第27章相似 单元综合达标测试题 2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《第27章相似》单元综合达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．若，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．下列语句描述的各组图形中，不一定是相似形的是（   ） A．两个半径不等的圆 B．两个边长不等的正方形 C．两个大小不等的正三角形 D．两个长、宽均不相等的矩形 3．已知，且，则与的面积比为（　） A． B． C． D． 4．已知，求作，则下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，，若，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 6．如图，在正方形中，、分别为边、延长线上的点，连接、、，，与交于点，若，则的长为（   ） A．30 B．25 C．20 D．18 7．如图，在中，，，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，点和点同时出发．则运动（   ）时，以点、、为顶点的三角形与相似 A．4或6 B．5 C．6或 D．3 8．如图，中，两个顶点在轴上方，点的坐标是，以点为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍，设点的对应点的横坐标为2，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．已知线段是线段，的比例中项线段，若，，则 10．如图，四边形四边形，若，则 ． 11．如图，请添加一个条件，使与相似，那么这个条件可以是 ． 12．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台的长为，一名主持人现在站在A处，要想主持效果最理想，则他至少要走 ． 一 13．如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是，则实像的高是 ． 14．如图：，分别交、、于点E、F、G，已知，，，，则 ． 15．如图是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 ． 16．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 三、解答题（满分72分） 17．（1）已知，求的值． （2）已知，求证：． 18．如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 19．如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的面积． 20．国际会议中心是亚洲最大的单体木制结构建筑．小明利用硬纸板自制测量国际会议中心的高度，他们通过调整位置，使斜边与点B在同一直线上 （如图所示），另一条直角边与会议中心顶点A在同一直线上，目测点到地面的距离米，到会议中心的水平距离米．已知米，米，求会议中心的高度． 21．如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 22．如图，小明利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了的位似图形． (1)在图中标出和的位似中心点的位置，并写出点的坐标． (2)若以点为位似中心，请在方格图中画出的位似图形，且与的相似比为，并写出点的对应点的坐标． 23．如图1：这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△中，，将线段绕点顺时针旋转得线段，作交的延长线于点． (1)如图2：通过观察，线段与的数量关系是 ； (2)如图3：连接并延长交的延长线于点，若，，求 的面积． 24．学科实践--测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯、旗杆的高度．活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具． 方案设计及问题解决（图中各点均在同一竖直平面内）： (1)笃行组进行路灯测量（如图1），在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过．测量数据：米，米．计算图1中路灯的高度． (2)缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量，操作中发现：由于国旗杆底部台阶影响，无法测得线段的长，因此不能求得国旗杆高度．于是对笃行组的方案作出补充：在如图2中仍先直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A，测得线段米；再直立一根同样高度的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A．并测得米，计算国旗杆的高度． 25．【问题提出】 已知：正方形和正方形有公共顶点，把正方形绕点顺时针旋转一定的度数，连接，探究的长． 【问题探究】 （1）已知正方形的边长为，正方形的边长为．如图，若正方形的边落在正方形的边上，求的长． （2）已知正方形的边长为，正方形的边长为，如图，将正方形由图中的位置绕点顺时针旋转，求的长． 【拓展应用】 （3）如图，已知矩形和矩形全等，把矩形绕点顺时针旋转，使所在的直线恰好过的中点，当，时，求的长． 参考答案 1．解：、∵， ∴，与矛盾，不符合题意； 、∵， ∴，与一致，符合题意； 、∵， ∴，与矛盾，不符合题意； 、∵， ∴，与矛盾，不符合题意； 故选：． 2．D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，对应角相等且对应边成比例的图形为相似图形，据此可得答案． 【详解】解：A、两个半径不等的圆一定相似，不符合题意； B、两个边长不等的正方形一定相似，不符合题意； C、两个大小不等的正三角形一定相似，不符合题意； D、两个长、宽均不相等的矩形不一定相似，符合题意； 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此进行分析列式，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴相似比为， ∴则与的面积比为， 故选：A 4．A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解． 【详解】解：即， ．根据作图可知：，符合题意，故该选项符合题意； ．根据作图可知：，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和运用平行线分线段成比例定理是解决本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，列式计算即可求解． 【详解】， ， ，， ， 解得． 故选：D． 6．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，由正方形的性质可得，，，由可求出，由勾股定理得出，证明，根据相似三角形的性质得出，再证明，可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再分和两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和两种情况， 当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得； 综上所述，运动或时，以点、、为顶点的三角形与相似， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定与性质、点坐标与图形、熟练掌握位似图形的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，先求出，，再根据位似图形的性质可得点在同一条直线上，且，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，则可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵点的坐标是，点的对应点的横坐标为2， ∴，， ∵以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，得到，并把放大到原来的2倍， ∴点在同一条直线上，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵点位于第二象限， ∴点的横坐标为， 故选：D． 9． 【分析】本题考查了线段比例中项的定义，如果线段是线段，的比例中项，则，据此即可求解． 【详解】解：∵线段是线段，的比例中项线段， ∴， ∴． 故答案为： 10．130 【分析】本题考查四边形的内角和及相似的性质．根据四边形的内角和为求出的度数，再根据图形相似的性质即可求出． 【详解】解：在四边形中，， ∵四边形四边形， ∴， 故答案为：130． 11．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴当添加或时，则可根据“两个三角形的两组角对应相等，则这两个三角形相似”判定； 当添加时，则可根据“两组边对应成比例且夹角相等，则这两个三角形相似”判定； 故答案为（答案不唯一）． 12．/ 【分析】本题考查了黄金分割的概念，根据题意画出图形，再根据黄金比列出比例式即可求解，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键． 【详解】解：设一个主持人现在站在处，则他应至少再走才最理想，则， 若是与的比例中项， 则，即， 解得（负值舍去）； 若是与的比例中项， 则，即， 解得：或（舍去）； ∵， ∴他应至少再走才最理想， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．根据相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图所示： 根据题意得：， ∴， ∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，若烛焰的高是， ∴， ∴ 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．先证明，，然后根据相似三角形性质求出，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 即，， ∴，， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： 16． 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，判定出和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 17．（1）；（2）见解析 【分析】分析片段 已知，将变形为，即，求得，将变形为，即可求解. 设，分别计算左边和右边，可以解决问题. 【详解】解：（1）， ． （2）证明：设，则． 将代入等式左右两边，得左边，右边， 左边右边，即． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用参数解决问题. 18．证明见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理；解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，证明三边成比例． 根据正方形的性质和勾股定理求出的长，得出 ，再根据相似三角形的判定方法即可证明． 【详解】证明：由题意可知，．由勾股定理，得． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过，，证明，又，即可得证； （2）由（1）可知，，然后利用对应边成比例，即可得到的长度，然后利用求得面积． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 20．26米 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质的应用，勾股定理，矩形的性质和判定， 根据勾股定理求出，再说明四边形是矩形，可得，然后证明，根据相似三角形的对应边成比例求出，最后根据得出答案. 【详解】解：在中，米，米， ∴米. ∵， ∴四边形是矩形， ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得米， ∴米. 所以会议中心的高度为26米. 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练利用相关性质是解题的关键． （1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，利用切线的性质得到，再根据等角的余角相等证明，然后利用得到结论； （2）设的半径为，则，证明得到，求得，则设，则，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 为直径， ， 为的切线， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得， ． 22．(1)见解析， (2)见解析， 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的位似变换，涉及位似中心的确定、位似图形的绘制以及根据位似关系确定点的坐标． （1）连接、，交点即为； （2）根据位似变换的性质，以为位似中心，按照位似比确定、的位置，从而绘制出，根据图形即可确定点的坐标． 【详解】（1）如图，点即为所求，点的坐标为； （2）如上图，即为所求，点的坐标为． 23．(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键． （1）先证明，然后根据全等三角形的性质即可解答即可得证； （2）先证明，再根据相似三角形的性质列比例式求得长度，然后运用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵将线段绕点B顺时针旋转90°得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 24．(1)路灯的高度为5.8米 (2)米 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和应用．解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． （1）根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； （2）首先根据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据又米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． 【详解】（1）解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； （2）解： ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 即国旗杆的高度为米． 25．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用勾股定理求出的长； （2）连接，可证点、、三点共线，利用正方形的性质可求，再利用勾股定理求出的长度； （3）过点作垂足位于的延长线上，可证，利用相似三角形的性质求出，，再利用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：正方形的边长为，正方形的边长为， ，，， ∴， ∴E、A、B在同一直线上， ， 在中，， ； （2）解：连接，如图所示： 四边形是正方形， ， 由旋转可知，， 点、、三点共线， 正方形的边长为， ， 正方形的边长为， ，， 在中，； （3）解：延长，过点作于点M，如图所示： ∴， ， 四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， 四边形是矩形， ，，， 由旋转可知，， 在中，， ， ，， 在中，． 学科网（北京）股份有限公司 $