天津市咸水沽第一中学2025-2026学年高三上学期期中联合考试数学试卷

2025~2026学年度第一学期期中联合考试 高三数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟。 一、选择题（共9题，每题5分，满分45分） 1.已知集合U={x∈Z-4<x<4;,A={←1,3}，B={0,2,4;,则(A)门B=（） A.0,2}B.0,2C.[0,2] D.{2} 2.设甲：10g202s(11-1)>0;乙：2025m>2025",则甲是乙的（) A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.充分不必要条 件 3.已知a=log070.6,b=0.67,c=0.706,则（) A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a 4函数)1，smr的图象的大致形状是（) 1+2 B 01 5.设m,n,1是三条不同的直线，a,B,y是三个不同的平面，则下列四个命题中正确的 是（) A若m1B,m1/a,则a1B; B.若lCa,lLm,1Ln,mlB,lB,则a⊥B.; C.若a∩B=m,m11y,则a/1y,B11y; D.若alB,lCa,mCB,则m 6正项等差数列，}中，4，=，则+4的最小值为() a,a A.9 B. C.52 D.6 高三数学试卷第1页（共11页） 7设双曲线C:卡-1o00>0)的左焦点为只0为坐标原点，P为双曲线C右支 上的一点，PF.OP=PF.FO,FO在FP上的投影向量的模为 10F1,5甜线c 的离心率为（) B.V3+1 13 A.3 C.5 D. 8.已知将函数f(x)=2cos2(x+)-1的图象，函数f(x)的图像向左平移”个单位，再 向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图像，则下列说法正确的是（) A函数()图像关于号为对称 B.函数g(x)图像在(0，π)内有3个极值点 C.函数：)在？71上单调递增 D.函数g(x)图像关于亚.0)中心对称 12 9.已知函数f(x) x2-(a-)r+2a-2,x>0,若关于x的方程f)-(a-1)x=0至少有两 -1-1+x+2a,x≤0， 个不同的实数解，则实数a的取值范围为（) D.[小+j 二、填空题（共6题，每题5分，满分30分.） 10.已知i为虚数单位，(3+2i)z=8+i,则z= 的展开式中，x2项的系数为 12.1:x-y+6=0,与x轴交于点A,与y轴交于点B,与(x+1+(y-3=2(>0)交 于C、D两点，|AB=3CD,则r= 高三数学试卷第2页（共11页） 13.已知数列{an}的前n项和为Sn,若4，=2，a=2Sn+1(n∈N),则a=_ 14.VABC中，D为AB边中点，CE=CD,AB=a,AC=b,则E= 用a,b表 示)，若AE=1,AE⊥CB,则AE.CD= 15.一个底面半径为4cm,高为6cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个 半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 cm. 三、解答题（共6题，满分76分.） 16.(14分) 在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin B=√3 bcos A,c-2b=1,a=V7. (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求sin(A+2B)的值. 17.(15分) 如图，PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB/ICD,PQCD,AD=CD=DP=2PQ=2AB=2, 点E,F,M分别为AP,CD,BQ的中点. P B (I)求证：EF∥平面CPM; (2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小； )若N为线段C0上的点，且直线DN与平面OPM所成的角正弦值为0， 求N到平面 10 CPM的距离 高三数学试卷第3页（共11页） 18.(15分) 已知421是椭圈：等+若=a>6>0上的-点，且E的离心率为5， 斜率存在且 不过点4的直线与E相交于P,Q两点，直线P与直线A0的斜率之积为： (1)求椭圆E的方程 (2)证明：1的斜率为定值， 19.(15分) 已知各项均为正数的等差数列{an}的公差d不等于0，a,=2,设a、a,、a,是公比为q 的等比数列{b}的前三项 (1)求数列{an},{bn}的通项公式； 回设合没，求数列以)的前0项阳为， (3)设en=a,bn,求数列{en}的前n项和为E 20.(16分) 已知函数f(x)=ae-3ar+2sinx,a≠0. (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)若a>√2，且f(r)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围； (3)证明：当a∈L,+o)时，f(x)≥cosr. 高三数学试卷第4页（共11页） 答案 -1.A2.D3B4.C5.A6B7.D8.C9D 10.2-i,1.252,12.2,13.45,14①1f2r,②-，157-2 60￥ b 3 16(1)已知asin B=√3 bcos A,由正弦定理a b sin A sin B’ 得asin B=bsin A=V3bc0sA,显然cosA≠0，...2 得1anA=√，.3 由0<A<元， .4 故A= 35 @由)知es4,且e=2b+1,a=万， 由余弦定理a2=b2+c2-2 be cos A, 则7-分4(2b+-2×2h+=36+动+1， 7 解得b=1（b=-2舍去)，.8 故c=3;9 (3)由正弦定理。 b sin4 sin, 且b=l,a=V7,sin4=5 得simB=bsin4_V2i ..10 14 且a>b,则B为锐角， 故eosB=57, 14 ................... sin 2B-2sin BcosB53 14 12 /211 且cos2B=1-2sin2B=1 14=14 13 sin(+2B)=sin 4cos28+cos Asin28 一 2142147 ..14 高三数学试卷第5页（共11页） 17(1)连接EM,因为AB/1CD,PQ/1CD,所以AB/PQ,又因为AB=P,所以PABQ 为平行四边形 由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM/1AB且EM=AB, 因为AB/1CD,CD=2AB,F为CD的中点，所以CF/1AB且CF=AB,2 可得EM/1CF且EM=CF,即四边形EFCM为平行四边形，.......3 所以EF//MC,又EFt平面MPC,CMc平面MPC,..4 所以EF/平面MPC....5 (2)因为PD1平面ABCD,AD⊥CD,可以建立以D为原点，分别以DA,DC,DP的方 向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系.… .6 依题意可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(21,0),C(0,2,0),P(0,0,2),Q(0,12),M(1,1,1). PM=(1,1,-1）,P0=(0,1,0),CM=(1,-1,1),PC=(0,2,-2),7 设n=(x,八，z)为平面PMQ的法向量， 则 n·PM=0 hP0=0’ 即 D。0,不妨设21，可得n0.1,8 设n,=(xy,)为平面MPC的法向量， n,·PC=0 则 ∫2y-2=0 nCM=0’ -片+3=0不妨设=1，可得元-(@.11)，9 即 c0s（1,n2） 2 10 所以两平面夹角为 3 ............................................. (3)设QN=AQC(0s1),即QN=A0C=(0,入，-2入)，则N(0,A+1,2-2A): 从而D=(0入+1,2-2A)12 由(2)知平面PMQ的法向量为n=(1,0,1),设线面所成角的大小为8 高三数学试卷第6页（共11页） 由题意，sin9=cos(DN,n DN.m 0 2-2 DN网 即10 V(a+1)+(2-2A}V2’ 整理得+=10-，解得人-或-，因为0s5所以1-，B 所以0N-20c→Nc-30c-号0.1-2) .14 则N到平面CPM的距离为d= WCn21√2 555 15 D B 4,1 =1 2 60 18.(1)由题可知{ 5 2 解得a2=8,b=2,3 a2=b2+c2 故E的方程的 2 4 (2)设1的方程为y=+m,P(,乃)，Q(22),x≠2，x≠2 =1 联立方程组 82 y=kx+m 整理得(4k2+1)x2+8kx+4m2-8=0, △=64k2m2-(16k2+4)(42-8)=128k2-162+32>0 即m2<8k2+2, …7 高三数学试卷第7页（共11页） 则x+飞=- 8km 4m2-8 42+1,Xx2= 4k2+1’ 9 kko=当-.凸-1-+m-1+m-) x-2X2-2xx2-2(x+x2)+4 k2x2+k(m-1)(s+x2)+(m-1) xx2-2(x,+x2)+4 k2(4m2-8)8k2m(m-)+(4k2+1)(m2-2m+1) 4m2-8+16km+16k2+4 m2-2m-4k2+11 4m2+16km+16k2-44’ 整理得(2k+1)(m+2k-1)=0,.12 则k=-)或m+2k-1=0,13 若m+2k-1=0,则y=x+1-2k,则1过点A,不符合题意，14 故=，即的斜率为定值15 19.(1)由已知4、4、a,成等比数列，则a=a,a,即(2+2d)=2(2+6d), 整理可得d-d=0,:d≠0，.d=1, 所以，an=a+(n-1)d=n+1,.2 49-g=2,么=0=2，÷b,=bg1=24 a 高三数学试卷第8页（共11页） 2):d.=a,-2b.-m-12-22” (a-l0a。0n+）n+12,7 7=2222 2+2 十 十十 2132 n+l n 9 2 n+1 (3)e。=(n+1)22” En=22.2+32,2+42.23+…+(m+1)2.2 2En=22.22+32.23+42.24+…+(n+1)2.2 两式相减得 -E,=8+5·22+7,23+…+(2n+1)2”-(n+1)22 -En=2+3.2+5.2+7.23+…+(2n+1)2”-(n+1)221 11 令P=32+5.22+7.2++(2n+1)2 2P=3.22+5.23+7,2+…+(2n+1)21 -P=6+2(22+23+24+…+2")-(2n+1)2"+1 =6+2(-4+2+)-(2n+1)21 =(1-21)21-2 P=(2n-1)2++2 13 En=(n2+2)2+1-4 。。。。...。。.。。。.。。.。。。。。。。。.。。。。。。。。。。。。。。。。5 20.(1）当a=-1时，f(r)=e+3r+2sinr,则f(0)=1,1 f(x)=+3+2c0sx,则f'(0)=6,2 故曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=6x,即6x-y+1=03 高三数学试卷第9页（共11页） (2)因为f(x)在(0，+∞)上单调递增， v(x)=f(x)=a'e"-3a+2cosx.x>0, 则(x)=a'e-2sinr, 因为a>√2.x>0,所以a2e>2, 所以(x)=a'e-2sinr>0恒成立 所以f'(x)是(0，+oo)上的增函数… .6 所以f'(x)=a'e'-3a+2cosr≥0在(0，+o)上恒成立， 所以只需f'(0)=a2-3a+2≥0，又a>2,. 故a之2. .7 (3)因为cosr≤1，所以要证f(x)≥cosx, 只需证f(心）=a2e-3ar+2sinr21,8 令g(a)=ea2-3ra+2sinr-l,该二次函数的图象的对称轴为直线a= 3.x 2e’… 令，则， .9 令h'(r)>0,则x<1,h(x)<0,则x>1, 所以h(c)在(-o,1)上单调递增，在L,+o∞)上单调递减，l0 所以M=A0)=是<1，而以：o)在+m)上单调递增1 问题可转化为证明g()≥0，即证e-3x+2sinr-1≥0， 即证3x-2sinr+1】 12 e 令F(x)=3x-2sinr+1 e (x)=2-3x+2sinr-2cosx e y13 高三数学试卷第10页（共11页）