精品解析：江苏省南京市南京一中、南京东南实验学校2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期高一年级期中考试 数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C D. 2. 命题“，”的否定是（   ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数既是奇函数又在单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D 若，则 6. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 7. 函数f(x)=|x|+ (aR)的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数为偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最小值为9 C. 有最小值为 D. 有最小值为3 10. 若函数在上为单调减函数，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，人们更习惯称之为“取整函数”.下列说法正确的是（ ） A. 函数，的图象不关于原点对称 B. 函数，值域为 C. ， D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算:___________. 13. 已知集合，若，则实数a等于_________ 14. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，， （1）当时，求集合A； （2）若，求a的取值范围. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求在上的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明你的结论. 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 18. 已知关于x的不等式． （1）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式． 19. 我们知道，函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：结论1“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”结论2 “函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数”.若函数的图像关于点对称，且当时， （1）求的值； （2）设函数 （i）证明：函数的图像关于点对称； （ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高一年级期中考试 数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合一元二次不等式求解和交集运算即可求解. 【详解】，又， 所以， 故选：A 2. 命题“，”的否定是（   ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为存在量词命题， 所以，该命题的否定为：，. 故选：D. 3. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数解析式由内到外逐层计算可得的值. 【详解】因为，则， 故. 故选：B. 4. 下列函数既是奇函数又在单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本函数的单调性，结合奇偶性的定义即可逐一求解. 【详解】对于A,函数在单调递减，故不符合要求， 对于B，在单调递减，故不符合要求， 对于D, 为对勾函数，故在单调递增，在单调递减，故不符合要求， 对于C，由于的定义域为，关于原点对称，且故为奇函数， 且函数均为上的单调递增函数，所以为上的单调递增函数，符合要求， 故选：C 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质，结合特殊值和作差法逐项判断即可. 【详解】对于A，取，则，故错误， 对于B，取，满足，此时，故错误， 对于C，因为，得， 则，即，正确， 对于D，由得， 所以，故错误， 故选：C 6. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 【答案】C 【解析】 【分析】将代入函数结合求得即可得解. 【详解】，所以，则， 所以，，解得. 故选：C 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 7. 函数f(x)=|x|+ (aR)的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 对分类讨论，将函数写成分段形式，利用对勾函数的单调性，逐一进行判断图象即可. 【详解】， ① 当时，，图象如A选项； ②当时，时，， 在递减，在递增； 时，，由，单调递减， 所以在上单调递减， 故图象为B； ③当时，时，，可得， ，在递增， 即在递增，图象为D； 故选：C. 8. 已知定义在上的函数为偶函数，，，，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，确定时的单调性，利用单调性求出时的解，从而得出时，的解，然后结合已知，利用偶函数性质得结论． 【详解】设， ，，， 即，所以在上是减函数， ，， 时，， 又是偶函数，所以时，的解为， 又因为，所以的解集为， 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为9 C. 有最小值 D. 有最小值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用基本不等式，可求得的最大值，判断A; 将变为 ，利用基本不等式求得其最小值，判断B;将 代入，利用二次函数知识可判断C,将代入，利用基本不等式可判断D. 【详解】由，，且，可知，即， 当且仅当 时取等号，故A正确； ， 当且仅当 即 时取等号，故B正确； 由，，且，可知，故， 当时，取得最小值为 ，故C错误； ，当且仅当，即时取等号， 故D正确， 故选：ABD 10. 若函数在上为单调减函数，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性，以及分段处函数值大小关系可构造不等式组求得结果. 【详解】在上为单调减函数，，解得：， 的值可以为或. 故选：CD. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：，，人们更习惯称之为“取整函数”.下列说法正确的是（ ） A. 函数，的图象不关于原点对称 B. 函数，的值域为 C. ， D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义，通过举例和讨论的方法，判断选项. 【详解】A.，， 所以函数，的图象不关于原点对称，故A正确； B.当，时，， 当时，， 所以函数，值域为，故B正确； C.当时，，，故C错误； D.不等式，即，得， 所以，故D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算:___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分数指数幂运算法则计算可得结果. 【详解】易知原式； 故答案为： 13. 已知集合，若，则实数a等于_________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据集合相等的定义以及元素的互异性可求解. 【详解】因为，所以，即， 解得或， 经检验时，，与集合中元素的互异性矛盾； 时，，满足题意. 故答案为：3 14. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的性质确定，进而利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可求解. 【详解】因为幂函数的图象关于轴对称， 且在上是减函数， ，则，当时是奇函数，不满足题意， ，时是偶函数且在上是减函数，，满足题意， 根据函数图象关于轴对称，且在上是减函数， 可得在上是增函数， 由可知定义域为， 由，可得， 所以， 即，解得或， 故答案为:. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，， （1）当时，求集合A； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）求解一元二次不等式即可； （2）分别讨论当，，时，写出集合A，列出满足的条件并求解即可. 【小问1详解】 当时，不等式的解集为，所以集合. 【小问2详解】 由得， ①当时，，满足题意，所以； ②当时，，要满足只要，解得； ③当时，，满足，故； 综上，的取值范围为. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求在上的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明你的结论. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质，得，再设，则，代入即可求解； （2）根据条件，利用函数单调性的定义进行判断、证明，即可求解. 【小问1详解】 因为是定义在的奇函数，所以， 当时，， 所以当时，则，则，则， 所以. 【小问2详解】 在上单调递减， 证明如下： 设，则 ， 因为，所以， 则，即， 即函数在上单调递减. 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立， 则，即在恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ，又，故. 18. 已知关于x的不等式． （1）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （2）当时，解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）不等式化为，求出最小值即可； （2）不等式化为，求出不等式对应方程的根，讨论两根的大小，即可得出不等式的解集． 【小问1详解】 不等式可化为， 当时，， 所以不等式化为，又因为，所以， 所以实数a的取值范围是； 【小问2详解】 不等式可化为， 因为，所以不等式对应方程的根为1和， 当时，， 所以时，不等式为，解得； 当时，，解不等式得； 当时，，解不等式得； 综上，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为． 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：结论1“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”结论2 “函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数”.若函数的图像关于点对称，且当时， （1）求的值； （2）设函数 （i）证明：函数的图像关于点对称； （ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）4 （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）由对称性得到，即可求解； （2）（i）由即可求证；（ii）分别计算的值域，由的值域是值域的子集即可求解. 【小问1详解】 因为函数的图像关于点对称， 则， 令，可得 【小问2详解】 （i）证明：由， 得， 所以函数的图像关于点对称. （ii），易知函数在上单调递增， 所以， 不妨设在上的值域为A， 对任意，总存在，使得成立，则， 当时，，且， 当，即，函数在上单调递增， 由对称性可知，在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，，所以， 所以，由，可得，解得， 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由对称性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性可得或， 因为，所以，， 又，， 所以，， 所以当时，成立. 当，即时，函数在上单调递减， 由对称性可知在上单调递减，因为，， 所以，所以， 由，可得，解得 综上所述，实数a的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $