精品解析：山东省济宁市邹城市2025-2026学年高三上学期期中教学质量检测数学试题

2025~2026学年度第一学期期中教学质量检测 高三数学试题 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”. 2.作选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号. 3.非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.否则，该答题无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则的值可以是（ ） A B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，得到，得到答案. 【详解】， ，则，则的值可以是. 故选：B 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称量词命题的否定等价于全称量词命题即可求解. 【详解】命题，，则是“，”， 故选：D 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果. 【详解】由可得，故充分性满足； 由不一定得到，比如，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A 4. 设等比数列前项和为，若，，则（ ） A. 16 B. 31 C. 32 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知及等比数列的通项公式求基本量，再由等比数列的前n项和公式求. 【详解】设的公比为，则，可得， 所以，则. 故选：B 5. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，根据导数的几何意义结合切线方程求出结果即可. 【详解】对函数求导得， 因为函数在点处的切线方程为， 所以有，解得. 所以. 故选：A. 6. 记内角、、的对边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理、三角形面积公式、余弦定理及基本不等式求解即可. 【详解】因为，由正弦定理可得：，因为， 所以，则, 因为，当且仅当时取等号， 所以，则. 故选：B 7. 若，，满足，且，则有序实数组可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令且，应用指数、对数关系及换底公式、对数运算性质有，即可得. 【详解】令且，则， 所以，则， 结合各选项知、、不符合，符合. 故选：C 8. 定义在上的奇函数满足，若为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的一个周期为4，当为奇数时，，当为偶数时，，当时，，从而裂项相消法求和得到答案. 【详解】为偶函数，故，故， 为奇函数，故，所以， 故，故的一个周期为4， 其中，，故，即， 又，同理， 当为奇数时，，当为偶数时，， 当时，， 所以. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量与的夹角为 C. 若，则 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量共线、夹角、垂直、模长公式的知识依次判断选项即可. 【详解】对于A，因为，则，故A不正确； 对于B，由题可得，， 因为向量夹角范围为，所以向量与的夹角为，故B正确； 对于C，由于，，则，解得，故C正确； 对于D，由于，所以，故D错误； 故选：BC 10. 已知函数是奇函数，若，则下列说法正确的是（ ） A B. C. 在区间上单调递增 D. 是函数的一个极值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据得，解得，A正确；B选项，分，和，得到，B正确；CD选项，分析得到，在上单调递减，在上单调递增，C错误，D正确. 【详解】A选项，是奇函数，故， 即，即，故， 解得，A正确； B选项，，，定义域为， 当时，，，故， 当时，， 当时，，，故， 综上，，B正确； CD选项，，显然， 当时，， 当时，，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的一个极小值点，C错误，D正确. 故选：ABD 11. 若质点在以坐标原点为圆心，1为半径的圆上逆时针做匀速圆周运动，的角速度大小为2rad/s，起点为圆与轴非负半轴的交点，经过秒后到达点，设关于，的表达式分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. 是函数的一个极值点 C. 函数的最大值为 D. 若函数在只有一个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，先得到，，利用三角恒等变换和最小正周期公式得到A正确；B选项，求导，得到，B错误；C选项，求出，不妨设，即，求导，得到的单调性，从而得到函数的最大值；D选项，转化为，求出，同一坐标系内画出，及的图象，数形结合得到答案. 【详解】A选项，由题意得，， ，故最小正周期为，A正确； B选项，，则， 不是函数的一个极值点，B错误； C选项，，不妨设，即， ， 由于恒成立，令得，， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 极大值，又， 因为,所以的最大值为，C正确； D选项，， 令得， 其中，则， 同一坐标系内画出，及的图象，如下： 要想函数在只有一个零点， 即，与只有1个交点， 则，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数若，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】将代入解析式，可得，将代入解析式，建立方程即可求得答案. 【详解】由题意得， 所以， 故答案为：1 13. 已知，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，根据同角三角函数的关系，可得和的值，代入两角差的余弦公式，即可求得答案. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 所以 . 故答案为： 14. 已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数，结合基本不等式，可得在上单调递增，由题意可得有两个根，令，根据定义，可得为奇函数，根据单调性，可得单调性，进而可得，设，利用导数可得单调性和最值，分析即可得答案. 【详解】由题意，当且仅当，即时取等号， 所以在上单调递增. 因为有两个零点，所以有两个根， 所以有两个根. 令，则上式可化为， 因为，所以在上为奇函数， 所以. 因为在上单调递增，所以在上也单调递增， 所以，即， 设，则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以， 当时，， 当时，， 所以， 因为有两个零点，即方程有两个根， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知复数，. （1）若，求； （2）若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用复数的除法、加法运算求； （2）根据已知得，进而有，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【小问1详解】 由题意得，， 所以，则； 小问2详解】 设复数， 因为复数在复平面内对应点位于实轴上， 所以，即，则 所以， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值是. 16. 如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作.在斜坐标系中，完成下列问题： （1）若，求； （2）已知，，设，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是函数的一个对称中心，求函数的单调递增区间. 【答案】（1） （2）() 【解析】 【分析】（1）先表示出，然后采用先平方再开方的方法结合向量的数量积运算可计算出； （2）根据数量积运算结合二倍角公式和辅助角公式化简，通过整体替换法求解出的值，再通过整体替换法可求解出的单调递增区间. 【小问1详解】 由已知得， 所以， 故. 【小问2详解】 ， 由的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则， 因为是的一个对称中心， 所以()，所以()， 因为，所以，所以， 由()，解得()， 所以的单调增区间为(). 17. 某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得，，两地相距36米. （1）求重兴塔高； （2）如图2，塔顶为点，距离塔顶点竖直向下5米处有点，若在离地面竖直高度为2米点处用测角仪器测得，求的最大值. 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】（1）设米，可得，，在中，由余弦定理得，，解方程即可求解； （2）过点作交于，设，可得，，由结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，设米， 在中，，则； 在中，，则. 在中，由余弦定理得，， 整理得，解得或（舍） 所以重兴塔高米 【小问2详解】 过点作交于，设， 则在中，， 在中，， . 当且仅当，即等号成立 所以的最大值为 18. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）定义集合，记的元素个数为. （ⅰ）求； （ⅱ）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）当，代入条件，可求得，当时，根据，可得，进而可得，根据等比数列的定义，即可得证. （2）（ⅰ）由（1）知，根据条件，分析可得，所以.（ⅱ）根据错位相减求和法，计算即可得答案. 【小问1详解】 由题意得，当，，解得， 因为①，所以② 由①-②得，， 整理得，所以， 因为， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列. 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，， 所以， 因为且，所以， 所以. （ⅱ）由题意得 ① 两边同时乘以3 ② ①-②得 解得， 故数列的前项和. 19. 已知函数的最小值为0. （1）求实数的值； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）设，，证明：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）分别讨论和两种情况，利用导数求得的单调性，进而可得的最小值，结合条件，即可求得a值. （2）设，分别讨论和两种情况，利用导数求得的单调性及极值，分析计算，即可求得答案. （3）由（2）知，当时，，适当放缩，可得，两边取对数得，，利用对数的性质，化简计算，即可得证. 【小问1详解】 由题意知：， ①当时，与的最小值为0矛盾，不合题意， ②当时，由得，由得， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得； 【小问2详解】 设，易知， ， ①当时，在恒成立，所以在上单调递增， 所以，满足题意. ②当时，设函数，则， 由得，由得，且， （ⅰ）当时，即时，在单调递增，， 所以在恒成立，所以在上单调递增， 所以，满足题意. （ⅱ）当时，即时，在单调递减，在单调递增，且， 所以在恒成立，即在恒成立， 所以在单调递减，且， 所以存在，使得成立，与已知矛盾，不合题意. 综上，实数的取值范围是； 【小问3详解】 由（2）知，当，时，， 所以， 即， 两边取对数得，， 令得，， ， 左边 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中教学质量检测 高三数学试题 2025.11 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”. 2.作选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号. 3.非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.否则，该答题无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则值可以是（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设等比数列前项和为，若，，则（ ） A. 16 B. 31 C. 32 D. 63 5. 已知函数在点处的切线方程为，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 记内角、、的对边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 若，，满足，且，则有序实数组可能是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数满足，若为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 向量与的夹角为 C. 若，则 D. 10. 已知函数是奇函数，若，则下列说法正确的是（ ） A B. C. 在区间上单调递增 D. 是函数的一个极值点 11. 若质点在以坐标原点为圆心，1为半径的圆上逆时针做匀速圆周运动，的角速度大小为2rad/s，起点为圆与轴非负半轴的交点，经过秒后到达点，设关于，的表达式分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. 是函数的一个极值点 C. 函数的最大值为 D. 若函数在只有一个零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知函数若，则__________. 13. 已知，，则__________. 14. 已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，. （1）若，求； （2）若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 16. 如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作.在斜坐标系中，完成下列问题： （1）若，求； （2）已知，，设，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是函数的一个对称中心，求函数的单调递增区间. 17. 某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得，，两地相距36米. （1）求重兴塔高； （2）如图2，塔顶为点，距离塔顶点竖直向下5米处有点，若在离地面竖直高度为2米的点处用测角仪器测得，求的最大值. 18. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）定义集合，记的元素个数为. （ⅰ）求； （ⅱ）设，求数列的前项和. 19. 已知函数最小值为0. （1）求实数的值； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）设，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $