精品解析：河南省南阳市第一中学校2025-2026学年高三上学期期中考前模拟数学试题

南阳一中2025年秋期高三年级期中考前模拟 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别解不等式求出集合，求出，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】由，得，则， 由，得，则，， 故， 故选：C 2. 已知正项等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据的关系，将已知等式相减，结合等差数列的性质，即可求得答案. 【详解】因为，故两式相减得：， 即，则， 又数列为正项等差数列，故，即， 故选：B 3. 已知，为关于的实系数方程的两个虚根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解得的虚根，代入求解即可. 【详解】由，， ∴方程的两个虚根为，或，， 不妨取，，则，， ∴. 故选：A. 4. 函数的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的零点和区间内的值域，利用排除法选择图像. 【详解】图像过点，，排除AD；当时，，排除C. 故选：B. 5. 已知角的终边落在直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再利用三角恒等变换和齐次化变形，代入求值. 【详解】角的终边落在直线，故， . 故选：C 6. 已知函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数与的图象上存在关于直线对称的点转化为函数与函数的图象存在交点，然后结合图象求的范围即可. 【详解】设上一点的坐标为，关于直线对称的点坐标为， 函数与的图象上存在关于直线对称的点，则存在使得，即成立， 即函数与函数的图象存在交点， 由图可知，当经过点时恰好没有交点，此时，将的图象向左平移函数与函数的图象会存在交点，所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：函数图象的交点问题： （1）根据图象讨论交点情况； （2）转化为函数零点问题讨论； （3）转化为方程的根的问题讨论. 7. 已知，求（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式化简已知等式可得，再利用两角和差的余弦公式结合同角三角函数关系化简可得，继而利用三角恒等变换，化简求值，即得答案. 【详解】由题意知， 即， 故， 即， 故， 即 ， 故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于利用三角函数诱导公式以及两角和差的公式化简得出的表达式之后，要利用拆角的方法，继而结合三角恒等变换公式，化简求值即可. 8. 已知点满足：，是函数图象上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，,利用导数研究函数的单调性，得出当时，函数最小值为0，从而可得点P在直线上运动，设与平行的直线与相切于点，利用求导求得切点，结合图形计算出点到直线的距离即可． 【详解】设，， 设，，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以， 所以，即点在直线上运动． 设与平行的直线与相切于点，令， 得，故切点为，由图知其到直线的距离， 即的最小值为． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知向量，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若的夹角为钝角，则 D. 设在方向上的投影向量为，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量垂直的坐标表示求解判断即可；对于B，根据平面向量共线的坐标表示求解判断即可；对于C，由的夹角为钝角可得，且不共线，进而求解判断即可；对于D，易得，令，利用判别式法求解判断即可. 【详解】对于A，由，则，即，故A正确； 对于B，由，则，即，故B正确； 对于C，由的夹角为钝角，则，且不共线， 则且，故C错误； 对于D，由在方向上的投影向量为， 则，所以， 令，则， 当时，，则，符合题意， 当时，有，解得且， 综上所述，，则的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 10. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n项和公式逐项分析判断即得. 【详解】等差数列中，， 对于A，，，A正确； 对于B，，则，， 则，，因此，即，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，设的公差为，由，得，解得， 则，，D正确. 故选：ACD 11. 设，都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有（a为常数），，则（ ） A. B. C. 为周期函数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，在中，令得，为单调函数，所以；对于B，由，得，对于C，设，则由，可得，对于D，由，得，为等差数列，且，所以. 【详解】在中，令得， 所以，又为单调函数， 所以，即，所以， 所以，所以A错误； 由，得，所以B正确； 设，则由， 可得，所以， 所以，即为周期函数，所以C正确； 由，得，即， 所以为等差数列，且，即， 所以，所以， 所以D错误． 故选：BC． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于D选项，由，得，为等差数列，且，所以. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数为纯虚数列出方程，解出即可. 【详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得. 故答案为：1. 13. 已知函数在上单调，，则的可能取值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调区间确定，再根据确定关于周期的相应等式，结合其范围，即可求得答案. 【详解】设的周期为T，函数在上单调， 故； 由以及函数在上单调，得， 由，，得或或， 若，则； 若，则； 若，则； 故的可能取值为， 故答案为： 14. 已知函数（，）且），若恒成立，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分类讨论，两种情况，通过导数求导得到，再构造函数及导数方法求出其最小值，从而求解. 【详解】函数的定义域为， 当时，可得在上单调递增，，不合题意； 当时，，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，有极小值，也是最小值， 又因为且，所以， 则，得，所以， 设，，令，得， 当，， 当，， 所以在区间单调递减，单调递增， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：通过分类讨论，两种情况得到符合的情况，通过导数求导得到，再构造函数并利用导数求出其最小值即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式及其图象的对称中心的坐标； （2）将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图象上的各点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域． 【答案】（1）解析式：，对称中心：，. （2） 【解析】 【分析】（1）由图可得函数的最值、周期以及已知点，分别建立方程，解得解析式；根据正弦函数的对称中心，利用整体思想，可得答案. （2）根据函数图象变换，解得函数解析式，利用整体思想，结合正弦函数的单调性，可得答案. 【小问1详解】 由图象可知，函数的最大值为，最小值为，因为，所以. 又因为，所以周期；据周期公式，可得. 此时，图象过点， 将其代入函数可得，即. 所以，，解得，. 又因为，所以，.因此. 令，，解得，. 所以图象的对称中心的坐标为，. 【小问2详解】 将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象； 再将所得图象上的各点向右平移个单位长度，得到的图象. 当时，则， 由在上单调递增，在上单调递减； 当时，，； 当时，，； 所以在区间上的值域为. 16. 已知数列的前项的积记为，且满足 （1）证明：数列为等差数列; （2）若求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入到中，得，结合等差数列的定义可证结论正确； （2）由（1）求出，再求出，然后分组，利用等差数列求和公式和裂项求和方法可求出结果. 【小问1详解】 当时，，得， 当时，，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知，， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 . 17. 定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且. （1）证明：是倍角三角形； （2）若，当取最大值时，求. 【答案】（1）因为， 又,所以， 则， 又由余弦定理知，， 故可得， 由正弦定理，, 又, 代入上式可得, 即，， 则有,故是倍角三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明； （2）由正弦定理结合题中条件得到，结合三角形面积公式化为关于的表达式，构造函数，利用导数求得最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以, 故，则，又， 又，则, 则 , 设，， 则 令得或者（舍）， 且当时，， 当时，， 则在上单调递增， 在上单调递减， 故当时，取最大值， 此时也取最大值， 故为所求. 18. 对于函数，若，存在唯一的实数，使得，则称存在“数列”，其“数列”为，已知. （1）证明：存在“数列”. （2）若恒成立，求的取值范围. （3）记的“数列”为，证明：的前项和. 【答案】（1）由，得， 则在区间上单调递减，又， 当且时，，则的值域为， 所以，令，可知其在区间上存在唯一解，不妨设解为， 即，都存在唯一的实数，使得， 即存在数列. （2） （3）令，则， 可得在上单调递增，得到， 则，即， 可得，故， 而，可得，解得， 则（且）， 当时，； 当时，. 综上，的前项和. 【解析】 【分析】（1）由函数单调性和值域结合“数列”定义即可证明； （2）分离参数，利用导数研究函数的单调性求解最值即可求解； （3）由已知得，故，结合得到，即可推出，继而可用放缩法得到，从而利用裂项法求和，证明不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若恒成立，即恒成立. 令，即恒成立. 令，则， 令，， 则，当且仅当时取等号， 则在区间上单调递减， 得到，即，故在区间上单调递增， 可得，得到，即. 【小问3详解】 略 19. 已知函数，，. （1）讨论函数在区间上的单调性. （2）已知≠0时，. （i）若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围； （ii）当时，若，是函数的两个根，，且，，证明：. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. （2）（i） （ii）证明：当时，，所以， 令，则，故在区间上单调递增. 又，， 根据零点存在定理，存在唯一的，使得. 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以. 又，且， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 由于，且， 则，从而. 因为，，所以即证，即证. 令，， 则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 故. 【解析】 【分析】（1）求导，由导数符号即可求解； （2）（i），对其二次求导，通过，，三种情况讨论即可；（ii）通过二次求导结合零点存在定理，得到存在唯一的，当时， 单调递减，当时， 单调递增，进而得到，问题转化成证.构造函数，，通过其单调性即可求证. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以， 又在单调递增，当时，， 即时，， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 （i）因为， 所以，则， 令，则， 若，当时，，单调递减， 所以，单调递减，不符合题意； 若，当时，，单调递增， 所以，单调递增，不符合题意； 若，则在区间上有两个解，不妨设为，. 列表如下： x - 0 + 0 - ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 当时，，则在区间上没有零点. 要使在区间上有且仅有1个极值点， 则在区间上有且仅有一个变号零点， 则需要，即，解得. 又因为，所以. 当时，，， 由零点存在定理知，存在唯一零点，使得， 当时，，为单调递减， 当时，，为单调递增， 所以为的极小值点. 综上所述，a的取值范围为. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳一中2025年秋期高三年级期中考前模拟 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知正项等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知，为关于的实系数方程的两个虚根，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像是（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的终边落在直线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，求（ ） A. B. C. D. 8. 已知点满足：，是函数图象上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知向量，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若的夹角为钝角，则 D. 设在方向上的投影向量为，则的取值范围为 10. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则， 11. 设，都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有（a为常数），，则（ ） A. B. C. 为周期函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则实数__________. 13. 已知函数在上单调，，则的可能取值为______. 14. 已知函数（，）且），若恒成立，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式及其图象的对称中心的坐标； （2）将图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图象上的各点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域． 16. 已知数列的前项的积记为，且满足 （1）证明：数列为等差数列; （2）若求数列的前项和. 17. 定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且. （1）证明：是倍角三角形； （2）若，当取最大值时，求. 18. 对于函数，若，存在唯一的实数，使得，则称存在“数列”，其“数列”为，已知. （1）证明：存在“数列”. （2）若恒成立，求的取值范围. （3）记的“数列”为，证明：的前项和. 19. 已知函数，，. （1）讨论函数在区间上的单调性. （2）已知≠0时，. （i）若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围； （ii）当时，若，是函数的两个根，，且，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $