精品解析：辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

辽宁省辽西重点高中2025~2026学年度上学期高二期中考试 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在棱长为的正四面体中，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基底法结合空间向量数量积的运算律可求的值. 【详解】设正四面体的棱长为. 由正四面体结构性质可知， 而 故， 故选：B. 2. 设空间向量．若不能构成空间向量的一组基底，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可设，利用坐标运算得出方程组，根据其解的情况来判断. 【详解】当时，， 假设，显然无解， 则不共面，A不符合题意； 假设， 则， 当时，方程组为，，解得， 故，则共面，B符合题意； 当时，方程组为，无解， 故不共面，可构成空间向量的一组基底，C不符合题意； 当时，方程组为，无解， 故不共面，可构成空间向量的一组基底，D不符合题意. 故选：B． 3. 已知空间向量，，共面，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量的共面定理，代入计算，即可得到结果. 【详解】由共面可知，存在实数使得， 即， 所以，解得. 故选：A 4. 如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系求异面直线，所成角的余弦值即可. 【详解】解：连接，，，并且，的中点为， 因为底面是菱形，所以， 又因为四棱柱为直四棱柱， 所以底面， 又因为，所以底面， 所以，. 以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）. 则，，，，， 于是，，， 所以，， 设异面直线，所成角为， 则. 故选：D 【点睛】 5. 直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点的坐标，利用空间向量基本定理可得，再结合模长及数量积运算律求出的余弦值即可. 【详解】直线上的横坐标分别为的点， 给定的图形中，轴于点C，轴于点D，则， 又，， ，则 ，解得，而，所以. 故选：A. 6. 若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用截距求出，再利用倾斜角的关系，结合斜率与二倍角公式列式求出即可. 【详解】由直线在轴上的截距为，得，解得， 由直线的倾斜角为，得，直线的倾斜角为， 因此，解得， 所以. 故选：A 7. 已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据存在最小值分析出，再根据最小值不大于列出关于的不等式即可求解. 【详解】将直线变形为， 则可知直线恒过定点，且， 若，则直线可和圆相切，如图所示，此时重合，若直线与圆交于不同的两点， 则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故， 即在圆内，直线与圆一定交于两点，此时对于任意给定的半径， 根据圆的性质，当时，弦最短，最小，此时弦长， 在中，当时，此时， 由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦满足， 即，解得， 综上，的取值范围为. 故选：C. 8. 已知双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，记直线、的斜率分别为、，若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的对称性和直线的斜率公式，结合已知条件，可得出与的关系，进而求出双曲线的离心率. 【详解】设，，又、为双曲线上关于原点对称的两点，则， 所以， 又点、在双曲线上，得，两式相减得， 可得，因为，所以， 因此. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若空间三个向量，满足，则向量共面 B. 若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底 C. 在四面体中，若，则 D. 已知四点共面，对空间任意一点，若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间向量共面的基本定理判断A、B；应用向量数量积的运算律转化已知条件判断C；由空间向量共面的推论判断D. 【详解】A：由题设，根据空间向量的共面定理知向量共面，对； B：由，即共面，故不能构成基底，错； C：由， 又，则，对； D：由四点共面，对空间任意一点，则有， 所以，则，错. 故选：AC 10. 关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线围成的区域面积小于2 C. 曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是 D. 曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】代入对称点判断曲线对称判断A,找到曲线围成的面积小于围成的面积判断B,根据基本不等式得出乘积的最大值判断C,应用基本不等式求和的最大值判断D. 【详解】对于方程，以代替，同时以代替方程不变，所以曲线关于对称，故A正确； 对于B，设分别为与图象上第一象限内的点，， 则，所以在的下方， 所以曲线围成的面积小于围成的面积，围成的面积为，故B正确； 对于C，因为，等号仅当时成立， 所以曲线上的点到轴、轴的距离之积，故C正确; 对于D，因为，所以， 等号仅当时成立，所以曲线上的点到轴、轴的距离之和的最小值为，故D错误. 故选:ABC. 11. 已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点，且°．为椭圆上任意一点（异于左，右顶点），直线分别与椭圆交于，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 内切圆的半径为 C. △的外接圆方程为 D. △与△内切圆半径之和的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知条件直接求得得离心率判断A，得椭圆标准方程，解方程组求出交点坐标得直角的边长后可求得其内切圆半径判断B，同样由三点坐标求出外接圆方程判断C（可用点的坐标代入判断），利用面积的两种不同计算方法可求得内切圆半径与点坐标的关系，结合韦达定理可求出两内切圆半径和的最大值，判断D． 【详解】A选项，由题意，是等腰直角三角形，因此，， 离心率为，A正确； B选项，由上知，，直线的方程为，椭圆方程为， 由，解得或，∴， ，，而， 则，即为直角三角形， ∴△内切圆的半径为，B正确； C选项，由题意设△的外接圆圆心坐标为，则，解得， 即圆心坐标为，半径为， 圆方程为，C错； D选项，设，的内切圆在三边上的切点分别为，如图， 一方面，， 另一方面，记的内切圆半径为，， 所以，，事实上，不论点在轴上方还是下方，都有与同号，所以，从而， 则的内切圆半径为，内切圆半径为， △与△内切圆半径之和为， 设直线方程为， 由得， ， ， 所以当，即时，取得最大值，D正确， 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：设是椭圆上的点，是椭圆焦点，与不共线，的内切圆圆心为，半径为，椭圆离心率为， 则，，， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由，两边平方进行求解． 【详解】设向量的夹角为，则， 由题意可得：， 因为， 则， 即，解得， 由，可得， 因为，，平面平面，平面，平面， 故平面与平面的夹角为. 故答案为：. 13. 直线关于直线对称的直线的方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】法1，求出直线与的交点坐标，利用直线上的点到直线与的距离相等，列式计算得解；法2，利用直线关于特殊直线对称结论求解. 【详解】（方法1）联立，得两直线的交点为， 设直线的方程为， 直线上的点到直线与的距离相等，即， 解得或（舍去），故的方程是. 故答案为：. （方法2：直线关于特殊直线对称）利用直线关于直线的对称直线为. 所以关于直线对称的直线为：，即. 故答案为：. 14. 已知圆，椭圆，点M，N分别在圆和椭圆上，则线段长度的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】设点，利用两点间距离公式计算，代入，将其化成关于的二次函数，利用其性质求得线段长度的最小值，代入计算即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 设点的坐标为，则， 又点在椭圆上，所以，即，， 所以， 则当时，取得最小值，结合圆的几何性质可得. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. 【小问1详解】 ，， ，， . 【小问2详解】 设与的夹角为，则， ，， ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 16. 如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点． （1）求证：平面； （2）若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 【答案】（1） 在三棱柱中，连接，设，连接，则是的中点， 由为的中点，得，又平面，平面， 所以平面. （2） 直线与平面相交． 在三棱柱中，取的中点，连接，由为的中点，得， 由为正三角形，且为的中点，得． 由平面，得平面，于是直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 而，且，则， 由，得与不垂直，即向量不平行于平面， 因此平面，且与平面不平行， 所以直线与平面相交. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知，点P在y轴上，满足． （1）求点P的坐标； （2）若动点Q与的距离的比为，求动点Q的轨迹方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系转化为数量积为，设出点坐标，由坐标运算求解可得； （2）设动点，由已知距离比关系，利用两点间距离公式坐标代入化简整理可得轨迹方程. 【小问1详解】 由点P在y轴上，设，则， 由，则， 即，解得， 故点P的坐标为. 【小问2详解】 设，， 由，得，即， 则， ， 则有 化简得，即. 则动点Q的轨迹方程. 18. 如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，线段的长为 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）求平面的法向量，利用空间向量求面面夹角的余弦值，进而可得正弦值； （3）设，由线面角的向量求法求出，得到坐标，求出长度. 【小问1详解】 取为原点，所在直线为轴，过点且平行于直线的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设平面的一个法向量为，则， 设，则，，可得， 又因为，则，可得. 且平面，所以平面. 【小问2详解】 因为， 设平面的一个法向量为，则， 设，则，，可得， 设平面与平面的夹角为， 则， 可得， 所以平面与平面夹角正弦值为. 【小问3详解】 设， 则，可得， 因为平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 当时，，则； 当时，，则； 综上，即在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时线段的长为. 19. 若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”. （1）圆的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程： （2）已知正方形A的方程为，且正方形A为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围； （3）设函数的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）曲线C存在切立方，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据“切立方”的定义，结合图象，找到一个“切立方”的四条边所在直线的方程即可； （2）根据“切立方”的定义，联立与双曲线，由于相切，则，根据，即可求出双曲线的离心率的取值范围； （3）设第一个切点为，则切线为，根据函数的图象关于原点对称和正方形对边平行，因此可设第二条切线为，同理求出第三条和第四条切线，然后验证四条切线形成的图形是否为正方形即可. 【小问1详解】 根据“切立方”的定义，设直线方程，可得 ，， ， ，； 【小问2详解】 由正方形A的方程为，则， 由正方形A为双曲线的一个“切立方”， 则，联立整理得， 则， 整理得，即， 由图可知，则， 所以 【小问3详解】 由曲线，设切点为， 联立， 得， 即， 点在曲线和直线上，整理得， 则过该点的一条切线方程为， 即， 由函数为奇函数，其图象关于原点对称，因此如果曲线C是存在“切立方”， 则正方形也关于原点对称，故与第一条边平行的正方形的另一条边所在直线为：， 设第三个切点为（），同理可得另两条切线为， 若存在正方形，即， 由此可设，， 代入消元可得， 设， 由，，且在上，函数图象连续不间断， 则由零点存在性定理可知在上有解， 因此曲线C存在切立方. 【点睛】关键点点睛：本题的第三问的关键是采用设线法，再结合对称性和零点存在性定义即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省辽西重点高中2025~2026学年度上学期高二期中考试 数学试题 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在棱长为的正四面体中，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 设空间向量．若不能构成空间向量的一组基底，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，共面，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图所示，已知直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，，，分别是，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 直角坐标系中直线上的横坐标分别为的两点A、B，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后A、B两点间的距离是6，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线在轴上的截距为，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 7 7. 已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线，、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，记直线、的斜率分别为、，若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若空间三个向量，满足，则向量共面 B. 若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底 C. 在四面体中，若，则 D. 已知四点共面，对空间任意一点，若，则 10. 关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线围成的区域面积小于2 C. 曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是 D. 曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是 11. 已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点，且°．为椭圆上任意一点（异于左，右顶点），直线分别与椭圆交于，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 内切圆的半径为 C. △的外接圆方程为 D. △与△内切圆半径之和的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为_______________． 13. 直线关于直线对称的直线的方程是________. 14. 已知圆，椭圆，点M，N分别在圆和椭圆上，则线段长度的最小值为_____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 16. 如图，在三棱柱中，是正三角形，侧面是边长为2的菱形，是中点． （1）求证：平面； （2）若平面，判断直线与平面的位置关系，并加以证明． 17. 已知，点P在y轴上，满足． （1）求点P的坐标； （2）若动点Q与的距离的比为，求动点Q的轨迹方程． 18. 如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值； （3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 19. 若平面内的曲线C与某正方形A四条边的所在直线均相切，则称曲线C为正方形A的一条“切曲线”，正方形A为曲线C的一个“切立方”. （1）圆的一个“切立方”A的其中一条边所在直线的斜率是1，求这个“切立方”A四条边所在直线的方程： （2）已知正方形A的方程为，且正方形A为双曲线的一个“切立方”，求该双曲线的离心率e的取值范围； （3）设函数的图象为曲线C，试问曲线C是否存在切立方，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $