答案】/0.5 【详解】， 向量在向量上的投影向量为， 又向量在向量上的投影向量为，故，解得. 故答案为： 练习3．（2024·25高三上·广东广州·期中）已知：，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据定义，在方向上的投影向量为. 故选：B. 练习4．（2025·26高三上·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由向量，得，，则， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：C 考点九 余弦定理 解题策略 （1）已知两边及其一边的对角解三角形：直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角. （2）已知三边解三角形：已知先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 注意:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入,从而转化为已知三边求解. 例17．（2024·25高三上·广东东莞·阶段练习）在中，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】， 故选：B 例18．（2025·26高三上·广东佛山·阶段练习）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由及余弦定理，得，而， 所以. 故选：C 练习1．（2024·25高三上·广东汕头·期末）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理得． 因为为的内角，所以． 故选：C 练习2．（2024·25高三下·广东清远·开学考试）在中，角的对边分别为，则“”是“为等边三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，可得：， 又角为三角形内角，所以，此时无法判断角， 所以无法判断为等边三角形， 由为等边三角形，可得， 即，可得， 所以“”是“为等边三角形”的必要不充分条件， 故选：B 练习3．（2024·25高三上·广东佛山·阶段练习）在中，内角的对边分别为．若，则（   ） A．7 B． C． D．2 【答案】B 【详解】，则. 故选：B. 练习4．（2025·26高三上·广东汕头·阶段练习）在中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以为等腰三角形，可得，且， 又因为且， 所以， 由余弦定理得， 所以. 故选：A. 考点十 正弦定理 解题策略 （1）已知两角一边解三角形：①若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角；②若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边； （2）已知两边一角解三角形：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一；③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论. 例19．（2025·26高三上·广东·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理得， 则， 又，， 所以，解得． 故选：B 例20．（2024·25高三上·广东韶关·阶段练习）在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以. 设外接圆的半径为，则， 所以外接圆的半径为. 故选：D 练习1．（2025·26高三上·广东惠州·阶段练习）如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅垂平面内，在A处测得目标C的俯角为，飞行到达B处，测得目标C的俯角为，这时B处与地面目标C的距离为 .    【答案】 【详解】根据题意可知，. 在中，由正弦定理得，. 故答案为：. 练习2．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】根据正弦定理及等比例的性质有， 则. 故选：B. 练习3．（2024·25高三上·广东·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】由正弦定理知，，即，解得， 又，所以，所以． 故选：A． 练习4．（2024·25高三下·安徽合肥·期末）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】C 【详解】由正弦定理，得，所以，即，又， 所以，或， 所以解的个数为2． 故选：C． 考点十一 余弦定理、正弦定理的应用 例21．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）在中，角所对的边分别是．已知 (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由已知， 由余弦定理可得，， 得． 又， . （2）由（1）及， 可得，解得：. （3）由正弦定理可得，， 即解得：， 而，所以都为锐角， 因此， 由（2）知， 则， 所以 . 例22．（2024高三上·广东·学业考试）已知在中，内角、、的对边分别为、、，，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），，，由余弦定理可得： ，即； （2），，，由正弦定理可得： ，故. 练习1．（2025·26高三上·广东湛江·期末）已知的内角所对的边分别为，满足. (1)求外接圆的面积； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设外接圆的半径为 在中，由正弦定理得， 因为，所以，所以， 外接圆的面积为 （2）因为，所以，所以 因为，所以或， 因为，所以，所以， 所以， 所以的面积 练习2．（2024·广东珠海·二模）在中，角，，的对应边分别为a，b，c，，且. (1)求边的长； (2)求角大小及的面积. 【答案】(1)5 (2)， 【分析】 【详解】（1）由正弦定理，得 （2）由余弦定理，所以 练习3．（2024·25高三上·广东广州·期末）如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3 （1）求△CBD的面积； （2）求边AC的长. 【答案】（1）；（2） 【分析】 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 则， ； （2）在中，由正弦定理得， 即，解得. 练习4．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，，. (1)若，求； (2)若的面积，求，. 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）由正弦定理定理可得， 又，，， 所以， 所以， （2）由三角形面积公式可得的面积， 所以，又，， 所以， 由余弦定理可得， 所以， 所以. 战训练 一、单选题 1．（2024·25高三下·广东深圳·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】因为，所以， 即. 故选：D 2．（2024·25高三上·广东湛江·阶段练习）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意， . 故选：D 3．（2024·25高三上·山东·阶段练习）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则， 又，所以，解得，即， 所以. 故选：D. 4．（2024·25高三上·广东梅州·阶段练习）n实战训练1已知向量，若，则（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为，， 则，解得. 故选：A 5．（2024·25高三上·广东惠州·阶段练习）已知向量满足，且，则在上的投影的数量为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】在上的投影的数量为． 故选：B. 二、填空题 6．（2024·25高三下·广东深圳·阶段练习）已知，平面向量，，若，则 . 【答案】4 【详解】由，可得，， 由可得， 所以，解得. 故答案为：4 7．（2024·25高三上·广东揭阳·阶段练习）的三个内角的对边分别为，满足，且，则的面积为 ． 【答案】1 【详解】由余弦定理可得：，又， 得，解得，所以的面积为； 故答案为： 8．（2024·25高三下·广东·开学考试）如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则 ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 9．（2024·25高三上·广东佛山·期中）在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若，则的值为 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以，则 故答案为： 三、解答题 10．（2025·26高三上·广东广州·阶段练习）在中，已知，，． (1)求； (2)如为的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，且，， 根据正弦定理可得， 解得； 又 ，且， 故. （2）由（1）可知，， 由可得. 因为D为AC的中点，所以， 在中， 由余弦定理可得， 则， 从而. 11．（2024·25高三上·广东广州·阶段练习）已知向量，，点． (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点满足点P，B，D三点共线，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设，，， ， ，， ，同理可得， 设BD的中点， 则，， . （2），， 三点共线，， ，解得. 12．（2024·25高三上·广东江门·阶段练习）已知平面向量、，，，且． (1)求、的夹角； (2)若与（）垂直，求的值． 【答案】(1)60°； (2)． 【分析】 【详解】（1）由，可得， 则，所以， 又因， 则，因，故、的夹角为60°； （2）由（1）可得：，， 因为与（）垂直，所以， 整理得到， 将，，代入上式可得：， 解得． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $