北京市汇文中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

期中考试初三年级数学学科 本试卷共8页，试卷分值为100分．考试时长120分钟．请考生务必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，1， C. 3，，2 D. 3，1，2 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 5. 遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从人口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从口驶出的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　） A. B. 2 C. 2 D. 8 7. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论： ①一个圆的“半径三角形”有无数个； ②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； ③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或； ④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题（本题共16分，每题2分） 9. 一元二次方程的根是______． 10. 点关于原点的对称点的坐标为______． 11. 一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是________度. 12. 如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为__________． 13. 某设计运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下： 设计次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以上”的概率是__________（精确到)． 14. 如图， 在平面直角坐标系中， 若与关于点成中心对称， 则对称中心点的坐标是______． 15. 如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CEAB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①a＞0；②b＞0；③4a+2b+c＜0；④AD+CE=4．其中所有正确结论的序号是_____． 16. 某快递员负责为，，，，五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量下表． 小区 需送快递数量 需取快递数量 15 6 10 5 8 5 4 7 13 4 （1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案______（写出小区编号）； （2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______（写出小区编号）． 三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题6分，第27－28题7分） 17 解方程：（2x+3）2﹣2x﹣3=0． 18. 已知是关于x的方程的一个根，求代数式的值． 19. 下面是小宇设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程． 已知： 求作：的内正方形． 作法：如图， ①作直径； ②分别以点，为圆心，以大于的同样长为半径作，两弧交于，两点； ③作直线交于点，； ④连接，，，． 所以四边形就是所求作的正方形． 根据小宇设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明 证明：在中 ∵，， ∴ ． ∴ ∴（ ① ）（填推理依据） ∴四边形是菱形（ ② ）（填推理的依据） ∵是的直径， ∴（ ③ ）（填推理的依据） ∴四边形是正方形． 20. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 21. 二十四节气是中华民族农耕文明的智慧结晶，是专属中国人的独特时间美学，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．如图，小文购买了四张形状、大小、质地均相同的“二十四节气”主题邮票，正面分别印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同的图案，背面完全相同，他将四张邮票洗匀后正面朝下放在桌面上． （1）小文从中随机抽取一张，抽出的邮票恰好是“大暑”的概率是______； （2）若印有“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四种不同图案的邮票分别用A，B，C，D表示，小文从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用画树状图或列表的方法求小文抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率． 22. 生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以为圆心为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点到顶棚的距离为，顶棚到路面的距离是，点到路面的距离为．请你求出路面的宽度．（用含的式子表示） 23. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：______，______；（用含的代数式表示） （2）求当何值时，？ （3）在动点，运动过程中，是否存在某个时刻使五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 24. 如图，是的直径，点C在上，连接，过点O作于点D，使得． （1）求证：为切线； （2）若，，求长． 25. 某公园有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的喷水枪喷出，水柱落于地面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水柱距喷水枪的水平距离为（单x位：m），距地面的垂直高度为y（单位：m），现测得x与y的几组对应数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 … 垂直高度y/m 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 … 请根据测得的数据，解决以下问题： （1）在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象； （2）结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为 m； （3）求所画图象对应的二次函数表达式； （4）公园准备在水柱下方的地面上竖直安装一根高的石柱，使该喷水枪喷出的水柱恰好经过石柱顶端，则石柱距喷水枪的水平距离为 m．（注：不考虑石柱粗细等其他因素） 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：过原点． （1）求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； （2）将抛物线向右平移3个单位，得到抛物线，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点． ①若，，则抛物线的解析式为________；的面积为________； ②已知在点从点运动到点的过程中，至少存在两个不同位置的使得的面积相同，求的取值范围． 27. 如图，在中，，．点是线段上一点，点是射线上一点，且满足，设． （1）如图1，当时，直接写出的度数； （2）如图2，当时，求出的度数（用含的式子表示）； （3）如图3，当时，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，，请补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（，分别是，的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”． （1）如图，点的横、纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______； （2）等腰直角三角形的斜边长为，点不为原点．若是的以点为中心的“关联线段”，在坐标系中画出点组成的图形． （3）在中，，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长． 期中考试初三年级数学学科 本试卷共8页，试卷分值为100分．考试时长120分钟．请考生务必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、填空题（本题共16分，每题2分） 【9题答案】 【答案】或 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】110 【12题答案】 【答案】（，0） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】②④##④② 【16题答案】 【答案】 ①. A，B，C(答案不唯一) ②. A，B，E 三、解答题（共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题6分，第27－28题7分） 【17题答案】 【答案】，x2=﹣1 【18题答案】 【答案】4 【19题答案】 【答案】（1）见解析；（2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；四条边相等的四边形是菱形；直径所对的圆心角是90度 【20题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【21题答案】 【答案】（1） （2） 【22题答案】 【答案】 【23题答案】 【答案】（1）， （2）当或时， （3）不存在，理由见详解 【24题答案】 【答案】（1）见解析； （2）的长为； 【25题答案】 【答案】（1）见解析 （2）3.2 （3） （4）1或9 【26题答案】 【答案】（1） （2）①；3；② 【27题答案】 【答案】（1） （2） （3）补全图形并证明见解析 【28题答案】 【答案】（1） （2）见解析 （3）的最小值为1，的长为，的最大值为2，的长为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $