精品解析：广东省广州市育才教育集团2025-2026学年上学期八年级期中考试数学试卷

广州育才教育集团2025学年第一学期初二期中联合调研 数学问卷 2025.11 本练习卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），总分120分，练习时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形是（ ） A. 2，5，7 B. 6，8，4 C. 3，4，8 D. 7，8，16 3. 如果一个三角形的三个内角度数之比为，则该三角形是（ ） A 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 4. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 6. 如图，已知点D在上，点B在上，，，则BC的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 12 D. 6 7. 将一副直角三角板如图所示放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 根据下列已知条件，能够画出唯一是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 物理中的小孔成像如图，一兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得，已知蜡烛成像火焰高度为，则蜡烛实际火焰的高度为__________． 12. 如图，在四边形中，，连接，点在边上，连接，与关于直线对称，若，则的度数为______． 13. 如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是______． 14. 如图，已知为的中线，的周长为，则的周长为 ___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2025次变换后点C的对应点的坐标为______． 16. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，相交于点O，若，则的值为______． 17. 如图，点在线段上，，，．求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，．在图中作出关于y轴对称的图形，并直接写出、两点的坐标． 19. 如图所示，在中，于点D，若，，求和的度数． 20. 如图，已知． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求的长． 21. 如图所示，作的角平分线交于点，作线段的垂直平分线分别交于点．若，，求的长． 22. 如图，外角平分线交边的垂直平分线于点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，在中，，，平分，于，交于.求证：（1）；（2）. 24. 通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 25. 如图，以长方形中顶点O为原点，以所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，满足． （1）求点A，B和C的坐标． （2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒速度匀速移动．Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿的路线移动，点Q到达C点整个运动随之结束．若长方形对角线，的交点D的坐标是，设运动时间为秒．问：是否存在这样的t，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）点F是线段上一点，满足，点G是第二象限中一点，连，使得．点E是线段上一动点，连交于点H，下列两个结论：①的值不变；②的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求其值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州育才教育集团2025学年第一学期初二期中联合调研 数学问卷 2025.11 本练习卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），总分120分，练习时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形沿着一条直线对折后直线两旁的两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2，5，7 B. 6，8，4 C. 3，4，8 D. 7，8，16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键，根据三角形三边关系逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故不符合题意； B、，能构成三角形，故符合题意； C、，不能构成三角形，故不符合题意； D、，不能构成三角形，故不符合题意； 故选：B． 3. 如果一个三角形的三个内角度数之比为，则该三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理，将角度比转化为具体度数，判断最大角的类型即可确定三角形的类别． 【详解】解：设三个内角的度数分别为、、， 根据三角形内角和为，可得： 解得： 因此，三个内角分别为：，， 最大角为，小于， 故三个角均为锐角， 因此，该三角形是锐角三角形， 故选A． 4. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形中的高线，根据三角形的高的定义，依次对选项中的图形进行判断即可得出答案． 【详解】解：选项A：线段是高，选项不符合题意； 选项B：线段是的高，选项不符合题意； 选项C：线段是的高，选项不符合题意； 选项D：线段是的高，选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( ) A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE， ∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF； ∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF； ∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键． 6. 如图，已知点D在上，点B在上，，，则BC的长为（ ） A. 7 B. 5 C. 12 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和与差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差得到即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选A． 7. 将一副直角三角板如图所示放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三内角之和等于求解．本题考查三角形内角之和等于． 【详解】解：依题意，如图． ，， ． 故选：C． 8. 根据下列已知条件，能够画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定、构成三角形的条件，根据、、、等条件判断是否能唯一确定三角形，同时检查三角形构成条件即可得出答案． 【详解】解：A、已知的三个角，不能唯一确定三角形，故此选项不符合题意； B、已知的两个角及其夹边，符合条件，能唯一确定三角形，符合题意； C、，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故此选项不符合题意； D、已知的两边及其中一边的对角，属于条件，不能唯一确定三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质，由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形高、中线、角平分线，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由是高得到，根据直角三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，则有，可判断①；根据直角三角形的性质得到，，则有，可判断②；根据中线的性质可判断③；根据三角形的面积公式可判断⑤；由题意无法证明，可判断④，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵是中线， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故⑤正确； 由题意无法证明，故④不正确； ∴综上所述，结论正确的有①②③⑤，共4个， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 物理中的小孔成像如图，一兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得，已知蜡烛成像火焰高度为，则蜡烛实际火焰的高度为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．利用边角边证明，即可求解． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴， 即蜡烛实际火焰的高度为． 故答案为： 12. 如图，在四边形中，，连接，点在边上，连接，与关于直线对称，若，则的度数为______． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 根据轴对称可得，再由三角形的外角定理得到，据此即可求解． 【详解】解：∵与关于直线对称，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： ． 13. 如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，设这个多边形的边数为，根据多边形内角和建立方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得：． 故答案为：8． 14. 如图，已知为中线，的周长为，则的周长为 ___________． 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线， 根据三角形中线的定义得，再结合，可得，最后根据的周长为可得答案. 【详解】解：∵是的中线， ∴. ∵的周长为， ∴. ∵， ∴， ∴的周长为. 故答案为：22. 15. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点C的坐标是．则经过第2025次变换后点C的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律和轴对称．根据题意点的坐标变化规律为每4次对称变换为一个循环．据此进行解答即可． 【详解】解：点C第1次关于y轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 第2次关于x轴对称后对应点在第三象限，坐标为， 第3次关于y轴对称后的对应点在第四象限，坐标为， 第4次关于x轴对称后的对应点在第二象限，坐标为， 即点C回到了原始位置， ∴每4次对称变换为一个循环． ∵， ∴经过第2025次变换后点C的对应点与第1次变换后的位置相同，在第二象限，坐标为． 故答案为：． 16. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，相交于点O，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线基本性质以及全等三角形的证明及性质，能够正确做出辅助线是解题关键； 在上取点H，使，连接，，过H作于I，过H作于J，利用角平分线和三角形内角和求出，证明，得到，则，由得到，再利用面积的和差关系和比例的性质即可得到答案． 【详解】解：如图，在上取点H，使，连接，，过H作于I，过H作于J， ∵， ∴， ∵平分交于点D，平分交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分交于点D，平分交于点E， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 17. 如图，点在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后证明出，最后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，．在图中作出关于y轴对称的图形，并直接写出、两点的坐标． 【答案】图见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键． 先描出，并顺次连接即可得到图形，进而可得到答案． 【详解】解：如图所示，即为所求；其中． 19. 如图所示，在中，于点D，若，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟知三角形的内角和是180度是解题的关键； 根据垂直的定义可得，根据平角的定义可得，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，， ∴； ∵， ∴， ∴在中，． 20. 如图，已知． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1），理由见解析 （2）5 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质、平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是关键． （1）根据全等三角形对应角相等得到，即可证明； （2）根据全等三角形对应边相等得到，进一步利用线段之间的关系进行解答即可． 【小问1详解】 解：． 理由：， ， ． 【小问2详解】 ， ， ，即， ， ， ， 21. 如图所示，作的角平分线交于点，作线段的垂直平分线分别交于点．若，，求的长． 【答案】图见解析， 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，角平分线的定义，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确作图． 利用尺规根据要求作出图形即可．先通过垂直平分线性质得，，再通过角平分线得，进而可知，得到，再利用线段和差关系即可得到答案． 【详解】解：如图： 垂直平分线段， ∴，， 平分， ， ， ， ∴． 22. 如图，的外角平分线交边的垂直平分线于点，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【小问1详解】 证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 23. 如图，在中，，，平分，于，交于.求证：（1）；（2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接DF，证△FAE≌△OAE，推出AF＝AO，∠AFO＝∠AOF，求出OD＝DF，求出BF＝DF，即可得出答案； （2）在AD上截AM＝OF，连接OM，证△AMO≌△OFB，推出MO＝BF＝OD，求出DE＝ME，AD−OF＝DM＝2DE，即可证明． 【详解】证明：（1）连接DF， ∵OF⊥AD， ∴∠AEF＝∠AEO＝90°， ∵AD平分∠FAO， ∴∠FAE＝∠OAE， 在△FAE和△OAE中， ∴△FAE≌△OAE（ASA）， ∴AF＝AO，∠AFO＝∠AOF， ∵AD⊥OF， ∴FE＝OE， ∴DF＝DO， ∴∠DFO＝∠DOF， ∵∠AFO＝∠AOF， ∴∠AFD＝∠AOB＝90°， ∵∠AOB＝90°，AO＝BO， ∴∠B＝45°， ∴∠FDB＝∠AFO−∠B＝90°−45°＝45°＝∠B， ∴BF＝DF， ∴OD＝BF； （2）解：在AD上截AM＝OF，连接OM， ∵∠OAB＝∠B＝45°，AD平分∠OAB， ∴∠OAM＝22.5°， ∵OD＝DF， ∴∠DFO＝∠DOF， ∵∠FDB＝45°＝∠DFO＋∠DOF， ∴∠FOB＝22.5°＝∠OAM， 在△AMO和△OFB中， ∴△AMO≌△OFB（SAS）， ∴MO＝BF＝OD， ∵OF⊥AD， ∴DE＝ME， ∴AD−OF＝DM＝2DE． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力． 24. 通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由即可求解； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 证明：作 由“K字模型”可得： ∴ 即：点G是的中点 【小问3详解】 解：作，如图： ∵四边形和四边形均为正方形 ∴ 由“K字模型”可得： 即： ∵ ∴ 【点睛】本题考查了“一线三等角”的全等模型，熟悉模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． 25. 如图，以长方形中顶点O为原点，以所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点，满足． （1）求点A，B和C的坐标． （2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动．Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿的路线移动，点Q到达C点整个运动随之结束．若长方形对角线，的交点D的坐标是，设运动时间为秒．问：是否存在这样的t，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）点F是线段上一点，满足，点G是第二象限中一点，连，使得．点E是线段上一动点，连交于点H，下列两个结论：①的值不变；②的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求其值． 【答案】（1）；； （2）存在；或 （3）结论②正确；其值为2 【解析】 【分析】（1）由题意知，，可求，然后作答即可； （2）分三种情况进行讨论：当时，点P在上，点Q在上，当时，点P在y轴的负半轴上，点Q在上， 当时，点P在y轴的负半轴上，点Q在上，分别画出图形，求出结果即可； （3）过H点作的平行线，交x轴于P，先判定，再根据角的和差关系以及平行线的性质，得出，，最后代入进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得，， ∴C点的坐标为；A点的坐标为；B点的坐标为； 【小问2详解】 解：存在； 当时，点P在上，点Q在上，如图所示： 则，， ∵，D的坐标是， ∴， 解得：； 当时，点P在y轴的负半轴上，点Q在上，如图所示： 则，，， ∴， ， ∵， ∴， 解得：； 当时，点P在y轴的负半轴上，点Q在上，如图所示： 则，， ∴， ， ∵， ∴， 此方程无解； 综上分析可知：当时，或； 【小问3详解】 解：结论②正确；其值为2． ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过H点作的平行线，交x轴于P，则，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形、非负数的性质、三角形的面积、一元一次方程的应用，三角形外角的性质，平行线的判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $