4.4.2计算函数零点的二分法 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“计算函数零点的二分法”，通过电话线路故障检修情境导入，衔接方程根与函数零点的关系、零点存在性定理等旧知，构建从零点存在性到近似解的学习支架。 特色在于情境导入激发探究欲，讨论升华环节通过四个问题深化二分法原理，结合微课与ggb动态表格直观呈现逼近过程，思维导图系统梳理知识。落实直观想象、逻辑推理等核心素养，如例1转化曲线交点为函数零点求解，助力学生形成函数与方程思想，教师教学流程清晰资源丰富。

《计算函数零点的二分法》教学设计 一、内容分析 学生在湘教版高中教材《数学.必修.第一册》4.4.1方程的根与函数的零点中，通过引入函数零点，将方程的解转化为函数零点；应用函数零点存在性定理解决了连续函数零点的存在性问题，进而确定了方程的有解区间.本节课，需要更进一步，学习二分法，通过缩小区间逼近零点，进而探求方程的近似解. 二、教学目的 掌握二分法定义.理解用二分法求方程的近似解的基本思想，能根据具体函数的图象，借助计算器或计算机用二分法求相应方程的近似解.通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程的根之间的内在联系，形成用函数观点处理方程问题的意识，进一步领会“函数与方程思想”. 三、重点难点 重点：能够借助计算器，用二分法求相应方程的近似解；根所在区间的确定及逼近的思想. 难点：对二分法的理论支撑，区间长度的缩小. 四、核心素养 ●直观想象、●数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、○数学建模． 五、教学准备 课件； 联网演示电脑. 六、教学流程 旧知回顾 ->情境导入 ->新知探索 ->讨论升华 ->总结提升 ->典型剖析 ->练习巩固 ->归纳小结 七、教学过程 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配 ㈠旧知回顾 复习1：方程实根与对应函数零点之间有什么联系？ 回答：方程的实数根 函数的图象与轴交点的横坐标 函数的零点 复习2：请口述零点存在性定理. 回答：如果函数的图象连续，且有，则存在，使得. 1.开始语：前面我们学习了方程的根与函数的零点.给出复习提问，请一个同学回答. 2.继续看复习2，请一个同学回答，教师板书作图，强化学生记忆. 1.回顾方程的根与函数的零点的关系. 2.回顾零点存在性定理. 2分钟 ㈡情境导入 问题：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10km长的线路，在这条线路上有200多根电线杆.想一想：维修工人应怎样最合理地迅速查出故障所在地呢？ 方案：如图，工人首先从线路的中点C查起，如果CB段正常，就选择CA的中点D测试；如果DA段正常，就选择DC的中点E继续测试……像检修线路所用的这种方法称作二分法. 启发：二分法还可以用来寻找函数的零点，迅速地缩小搜索范围，接近零点的准确位置. 1.给出问题情境，学生思考，学生发言，教师引导并板书. 2.教师给出方案，渗透二分法思想，引导学生迁移到函数零点的求解. 创设问题情境，渗透二分法思想，激发学生学习动机. 5分钟 ㈢新知探索 问题：在上一节课，我们已经说明了在上恰有一个零点.试用二分法来计算这个零点的更精确的近似值（误差不超过0.001）. 回顾：假设在上零点为， “缩小搜索范围”原理分析： 如此类推，可以不断缩小零点所在区间. 给出问题，学生思考.教师可以引导学生进行类比，把初始区间端点看作“闸房”和“指挥部”，零点看作“故障点”. 由问题情境引出对旧问题的进一步思考.层层铺垫，引导学生思考. 5分钟 ㈣讨论升华 讨论1：何时结束计算？计算一定会终止吗？要取多少次中点？ 讨论2：如果在某一轮分析中，区间中点函数值为0，说明什么？ 讨论3：零点所在区间长度不断减半，何时结束？精确度0.001起什么作用？ 讨论4：不同的初始区间，会对结果有什么影响？ 教师同时给出讨论1、2、3、4，学生思考与讨论，教师引导学生分享讨论成果. 1.讨论2和讨论3实际上在回答讨论1. 2.讨论2代表特殊情况，直接获得零点的精确值. 3.讨论3代表精确度是终止计算的一个指标. 4.讨论4代表数学中的一般性研究. 6分钟 ㈤总结提升 总结1：观看剪辑微课，学习二分法的定义，学习程序框图，学习用二分法求函数零点近似值的一般操作方法. 总结2：在上零点的近似解分析. 1.教师通过微课呈现，二分法的定义和二分法求函数零点近似值的一般操作方法，作为讨论升华的总结. 2.教师借助ggb课件进行计算，完善新知探索的问题的求解和表达. 1.剪辑微课授课，轻松、生动、精细. 2.ggb课件以动态表格的形式呈现每一次计算，使计算过程直观化，帮助学生直观感受逼近思想及算法思想. 5分钟 ㈥典例剖析 例1.求曲线和直线y＝﹣x+2的交点的横坐标（误差不超过0.01）. 分析： (1) 曲线和直线y＝﹣x+2的交点的横坐标应满足等式，即，则交点的横坐标是函数的零点. (2)由和可知在区间内有一个零点；由在定义域内单调递增可知它只有这一个零点. (3)用二分法计算，借助计算器，列表分析. 给出例1（课本P130例5），学生口述解答，教师教师板演，给出规范表达格式. 例1代表曲线交点问题等价转化为函数零点问题，体现化归思想. 10分钟 ㈦练习巩固 练习1.用二分法求方程的根的近似值（误差不超过0.001）. 练习2：借助计算器或计算机，用二分法求方程在区间上的根的近似值（误差不超过0.001）. 练习3：求曲线和直线的交点的横坐标（误差不超过0.01）. 同时给出练习1、练习2、练习3，每个学生各从中选择1个当堂练习.，借助计算器完成. 通过练习，巩固所学知识，发现学生错误并及时纠正. 5分钟 ㈧归纳小结 本节课学习了一些？ 使用思维导图总结. 系统梳理整节课所学内容. 2分钟 八、板书设计 大致板书如下： （零点存在性定理） （问题情境的图形分析） （讨论升华板书） （例1规范表达） （讲课草稿演算区） 学科网（北京）股份有限公司 $