广西南宁市第二中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

南宁二中2025-2026学年度上学期高一期中考试 数 学 （时间120分钟，共150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡 上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好 条形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 一、单选题 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（ ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A．) B． C． D． 5．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 6．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微。在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，或用函数的解析式来研究函数图象的特征，据此判断函数 的图象大致为（ ） 7．若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．若命题是假命题，则的取值范围为（ ） A． В． C． D． 二、多选题 9．下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ） A．幂函数的图象都经过第一象限 B．幂函数的图象一定经过点 C．当时，幂函数在上单调递增 D．幂函数的定义域为 10．若都为正实数，且，则（ ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C． 的最小值为9 D． 11．已知定义在上的函数满足，当时，， ，则（ ） A． B．为偶函数 C．在上单调递增 D．当时， 三、填空题 12．若函数是定义在上的偶函数， 则 ▲ . 13．已知函数 ，若 为 上的减函数，则的取值范围为 ▲ . 14．设函数和，若两函数在区间 上的单调性相同，则把区间 叫做 的“稳定区间”，已知区间为函数 的“稳定区间”，则实数 的取值范围为 ▲ . 四、解答题 15．（13分）化简求值： （1） ； （2）已知，，求 的值； （3）已知 ，求 的值. 16．当前，我国机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，服务机器人、特种机器人行业应用深度和广度逐年显著提升，机器人促进经济社会高质量发展的能力明显增强.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共 万元，每年电池销售收入为 万元，设使用该批智能机器人后，前年的总盈利额为万元. （1）写出关于的函数解析式； （2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以 万价格处理； 方案二：当年平均盈 智能机器人以 万元的价格处理.试判断哪种方案更合理？并说明理由. 17．（15分）已知幂函数 在上单调递减. （1）求的解析式； （2）解关于的不等式：. 18．（17分）人教A版高中数学必修一教材中指出：函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为： 函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. 类比上述推广结论可知，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. （1）已知函数，求证：为轴对称图形并求出其对称轴； （2）若函数的图象关于直线对称，且当时， （i）求的解析式； （ii）求不等式的解集. 19．（17分）已知 （1）求证的是奇性函数； （2）求的值域； （3）若函数 ,是否存在实数，使得对于区间上任意三个实 数，都存在以，，为边长的三角形？若存在，求实数的取值范 围；若不存在，请说明理由. 南宁二中2025——2026学年度上学期高一期中考试 数学答案详解 一、单选题 1．B 【详解】因为， 所以， 故选：B． 2．B 3．C 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：C. 4．A 【分析】利用抽象函数的定义域求法计算即可. 【详解】由，得，所以函数的定义域为． 故选：A 5．C 【详解】因为在内单调递增，则，即； 又因为在内单调递增，则，即； 综上所述：. 故选：C 6．D 【详解】的定义域是，关于原点对称， ，是偶函数，排除BC； 又时，，是增函数，排除A． 故选：D． 7．D 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得， 所以满足的的取值范围是. 故选：D. 8．B 【详解】由命题：为假命题， 可得命题为真命题，即在上恒成立， 当时，不等式即为在上恒成立，符合题意； 当时，则满足，即，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：B 2、 多选题 9．AB 【详解】当时，幂函数对任意都有意义，且，故经过第一象限，选项A正确； 因为，所以幂函数的图象都经过点，选项正确； 当时，函数定义域为，选项C、D错误； 故选：AB． 10．ACD 【详解】解：因为都为正实数，且， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； ，当且仅当时取等号，故B错误； ，当且仅当，时取等号，故C正确； 由已知得，可得，所以， 故D正确． 故选：ACD 11．ACD 【分析】A选项，赋值得到；B选项，令得，B错误；C选项，令，其中，结合题目条件得到，C正确；D选项，变形得到，当时，，结合函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中，令得， 又，故， 中，令得， 中，令得，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 又的定义域为，故为奇函数，B错误； C选项，令，其中， 则，即， 又时，，故， 故在上单调递增，C正确； D选项，因为， 所以， 在上单调递增，当时，，故， 所以，即， 故当时，，D正确. 故选：ACD 3、 填空题 12． 4 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，得到， 显然，由图象关于轴对称，得到，解得，4 13． 【详解】由题意得，解得，所以的取值范围是. 14． 【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增, 若区间为函数的“稳定区间”， 则函数与函数在区间上同增或者同减， ①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 可得，解得； ②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 即，不等式组无解； 综上所述；. 4、 解答题 15．【详解】（1）原式； （2）依题意， ∴. （3）∵（）225 ∴ 16．【详解】（1）由题意，. （2）方案一：总盈利额， 当时，， 若此时处理掉智能机器人，总盈利为万元； 方案二：年均盈利额（万元）， 当且仅当时，年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人， 总盈利为万元. 两方案总利润都是13200万元，但方案二用时更短，则方案二更合理. 17．【详解】（1）由已知，   即， 解得或， 当时，在（-∞，0）上单调递减，符合条件；   当时，在（-∞，0）上单调递增，不符合条件； ∴函数的解析式是. （2）由题意得， 故， 若，则，解得，故解集为； 若，的两根为，1， 若，的解集为； 若，则，故，故解集为； 若，则，的解集为； 若，则，的解集为； 综上，时，解集为；时，解集为； 时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 18．【答案】(1) (2)(i)；(ii). 【详解】（1）证明：令， 则 ，定义域为， ， 解得 所以，函数为偶函数， 因此，函数图象的对称轴方程为. （2）解：(i)因为函数的图象关于直线对称，且当时， 当时，，则， 所以，. (ii)当时，，因为函数、在上为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，则， 不等式两边平方可得，即，解得， 因此，不等式的解集为. 19． （1）解：∵， ∴函数的定义域为关于原点对称， 又∵ ∴是奇函数， 解：法1：由（1）得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴函数的值域为. 法2：由，得 ∵的值域为，∴， 解得，故的值域为． 所以函数的值域为. （3）解：由在区间[1，2]上任意三个实数， 都存在以为边长的三角形， 等价于且恒成立， ①当时，即，符合. ②当时，在上单调递减， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. ③当时，在上单调递增， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. 综上所述，实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $