精品解析：天津外国语大学附属滨海外国语学校2025-2026学年高二上学期期中数学试题

2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分． 1. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 2. 方程表示椭圆的充要条件是（ ）. A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助椭圆的标准方程与充要条件的定义计算即可. 【详解】若表示椭圆， 则，解得或. 故选：. 3. 已知直线：和：．若，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 1或3 D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】借助直线平行性质计算即可得，注意检验是否重合. 【详解】由，则有，即， 解得或， 当时，有，， 即两直线重合，不符，故舍去， 当时，有，， 符合要求，故. 故选：B. 4. 已知圆与圆，则两圆的公共弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】把两个圆的方程相减可得相交弦所在直线方程，通过半弦长，半径，弦心距的直角三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长. 【详解】圆与圆的方程相减可得公共弦所在的直线方程为， 由于圆的圆心到直线的距离为1，且圆的半径为2， 故公共弦的长为， 故选：B. 【点睛】本题考查两圆的位置关系，相交弦所在的直线方程，弦长，重点考查计算能力，属于基础题型. 5. 若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出，坐标，利用点在椭圆上，通过平方差公式，结合中点坐标，求出直线的斜率，然后求解直线方程． 【详解】解：设弦的两端点为，，，，为中点，，在椭圆上，， ， 两式相减得：， ，，可得：， 则，且过点，有，整理得． 故选：A． 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 6. 已知两点，，直线l过点且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】画出图形，数形结合可得或，即可求出. 【详解】如图，要使直线与线段相交，则应满足或， 因为，， 所以或. 故选：A. 7. 已知，，，则点C到直线AB的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用空间向量的坐标运算求在上投影长及的模长，再应用勾股定理求点C到直线AB的距离. 【详解】因为，，所以． 设点C到直线AB的距离为d，则 故选：D 8. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 9. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 第Ⅱ卷（非选择题）共105分 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】空间向量，，则向量在向量上的投影向量为： 故答案为： 11. 设直线的方程为，若在两坐标轴上的截距相等，则的方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据截距相等可分为截距均为和不为两种情况，分别在两种情况下求解出的值，则可得直线方程. 【详解】当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为，显然满足题意 直线方程为： 当直线不过原点，即时 由截距存在且均不为，得：，解得： 直线方程为： 综上所述：的方程为：或 本题正确结果：或 【点睛】本题考查直线方程的求解问题，易错点是忽略截距均为零的情况. 12. 已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是______． 【答案】3或 【解析】 【分析】由题意可得两圆内切，然后求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，由圆心距等于两半径的差列方程求解即可. 【详解】因为两圆有一条公切线，所以两圆内切． 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 而两圆圆心距，即， 解得的值为3或． 故答案为：3或 13. 若直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式与弦长公式计算即可. 【详解】由题意可知圆心到直线的距离， 即，解得，所以. 故答案为： 14. 曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】在曲线上任取一点，求出点关于直线的对称点的坐标，将点的坐标代入曲线的方程，化简可得出曲线的方程. 【详解】在曲线上任取一点，则点关于直线的对称点为， 因为点在曲线上，则有， 即为. 故曲线的方程为. 故答案为：. 15. 直线，则直线l恒过定点____，与曲线仅有一个公共点，则实数的的取值范围是________． 【答案】 ①. (2，4) ②. 【解析】 【分析】根据直线点斜式方程求出定点，题中曲线为半圆，数形结合判断直线与它的交点个数，进而得到k的范围﹒ 【详解】解：直线恒过点． 由题知曲线即，表示以为圆心，2为半径的半圆，该半圆位于直线上方，如图： 因为直线与曲线只有一个交点， 由圆心到直线的距离等于半径得，解得， 由图，当直线经过点时，直线的斜率为， 当直线经过点时，直线的斜率不存在， 综上，实数的取值范围是，或， 故答案为：(2，4)； 三、解答题：本题共5小题，共45分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【小问1详解】 由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 圆心到直线的距离为，则， 所以，解得. 17. 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合平行线的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）结合（1）的结论建立空间直角坐标系，利用线面角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 证明：如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面. 【小问2详解】 由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，. 设平面的法向量， 则即 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面夹角的正弦值为. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，M是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取的中点E，连接，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，求出相关点坐标并求出相关平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值； （3）根据，设且，由点到平面距离的向量求法列出方程，求参数即可得. 【小问1详解】 取的中点E，连接，因为M是的中点，所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 由题意平面且，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 又因为，是的中点， 所以，显然平面的一个法向量为， 设平面PCD的一个法向量为，， 所以，令，则， 所以， 所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为； 【小问3详解】 设且，， 则，，， 设平面PAQ的法向量为，则， 令，所以，又点D到平面的距离为， 又，所以， 所以，则，解得， 所以存在点Q，使得点D到平面的距离为，此时. 19. 已知焦点在轴上的椭圆，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右顶点为，过的直线与椭圆交于点、，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆的标准方程； （2）分析可知直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式求出的值，即可求得直线的方程. 【小问1详解】 椭圆半焦距c，由已知可得，解得，因此，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：易知点、， 若直线与轴重合，则、为椭圆的长轴顶点，不符合题意， 所以，直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以，， ， 整理可得，解得， 因此，直线的方程为或. 20. 已知椭圆的左顶点A与上顶点B的距离为. （1）求椭圆C的方程和焦点的坐标； （2）点P在椭圆C上，且P点不在x轴上，线段的垂直平分线与y轴相交于点Q，若为等边三角形，求点的P横坐标. 【答案】（1）椭圆方程为，焦点坐标为； （2）． 【解析】 【分析】（1）由，求得，得椭圆方程，再计算得焦点坐标； （2）设方程为，，代入椭圆方程求得点坐标，然后求出的中垂线方程，得点坐标，再利用求得后得点横坐标． 【小问1详解】 由题意左顶点A与上顶点B的距离为，解得，所以， 椭圆方程为，焦点坐标为； 【小问2详解】 由已知，设方程为，，代入椭圆方程并整理得： ， 由是此方程的一个解得，所以， 的中点坐标为， 的垂直平分线方程为， 令得， 为等边三角形，则， 所以， 解得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期中模拟卷 第一部分（选择题 共45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分． 1. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 2. 方程表示椭圆的充要条件是（ ）. A. B. 或 C. D. 3. 已知直线：和：．若，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 1或3 D. 或3 4. 已知圆与圆，则两圆的公共弦长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 5. 若过椭圆内一点弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知两点，，直线l过点且与线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 7. 已知，，，则点C到直线AB距离为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C D. 9. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题）共105分 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 11. 设直线的方程为，若在两坐标轴上的截距相等，则的方程为______. 12. 已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是______． 13. 若直线与圆相交于两点，且（坐标原点），则__________. 14. 曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为______． 15. 直线，则直线l恒过定点____，与曲线仅有一个公共点，则实数的的取值范围是________． 三、解答题：本题共5小题，共45分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 17. 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，M是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知焦点在轴上的椭圆，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右顶点为，过的直线与椭圆交于点、，且，求直线的方程． 20. 已知椭圆的左顶点A与上顶点B的距离为. （1）求椭圆C的方程和焦点的坐标； （2）点P在椭圆C上，且P点不在x轴上，线段的垂直平分线与y轴相交于点Q，若为等边三角形，求点的P横坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $