专题09 圆章末70道压轴题型专训（10大题型）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（苏科版）

专题09 圆章末道压轴题型专训（10大题型） 题型一 垂径定理及其应用综合 题型二 圆中切线的判定与性质综合 题型三 圆心角、圆周角相关综合 题型四 正多边形与圆综合 题型五 圆中求阴影部分面积综合 题型六 圆与三角形综合应用 题型七 圆与函数问题综合应用 题型八 圆的常用辅助线的作法 题型九 圆中最值问题(含隐圆、阿氏圆) 题型十 圆的材料阅读理解型问题(新定义) 【经典例题一 垂径定理及其应用综合】 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，弦于点，，． (1)求的长度； (2)求的直径． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）某一公路双向隧道由一弧形拱与矩形组成，经测量得，．为了确定弧形拱的半径长度，某勒测队找到一根长的笔直杆子，直立杆子，调整杆子位置，使点落在上，点落在上，此时． (1)①如图是勒测队绘制的平面示意图，请你用直尺和圆规作出弧形拱所在圆的圆心（保留作图痕迹）． ②圆心到直线的距离是______．（直接写出答案） (2)求出弧形拱所在圆的半径． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1是以格点O为圆心，为直径的圆，在上找出一点P，使； (2)如图2是以格点O为圆心的圆，在弦上找出一点P．使． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）有一座拱桥在正常水位时，水面为，水位再上升时，水面的宽为，此时水面距桥拱最高点P的距离为． 关于这座桥的形状，四位学生的意见如下： 小敏说：这座桥的形状是圆弧形，不是抛物线形． 小刚说：这座桥的形状是抛物线形，不是圆弧形． 小亮说：这座桥的形状既是圆弧形，又是抛物线形，因为圆弧形是特殊的抛物线． 小强说：这座桥的形状既不是圆弧形，又不是抛物线形，因为它不合这两种曲线的特征． 以上四位同学的意见，只有一位是正确的，你认为谁的意见正确？请通过计算证明．          图1                      图2 5．（24-25九年级上·南京·期末）已知三角形三条中线相交于一点，如图，内接于，，是弧的中点．请分别在下图中使用无刻度的直尺画图．（不用写具体做法）    (1)在图①中，画出的边上的中线，若已知为中点，则和的位置关系是 ，理由是 ； (2)在图②中，画出的边上的中线． 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）高致病性禽流感是—种传染性极强的传染病． (1)养殖场有4万只鸡．假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？ (2)为防止禽流感蔓延，防疫部门规定：离疫点3千米范围内为捕杀区，所有的禽类全部捕杀；离疫点3~5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路通过禽流感病区．如图所示，O为疫点，到公路的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？（结果保留根号） 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”． 【概念理解】 （1）若⊙O的半径为5，一条弦AB =8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为 ，最小值为 ． （2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC= 12，DH =7，CH =9，求证︰AB、CD互为“十字弦”； 【问题解决】 （3）如图3，在⊙O中，半径为，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，，则CD的长度 ． 【经典例题二 圆中切线的判定与性质综合】 8．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，且过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，，求的长． 9．（2025·江苏·模拟预测）机动车轮降温淋水独立自动控制装置，由储水箱、导水管、淋水喷头、可变流量电磁水闸、车载电源等组成．如图，是淋水器安装模型，已知是（车轮）的直径，是上一点，安装设计要求喷水线与车轮上的点相切（喷水嘴安装在车体上）． (1)在上找一点D，连接，使，如图，求证：直线与相切． (2)在（1）的条件下，设射线与直线交于点，若，求机动车轮胎直径的长． 10．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，为的切线，A为切点，连接并延长，与交于点C，直线交于点E，F，点B在上且，连接交于点D，连接，，． (1)求证：直线为的切线； (2)若，，求的值和线段的长． 11．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的长为，求图中阴影部分的面积． 12．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，中，，，，过点的直线与边平行，点在射线上，⊙O是以为圆心，为半径的圆． (1)当直线与⊙O相切时，求的长； (2)当直线与⊙O相交时，交点记为点、，且点在点的右边；以为圆心、为半径长作⊙C与⊙O的另一个交点记为． ①若四边形是矩形，求的长； ②若是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 13．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，的半径是3，点P是上一点，弦垂直平分线段，点M是上的任意一点（不与A，B重合），于点N，以M为圆心，为半径作，分别过A，B两点作的切线，切点分别为D，E，两切线交于点C． (1)求弦的长； (2)求的大小； (3)设的面积为S，若，求的半径． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）我们已经学习了垂径定理、圆周角定理等，实际上，与圆相关的定理还有很多，比如切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系． 下面我们尝试证明切割线定理． 已知：如图1，是外一点，与相切于点，交于点，（即是的割线），连接，． 求证：． 证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． 与相切于点，.， 是的直径， …… (1)根据上面的证明思路，补全剩余的证明过程． (2)图2中，若的半径为，，，求的长． 【经典例题三 圆心角、圆周角相关综合】 15．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，正五边形内接于，连接交于点F． (1)求的度数． (2)已知，求的长． 16．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，是等腰三角形，以为直径作交底边于点，交于点，过点作于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 17．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知，是圆内的两条弦，延长，相交于点P． (1)如图1，请写出之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若点C是优弧的中点，点D是劣弧的中点，求证：． 18．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图1，已知是等腰三角形的外接圆，，是上一点，连接，交于点．射线与的夹角的角平分线交于点，射线交射线于点． (1)若，，，求的长度； (2)求证：； (3)如图2，当为直径时，若，，求的面积． 19．（25-26九年级上·江苏常州·期中）已知：如图，是的弦． 求作：上的点，使得． 作法：①连接并延长交于P； ②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③作直线交于点，连接 所以，点，就是所求作的点． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：连接， ， （___________）（填推理的依据）． ． 都在上， （___________）（填推理的依据） ． 20．（24-25九年级上·江苏南京·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 21．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； (2)这个圆的半径为________； (3)直接判断点与的位置关系，点在______（填内、外、上）； (4)如图，是的外接圆，，是上一点．请你只用无刻度的直尺，分别画出图1和图2中的平分线． 【经典例题四 正多边形与圆综合】 22．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心恰好是的内心，若，求花窗的周长（图中实线部分的长度）．（结果保留） 23．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图所示，圆内接中，，、为的半径，于点，于点，求证：阴影部分四边形的面积是的面积的倍．    24．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (3)在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 25．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，在一个正六边形中，点是该正六边形的中心，将该六边形的每条边延长，延长线的交点分别为、、、、、． (1)证明四边形是菱形； (2)若的长为6，请计算正六边形的面积． 26．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)请在图（1）中对角线上作一点，使得； (2)请在图（2）中边上作一点，使得． 27．（2024·江苏镇江·模拟预测）【观察发现】 （1）如图1，在正方形中，点O为对角线的交点，点为正方形外一动点，且满足，连接．若正方形边长为4，则的最大值为______； （2）如图2，已知和都是等边三角形，连接，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，某地有一个半径为的半圆形（半圆O）人工湖，其中是半圆的直径，在半圆上（不与重合），现计划在的左侧，规划出一个三角形区域，开发成垂钓中心，要求为入口，并沿修建一笔直的观光桥，根据规划要求观光桥的长度尽可能的长，问的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 28．（24-25九年级上·江苏南京·期末）金字塔是一种古老的建筑结构．它的底面是一个正多边形（如正三角形、正方形、正五边形等），侧面是由多个形状和大小一样的三角形构成，这些三角形的底边是底面多边形的边，顶点汇聚于一个共同的点，称为金字塔的顶点． 【提出问题】如何利用一张正多边形硬纸片制成一个无底的金字塔模型？ 【理解问题】在正多边形中，到各顶点距离相等的点是正多边形的中心．将正多边形相邻的两个顶点与中心相连，所得的三角形面积均相等． 【探究问题】 （1）如图，点O是正n边形硬纸片的中心，将其沿虚线剪开，分割成的多个四边形形状和大小也一样．将分割成的三角形拼接成一个无底的金字塔模型，此时正n边形的中心变为了金字塔的顶点． 已知正三角形、正方形、正五边形硬纸片的面积均为180，几种简单情形的数据如下： 正n边形的边数 3 4 5 …… 示意图 图1 图2 图3 …… 的度数 ° ° …… 金字塔模型中每个侧面的面积 20 15        …… 【归纳总结】（2）如图4，按照以上方式，则的度数为 °（用含有n的代数式表示），金字塔模型中每个侧面的面积为 （用含有S与n的代数式表示）． 【应用结论】（3）按照上述方式，若想剪拼出每个侧面的面积均为的无底金字塔模型，需要用面积多大的正八边形硬纸片？ 【经典例题五 圆中求阴影部分面积综合】 29．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知是中边上的高，以为直径的分别交、于点E、F，点G是的中点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求由线段、和弧围成的阴影部分面积． 30．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，已知是的直径，点、在上，且，过点作，垂足为． (1)填空：________度； (2)求的长； (3)若的延长线交于点，求弦，和围成的图形（阴影部分）的面积． 31．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，是的外接圆，为的直径，点为弧中点，连接，作的平分线交于点，连接． (1)求证：； (2)若过C点的切线与的延长线交于点F，已知，求弧、线段围成的阴影部分面积； 32．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）已知：如图，点是正方形内一点，连接、、． (1)将绕点顺时针旋转得到，若，．求旋转过程中边扫过区域阴影部分的面积； (2)若，，，求点与之间的距离以及的长． 33．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作于点，交于点E，若的半径为，，求图中阴影部分（弓形）的面积． 34．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）两个以点O为圆心的半圆如图放置，AB、CD分别是直径，点E为大半圆上异于C的一点，连接OE交小半圆于点F，点P为CE上异于C、E的一点，连接OP交CE于点H，交AF于点G． (1)①求证：AFCE； ②若＝，求； (2)若＝2，且大半圆的直径CD＝4，点P为CE上异于C、E的动点，当阴影部分面积最小时，直接写出的长为 ． 35．（2025·江苏苏州·模拟预测）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角的大小 （2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留） 【经典例题六 圆与三角形综合应用】 36．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，三角形中，点为上一点，过，，三点作圆，是圆的直径，连接，给出如下信息：①；②是圆的切线；③． (1)在信息①②③中选择其中两个作为条件，另一个作为结论，并加以证明． (2)若，，求圆的半径． 37．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）【图形定义】有两边之比为的三角形称为智慧三角形例如，在图的中，若，就称为智慧三角形． 【灵活运用】如图，是智慧三角形，，是边上的中线，求的值． 【拓展延伸】如图，是的内接三角形，是直径，过的中点作，垂足为，交于点，连接交于点． （1）求证：是智慧三角形； （2）若，则的值为______ ． 38．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）小明用长，宽的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了三种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：沿对角线将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案三：锯一块小矩形拼到矩形下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆． (1)写出方案一中圆的半径； (2)求方案二中圆的半径； (3)在方案三中，设，当取何值时圆的半径最大？（画出示意图，简要写出求解的思路，并直接写出此时圆的半径） 39．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）问题提出：（1）如图，在四边形中，连接、，，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点落在点，点的对应点为点，可知，点、、在一条直线上，则为______三角形，、，的数量关系为______； 探究发现：（2）如图，在中，为直径，点为弧的中点，点为圆上一个点，连接、、、、，且，请求出、、的数量关系； 拓展延伸：（3）如图，在等腰直角三角形中，点为的中点，若，平面内存在一点，且，，当点为中点时，______． 40．（2024·江苏扬州·模拟预测）【探究】如图，三角形的外接圆为，上有一动点，点不与点重合，连接． （1）如图甲，连接并延长至点，连接，若，且过圆心，，证明：是的切线； （2）如图乙，当三角形是等边三角形，求证：．小明发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．请你帮小明补全证明过程； 【应用】 （3）如图丙，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，若，求的值． 41．（2025·江苏南京·模拟预测）综合与实践 定义：能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 探索发现：用大小不同的圆形纸片去覆盖一张三角形纸片，经过多次操作发现： （1）锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆， （2）钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆． 如图1，以斜边为直径作圆，刚好是可以把覆盖的面积最小的圆，称之为该直角三角形的最小覆盖圆． (1)实践与操作：如图2．在中，，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与计算：如图3，在中，，，，请求出的最小覆盖圆的半径． 42．（2024·江苏·模拟预测）阅读与思考： 阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：古拉美古塔定理，如图，四边形内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线于点F，则． ，证明：，， ， ，， ． ， ∴_____________________（同弧所对的圆周角相等）． 又∵， ． ． … 任务： (1)材料中横线部分缺少的内容为：______； (2)古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点M，直线交于点E，交于点F．若，则．请证明该命题． 【经典例题七 圆与函数问题综合应用】 43．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）对于平面直角坐标系中的点P和，给出如下定义：若上存在点A，使得，则称P为的半角关联点．当的半径为1时 (1)在点中，的半角关联点是 ； (2)直线l：交x轴于点M，交y轴于点N，若直线l上的点是⊙O的半角关联点，求m的取值范围． 44．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点，交x轴于点，． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点B作线段的垂线交抛物线于点D，求点D的坐标； (3)如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明． 45．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，抛物线经过，且与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P是x轴的正半轴上一点，，求点P的坐标； (3)当点P是抛物线上第一象限上的点，，直接写出点P的坐标为______． 46．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图1，对于的顶点及其对边上的一点，给出如下定义：以为圆心，为半径的圆与直线的公共点都在线段上，则称点为关于点的内联点． 在平面直角坐标系中： (1)如图2，已知点，点在直线上． ①若点，点，则在点O，C，A中，点__________是关于点的内联点； ②若关于点的内联点存在，求点纵坐标的取值范围； (2)已知点，点，将点绕原点旋转得到点，若关于点的内联点存在，请求出当点落在第四象限时的最大值． 47．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，半圆的直径，点在上且，点是半圆上的动点，过点作交（或的延长线）于点．设，．（当点与点或点重合时，的值为0） 小石根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表： 1 1.5 2 2.5 3 3.5 ________ ________ 3.7 4 3.8 3.3 2.5 0 (2)在给出的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3) 结合画出的函数图象，解决问题：当与直径所夹的锐角为时，的长度约为________． 48．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）我们把方程（x﹣m）2＋（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2＋（y＋2）2＝9．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E． (1)求⊙C的标准方程； (2)试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由； (3)连接CE，求sin∠AEC的值． 49．（24-25九年级上·江苏苏州·课后作业）如图，点C是中直径上的一个动点，过点C作交于点D，点M是直径上一固定点，作射线交于点N．已知，设线段的长度为，线段的长度为． 小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探索． 下面是小东的探究过程，请补充完整 （1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（保留一位小数） 0 1 2 3 4 5 6 4 3.3 2.8 2.5 2.1 2 并在图2中建立平面直角坐标系，画出该函数的图象； （2）结合画出的函数图象，解决问题：当时，x的取值约为________． 【经典例题八 圆的常用辅助线的作法】 50．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦． （1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）； 第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D； 第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E． 第三步，连接BD． （2）求证：DE是⊙O的切线； （3）如图AD=5，AE=4，求⊙O的直径． 51．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）同学们，圆中很多综合问题的解决需要我们熟练掌握一些常用的辅助线和有关结论，请先认真、仔细地完成下面的问题1和问题2，再运用这两个问题的方法和结论解决相关综合问题． (1)在圆中，“两条平行弦所夹的弧相等”这一重要结论大家已经知晓，这个结论的证明方法较多，请你依据有关圆的性质完成这一结论的证明过程．如图1，在中，弦，求证：： (2)在圆中，依据“直径所对的圆周角是直角”来构造“直角三角形”是常用的辅助线．如图2，在中，半径为，弦，若点在优弧上，则的值为 ： 请利用上述两个问题的方法和结论，完成下面的综合问题： (3)如图3，的直径为，弦⊥弦于点，连接，，若，求的长，请写出解题过程． 52．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB=PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程． 小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程． 53．（2025·江苏无锡·模拟预测）阅读理解：辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁，在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽． 例如：在图(1)中，，求证：．(请写出证明过程) 证明： 方法运用：如图(1)已知，，，则∠CAD的度数为______． 方法拓展： 如图(2)在矩形ABCD中，，，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将沿EF所在直线折叠得到，连结，则的最小值是______． 54．（2025·江苏苏州·模拟预测）若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．） （1）为了说明直线和圆的交角性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程（只证明劣交角即可）． 已知：如图①，直线l与⊙O相交于点A、B，过点B作 ． 求证：∠ABD＝ ． （2）如图②，直线l与⊙O相交于点A、B，AD为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，交DA的延长线于点C，若AD＝BC，AC＝2，求⊙O的半径． 55．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）复习巩固 切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.如图1，直线l1为⊙O的切线 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1，直线l2为⊙O的割线 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 阅读材料 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作.它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36一2圆幂定理（切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程 已知：如图2，A是⊙O外一点，　　． 求证：　　 [提示]辅助线可先考虑作⊙O的直径DE． 56．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）【阅读】 辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽． 性质：如图①，若，则点在经过，，三点的圆上． 【问题解决】 运用上述材料中的信息解决以下问题： （1）如图②，已知．求证：． （2）如图③，点，位于直线两侧．用尺规在直线上作出点，使得．（要求：要有画图痕迹，不用写画法） （3）如图④，在四边形中，，，点在的延长线上，连接，．求证：是外接圆的切线．                  【经典例题九 圆中最值问题(含隐圆、阿氏圆)】 57．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，是四边形的外接圆，直径为10，平分，过点D作，交的延长线于点P． (1)如图①，若是的直径． ①求证：与的相切； ②若，求的度数； (2)如图②，若，求的最大值．（提示：连接，在上截取） 58．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【模型建立】 如图①、②，点分别在圆外，在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 (1)请就图①中为何最长进行证明． (2)已知点到圆上的点的最短距离为4，最长距离为8，则圆的半径为_____________． (3)如图③，在中，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是____________． (4)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最大值． 则，， ∴， ∴的半径为2； 59．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点P是斜边上的一个动点，过点C、P的⊙O分别交直角边于点M、N，连接． (1)当点P运动到的位置时． ①如图1，若⊙O与相切，则线段MN的长为________； ②如图2，连接，若，求线段的长； (2)如图3，若点P运动到的中点时，则线段的最小值为________；线段的最大值为________； (3)在点P的运动过程中，线段的取值范围为________． 60．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图，是的半径，．点在上，将点沿的方向平移到点，使，点为的中点．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图，连接，由平行四边形的判定及性质推出点的运动路径是以点为圆心，为半径的圆，下面是部分证明过程： 证明：连接， ．当点在直线外时， 证明过程缺失 ．当点在直线上时， 易知， 所以，点的运动路径是以点为圆心，为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】在上述问题的条件下，连接，记点是线段的中点，如图，若点在上运动一周，则点的运动路径长为______． 【拓展提升】如图，，，．点的线段上，，点是平面内一点，，点是线段上的任意一点，连接，则线段长度的最大值为______． 61．（2024·江苏盐城·模拟预测）阅读理解： (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一：“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______°． ②类型二：“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵，∴，∵，∴， ∴______，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． (2)【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． (3)【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长． 62．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）阅读下列材料，回答问题. 材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”.解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变.从而找到动点所在的隐藏圆，进面转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值. 解决问题： （1）如图①，圆O的半径为1，圆外一点A到圆心的距离为3，圆上一动点B，当A、O、B满足条件____________时，有最小值为____________. （2）如图②，等腰两腰长为5，底边长为6，以A为圆心，2为半径作圆，圆上动点P到的距离最小值为__________. （3）如图③，，P、Q分别是射线、上两个动点，C是线段的中点，且，则在线段滑动的过程中，求点C运动形成的路径长，并说明理由. （4）如图④，在矩形中，，，点E是中点，点F是上一点，把沿着翻折，点B落在点处，求的最小值，并说明理由. （5）如图⑤，在中，，，，以边中点O为圆心，作半圆与相切，点P，Q分别是边和半圆上的动点，连接，求长的最小值，并说明理由. 63．（2025·江苏·模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga），古希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点与两定点，的距离之比等于定比，则点的轨迹是以定比内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”． 如图1，点，为两定点，点为动点，满足，点在线段上，点在的延长线上且，则点的运动轨迹是以为直径的圆． 下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）： 过点作交的延长线于点． ∴，． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 如图2，在图1（隐去，）的基础上过点作交于点，可知，…… 任务： （1）判断是否平分，并说明理由； （2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分； （3）应用：如图3，在平面直角坐标系中，，，，则点所在圆的圆心坐标为________． 【经典例题十 圆的材料阅读理解型问题(新定义)】 64．（24-25九年级上·江苏苏州·单元测试）新定义如图，P为圆外一点，交圆于点A，B，交圆于点C，D，的度数为，的度数为． (1)求的度数； (2)如果我们把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，请你仿照圆周角定理“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半”来概括出圆外角的性质； (3)请你定义“圆内角”，并概括出圆内角的性质． 65．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 66．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）【新定义】 在平面内，已知点O和直线l，设点O到直线l的距离为．对于给定的正数d，以点O为圆心、为半径的圆上，到直线l的距离等于d的点称为该圆的“点”．记函数表示圆上“点”的个数． 【探究】 已知． （1）当__________时,； （2）当__________时,； （3）随着r的变化，请写出时，对应r的取值范围． 【巩固】 (4)当时，讨论随r的变化规律，写出的取值及对应r的条件． 【应用】 (5)平面直角坐标系中，点P坐标为，在以点P为圆心3为半径的圆上，到直线l：的距离的“点”的个数，求b的取值范围． 67．（24-25九年级上·江苏淮安阶段练习）新定义：在一个四边形中，若有一组对角都等于90°，则称这个四边形为双直角四边形．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四边形ABCD就是双直角四边形． （1）若四边形ABCD是双直角四边形，且AB＝3，BC＝4，CD＝2，求AD的长； （2）已知，在图2中，四边形ABCD内接与⊙O，BC＝CD且∠BAC＝45°； ①求证：四边形ABCD是双直角四边形； ②若AB＝AC，AD＝1，求AB的长和四边形ABCD的面积． 68．（2025·江苏·模拟预测）请阅读材料，并完成相应的任务． 在数学探究课上，同学们在探索与圆有关的角的过程中发现这些角的两边都与圆相交，不断改变顶点的位置，可形成无数个角，而根据点和圆的位置关系可将这些角分为三类，分别是顶点在圆上、圆外和圆内的角结合教学课上学习的圆周角的概念，对顶点在圆外和圆内的角进行定义：顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角．顶点在圆内，两边都与圆相交的角叫做圆内角，如图1，和分别是所对的圆外角和圆内角． 如图2，点在上，为所对的一个圆外角．分别交于点．若所对的圆心角为，求．勤奋小组的解题过程（部分）如下： 解：如图2，连接． 是所对的圆周角，且， ． … 任务： （1）如图1，在探究与圆有关的角时，运用的数学思想方法是：_____； A.公理化思想    B.分类讨论    C.数形结合 （2）将勤奋小组的解题过程补充完整； （3）如图3，当点在内时，是所对的一个圆内角，延长交于点，延长交于点，若设所对的圆心角为，则________°． 69．（2025·江苏常州·模拟预测）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的部分证明过程： 证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数． 如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD． … 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图③，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程． 70．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）阅读材料： 圆的定义：到定点的距离等于定长的点所组成的图形叫做圆． 对于任何直角三角形，因为斜边上的中线长度等于斜边长度的一半，故其外接圆的直径就是斜边，外心即是斜边的中点．如果两个直角三角形共享同一个斜边，因为它们的外心和半径都相同，所以它们将拥有相同的外接圆，即这两个直角三角形的所有顶点均在同一个圆上（四点共圆）． 解决问题： 如图1，正方形的边长为6，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接． (1)（i）求证：； （ii）若，求的长． (2)如图2，取线段的中点G，连接，当点E在边上运动时，是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)当点E在直线上运动时，将的内心记为点I，请直接写出在点E的运动过程中的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆章末道压轴题型专训（10大题型） 题型一 垂径定理及其应用综合 题型二 圆中切线的判定与性质综合 题型三 圆心角、圆周角相关综合 题型四 正多边形与圆综合 题型五 圆中求阴影部分面积综合 题型六 圆与三角形综合应用 题型七 圆与函数问题综合应用 题型八 圆的常用辅助线的作法 题型九 圆中最值问题(含隐圆、阿氏圆) 题型十 圆的材料阅读理解型问题(新定义) 【经典例题一 垂径定理及其应用综合】 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，是的直径，弦于点，，． (1)求的长度； (2)求的直径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理； （1）根据垂径定理，即可求解； （2）连接，设的半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径，， ∴； （2）解：如图，连接，设的半径为 在中， ∵，即 解得： ∴的直径为． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）某一公路双向隧道由一弧形拱与矩形组成，经测量得，．为了确定弧形拱的半径长度，某勒测队找到一根长的笔直杆子，直立杆子，调整杆子位置，使点落在上，点落在上，此时． (1)①如图是勒测队绘制的平面示意图，请你用直尺和圆规作出弧形拱所在圆的圆心（保留作图痕迹）． ②圆心到直线的距离是______．（直接写出答案） (2)求出弧形拱所在圆的半径． 【答案】(1)①作图见解析；②； (2)弧形拱所在圆的半径为． 【分析】（1）①画出两条线段的垂直平分线，交点即为圆心； ②过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接，， 证明四边形，是矩形，即可求解； （2）过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，设，则，，在中，，即，在中，，即，从而得到，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：在弧形拱上任取一点，连接，分别作、的垂直平分线，两直线的交点即为圆心，如图： ②如图，过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，则， 由①可知，垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵，，， ∴四边形，是矩形， ∴，， ∴， ∴圆心到直线的距离是， 故答案为：； （2）解：如图： 设，则，， 在中，，即， 在中，，即， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴弧形拱所在圆的半径为． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是找出弓形所在的圆心，画出半径，构造直角三角形，借助勾股定理解题． 3．（2025·江苏苏州·模拟预测）请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1是以格点O为圆心，为直径的圆，在上找出一点P，使； (2)如图2是以格点O为圆心的圆，在弦上找出一点P．使． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】（1）如图1，在上方4个格点确定点，连接，与交于点，则，，与的交点为，由垂径定理可知， ，即点即为所求； （2）如图2，连接、、，由圆周角定理可知，点向右、向上各1个格点取，连接，则，，则与弦的交点即为． 【详解】（1）解：如图1，在上方4个格点确定点，连接，与的交点即为； （2）解：如图2，点向右、向上各1个格点取，连接，与弦的交点即为； 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）有一座拱桥在正常水位时，水面为，水位再上升时，水面的宽为，此时水面距桥拱最高点P的距离为． 关于这座桥的形状，四位学生的意见如下： 小敏说：这座桥的形状是圆弧形，不是抛物线形． 小刚说：这座桥的形状是抛物线形，不是圆弧形． 小亮说：这座桥的形状既是圆弧形，又是抛物线形，因为圆弧形是特殊的抛物线． 小强说：这座桥的形状既不是圆弧形，又不是抛物线形，因为它不合这两种曲线的特征． 以上四位同学的意见，只有一位是正确的，你认为谁的意见正确？请通过计算证明．          图1                      图2 【答案】小刚说的对，证明见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，垂径定理以及勾股定理的应用，先设这座桥形是抛物线形，以为原点，为轴，建立坐标系，设抛物线的关系式为，然后把点坐标代入解析式，求出的值，再验证的坐标即可，再假设是圆弧形，圆心在延长线上，连接，，在中，由勾股定理求出半径，再在中验证，从而得出结论． 【详解】解：小刚说的对，证明如下： 先设这座桥形是抛物线形， 如图，以为原点，为轴，建立坐标系， 点，点 设抛物线的关系式为， 把点代入，得， 抛物线的解析式为， 当时，，与点重合， 这座桥是抛物线形； 假设是圆弧形，圆心在延长线上，连接，， 设半径，则，， 在中 由，得， 解得， 在中， ， 这个桥形不是圆弧形， 小刚的说法是正确的． 5．（24-25九年级上·南京·期末）已知三角形三条中线相交于一点，如图，内接于，，是弧的中点．请分别在下图中使用无刻度的直尺画图．（不用写具体做法）    (1)在图①中，画出的边上的中线，若已知为中点，则和的位置关系是 ，理由是 ； (2)在图②中，画出的边上的中线． 【答案】(1)图见解析，垂直，平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦 (2)见解析 【分析】（1）连接交与点，连接，即为的边上的中线， （2）连接并延长交于点，交于点，连接并延长交于点，即为的边上的中线． 【详解】（1）解：如图，即为所作，   ， 连接， 是弧的中点， ， ，， 在和中， ， ， ， 点为的中点， 为的边上的中线， 若已知为中点，则和的位置关系是垂直，理由是平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦， 故答案为：垂直，平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦； （2）解：如图，即为所作，    连接， 在和中， ， ， ， ， ， 为中边上的中线， 为的边上的中线，且、交于点， 为的边上的中线． 【点睛】本题考查了垂径定理、三角形全等的判定与性质、无刻度直尺作图、等腰三角形的性质、三角形中线的知识点，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）高致病性禽流感是—种传染性极强的传染病． (1)养殖场有4万只鸡．假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？ (2)为防止禽流感蔓延，防疫部门规定：离疫点3千米范围内为捕杀区，所有的禽类全部捕杀；离疫点3~5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路通过禽流感病区．如图所示，O为疫点，到公路的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？（结果保留根号） 【答案】(1)第四天共有只鸡得了禽流感；到第六天所有鸡都会被感染； (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，数字类的规律探索： （1）根据题意可得规律第n天新增只病鸡，据此求出第四天，第五天，第六天得了禽流感的鸡的数量即可得到答案； （2）过点O作于E，利用勾股定理求出，再利用垂径定理求出的值即可． 【详解】（1）解：第一天新增1只病鸡， 第二天新增10只病鸡， 第三天新增100只病鸡， ……， 以此类推，可知，第n天新增只病鸡， ∴第四天共有只鸡得了禽流感； 到第五天得禽流感病鸡数为只 到第六天得禽流感病鸡数为， ∴到第六天所有鸡都会被感染； （2）解：如图所示，过点O作于E， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得 ， 由垂径定理可得， ∴， ∴这条公路在该免疫区内有． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O的两条弦AB⊥CD，则AB、CD互为“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”． 【概念理解】 （1）若⊙O的半径为5，一条弦AB =8，则弦AB的“十字弦”CD的最大值为 ，最小值为 ． （2）如图2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直径，弦AB与CD相交于H，连接AC，若AC= 12，DH =7，CH =9，求证︰AB、CD互为“十字弦”； 【问题解决】 （3）如图3，在⊙O中，半径为，弦AB与CD相交于H，AB、CD互为“十字弦”且AB=CD，，则CD的长度 ． 【答案】（1）10，6；（2）证明见解析；（3）6． 【分析】（1）根据“十字弦”定义可得弦AB的“十字弦”CD为直径时最大，当CD过A点或B点时最小； （2）根据线段长度得出对应边成比例且有夹角相等，证明△ACH∽△DCA，由其性质得出对应角相等，结合90°的圆周角证出AH⊥CD，根据“十字弦”定义可得； （3）过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，设DH=x，由题意可得其它线段的长，在Rt△OEA中，根据勾股定理列方程得出x的值，从而可求CD的长． 【详解】解：（1）当CD为直径时，CD最大，此时CD=10， ∴弦AB的“十字弦”CD的最大值为10； 当CD过A点时，CD长最小，即AM的长度，过O点作ON⊥AM，垂足为N，作OG⊥AB，垂足为G，则四边形AGON为矩形， ∴AN=OG， ∵OG⊥AB，AB=8， ∴AG=4， ∵OA=5， ∴由勾股定理得OG=3， ∴AN=3， ∵ON⊥AM， ∴AM=6， 即弦AB的“十字弦”CD的最小值是6． （2）证明：如图，连接AD， ∵AC=12， DH=7， CH=9， ∴CD=CH+DH=16 ∴ ， ∴ ∵∠C=∠C， ∴△ACH∽△DCA， ∴∠AHC=∠CAD ∵CD是直径， ∴∠CAD=90°， ∴∠AHC=90°， ∴AH⊥CD， ∴AB、CD互为“十字弦”． （3）如图，过O作OE⊥AB于点E，作OF⊥CD于点F，连接OA，OD，则四边形OEHF是矩形，∴OE=FH，OF=EH， 设DH=x， ∵，AB=CD， 则CH=5x，CD=AB=6x， ∴FD=AE=3x， ∴OE=FH=3x-x=2x， ∵半径为， 在Rt△OEA中，由勾股定理得，， ∴， 解得，x=1， ∴CD=6×1=6 【点睛】本题考查圆的相关性质，垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识，准确做出辅助线是解答此题的关键． 【经典例题二 圆中切线的判定与性质综合】 8．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，且过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意可证，且，可得，即是的切线； （2）由同弧所对的圆周角相等，可得，由余角的性质可得； （3）由题意可得，根据勾股定理可求的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 又， ， 是的切线； （2）证明：是的直径， ， ， 由（1）可知是的切线， ， ， ， ， ， 又， ； （3）解：如图，连接， 是半圆弧的中点， ， 在中，，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 9．（2025·江苏·模拟预测）机动车轮降温淋水独立自动控制装置，由储水箱、导水管、淋水喷头、可变流量电磁水闸、车载电源等组成．如图，是淋水器安装模型，已知是（车轮）的直径，是上一点，安装设计要求喷水线与车轮上的点相切（喷水嘴安装在车体上）． (1)在上找一点D，连接，使，如图，求证：直线与相切． (2)在（1）的条件下，设射线与直线交于点，若，求机动车轮胎直径的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了复杂作图，掌握切线的判定与性质及三角函数的意义是解题的关键． （1）根据“经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线”进行作图，再利用切线的判定进行证明即可； （2）根据三角形全等的性质及三角函数求解． 【详解】（1）如图：点即为所求； 证明：是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线与相切； （2）解：是圆的切线， ， ， 是直径， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 为等边三角形， ， ． 10．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，为的切线，A为切点，连接并延长，与交于点C，直线交于点E，F，点B在上且，连接交于点D，连接，，． (1)求证：直线为的切线； (2)若，，求的值和线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，根据切线性质得出，证明，，即可得出，得出答案； （2）证明垂直平分，得出，证明，得出,求出，设，得出，，根据勾股定理得出，求出，根据，，是的直径，得出，，根据三角形函数定义求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵为的切线， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴直线为的切线； （2）解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴, 即， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， 设， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， 解得 (不合题意，舍去)，， 即，， ∵，， 是的直径， ∴，， ∴，. ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解 直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 11．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，点F在上，以为直径的与边相切于点D，与边相交于点E，且，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的长为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析； (2)阴影部分的面积为． 【分析】（1）连接OD，由推出是等边三角形，再利用全等三角形判定定理证明，得到，再根据切线的判定定理即可证明； （2）由的长计算出半径，再根据含的直角三角形的性质求出的边长，利用阴影部分面积的面积扇形的面积，计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图，连接OD， 与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， 是的切线． （2）的长为，， ， ， ， ， ， ，， 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查的是切线的判定与性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质、含角的直角三角形、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键． 12．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，中，，，，过点的直线与边平行，点在射线上，⊙O是以为圆心，为半径的圆． (1)当直线与⊙O相切时，求的长； (2)当直线与⊙O相交时，交点记为点、，且点在点的右边；以为圆心、为半径长作⊙C与⊙O的另一个交点记为． ①若四边形是矩形，求的长； ②若是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）作，先在中求出、长度及的值， 利用切线性质设得出表达式． 在中根据正弦函数定义列方程求解． （2）① 利用矩形性质得到的长度，设，表示出，在中，依据勾股定理列方程求解；② 1． 由两圆相交性质得出，通过角度关系得到， 分与两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：作于， 与相切 设， 在中 ，， ∴， ， ， 在中 ， ， ． （2）①四边形是矩形 ， 设，则， 在中，， ， ， ； ②若是以为腰的等腰三角形， 那么或， 设与相交于点， 与相交于， ， 又， ， 又， ， （i）当时， ， ，解得：， ， ， ． （ii）当时，作， ， ， ，即， ， 解得， 设，则，在中， ， ， ． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、矩形性质、等腰三角形性质、解直角三角形及勾股定理的应用 ．解题关键是利用相关性质构建边的关系，通过方程求解线段长度，并借助角度等量代换求角的正切值． 13．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，的半径是3，点P是上一点，弦垂直平分线段，点M是上的任意一点（不与A，B重合），于点N，以M为圆心，为半径作，分别过A，B两点作的切线，切点分别为D，E，两切线交于点C． (1)求弦的长； (2)求的大小； (3)设的面积为S，若，求的半径． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）连结，记与的交点为，则有．由弦垂直平分线段，可得，．在中求得，即可得； （2）连结，，，由（1）得，，即可得，所以，．由题意，得点为的内心，可得，．再由，即可得． （3）连结，，，设的周长为，的半径为，则有，，，所以．又因，是的切线，可得，在直角中，，求得．已知，可得，解之即可得的半径． 【详解】（1）如图，连结，记与的交点为，则有． ∵弦垂直平分线段， ∴，． 在中， ∵， ∴． （2）如图，连结，，， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴． ∵由题意，得点为的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴． （3）如图，连结，，，设的周长为，的半径为， 则有，，， ∴． ∵，是的切线， ∴， ∴在直角中，， ∴． ∵， ∴， ∴，或（舍去）， ∴的半径是1． 【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）我们已经学习了垂径定理、圆周角定理等，实际上，与圆相关的定理还有很多，比如切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．切割线定理揭示了从圆外一点引圆的切线和割线时，切线与割线之间的关系． 下面我们尝试证明切割线定理． 已知：如图1，是外一点，与相切于点，交于点，（即是的割线），连接，． 求证：． 证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． 与相切于点，.， 是的直径， …… (1)根据上面的证明思路，补全剩余的证明过程． (2)图2中，若的半径为，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． （1）先根据切线的性质得到，再根据圆周角得到，进而得到，加上为公共角，则可判断，然后根据相似三角形的性质得到，从而得到； （2）设，则，利用，可得，，进而得出，由的半径为，得出，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）解：设，则， 由（1），知， ， 解得或（舍去）， ， ， ， ， 的半径为， ， 在中，． 答：的长为：． 【经典例题三 圆心角、圆周角相关综合】 15．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，正五边形内接于，连接交于点F． (1)求的度数． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形和圆，根据正五边形的性质，找到相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据五边形是正五边形，判断出，，再根据圆周角定理即可得到； （2）证明，推出，设，则，列出方程，解方程即可求出的长． 【详解】（1）解：∵五边形是正五边形， ∴，． ∵正五边形内接于， ∴； （2）解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∵， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， 同理， ∵ ∴， ∴，即， 设，则， ∴，即， 解得（舍去负值）． ∴的长是． 16．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，是等腰三角形，以为直径作交底边于点，交于点，过点作于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接，利用半圆（直径）所对的圆周角是直角、三线合一、圆周角定理得到，，即可证得，根据平行线的判定与性质得到，再利用圆的切线判定定理解答即可； （2）利用弧、弦、圆心角的关系得到，利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， 等腰三角形中，， ， ， ， ， ， ， 即， 为的半径， 直线是的切线； （2）解：连接， 由（1）得，， ， ， ，，， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是半圆（直径）所对的圆周角是直角、三线合一、圆周角定理、平行线的判定与性质、证明某直线是圆的切线、利用弧、弦、圆心角的关系求证、勾股定理，解题关键是添加正确的辅助线． 17．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，已知，是圆内的两条弦，延长，相交于点P． (1)如图1，请写出之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若点C是优弧的中点，点D是劣弧的中点，求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图，连接，先证明，再结合等腰三角形的性质证明，进一步可得答案； （2）如图，连接，结合（1）可得：，证明，可得，再进一步结合三角形的外角的性质可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， 由（1）可得：， ∵点C是优弧的中点，点D是劣弧的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，弧，弦，圆心角之间的关系，三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 18．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图1，已知是等腰三角形的外接圆，，是上一点，连接，交于点．射线与的夹角的角平分线交于点，射线交射线于点． (1)若，，，求的长度； (2)求证：； (3)如图2，当为直径时，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，较难的是题（3），通过添加辅助线，构造相似三角形是解题关键． （1）先根据圆周角定理可得，，再证出，根据相似三角形的性质即可得； （2）连接，先证明，进而根据圆周角定理得出，再根据三角形的外角性质可得，然后根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （3）连接，延长交于点，过点作于点，连接，，，先根据等腰直角三角形的判定与性质可得， ，证明，根据相似三角形的性质可得，的长，然后设（），则利用的面积可求出的值，从而可得，的长，最后利用三角形的面积公式计算即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴, ∵，，， ∴， （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴， ∴ （3）解：如图，连接，延长交于点，过点作于点，连接，，， 设的半径为（），则 为的直径， ， ， 平分， ， 由圆周角定理得：， 由（2）知：， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， 设（），则 在中，由勾股定理得：，即 解得：（负值舍去） ， ， 的面积为． 19．（25-26九年级上·江苏常州·期中）已知：如图，是的弦． 求作：上的点，使得． 作法：①连接并延长交于P； ②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点； ③作直线交于点，连接 所以，点，就是所求作的点． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： 证明：连接， ， （___________）（填推理的依据）． ． 都在上， （___________）（填推理的依据） ． 【答案】(1)见解析； (2)等腰三角形三线合一，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆周角定理以及尺规作图，熟练掌握等腰三角形三线合一和圆周角定理是解题的关键． （1）按照题目给出的作法步骤，依次用直尺和圆规进行操作，补全图形． （2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理的相关知识，填写推理依据． 【详解】（1）解：补全图形如图所示． （2）解：连接AQ，PQ， ∵ ，， ∴ （等腰三角形三线合一）． ∴ ． ∵ A，B，，都在⊙O上， ∴ ，（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）， ∴ ． 20．（24-25九年级上·江苏南京·期末）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】(1)90，120 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 21．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为______； (2)这个圆的半径为________； (3)直接判断点与的位置关系，点在______（填内、外、上）； (4)如图，是的外接圆，，是上一点．请你只用无刻度的直尺，分别画出图1和图2中的平分线． 【答案】(1) (2) (3)内 (4)见解析 【分析】本题考查圆的综合应用，勾股定理，点与圆的位置关系，圆周角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质． （1）的垂直平分线所在直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点坐标； （2）由（1）求出，即可求圆的半径； （3）根据，即可判断点位置； （4）连接，则平分；连接与弧交于，连接，则平分． 【详解】（1）解：、， 的垂直平分线所在直线为， 圆心在直线上， 设， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：， ， 故答案为：； （3）解：，， ， 点在内， 故答案为：内； （4）解：图，即为所求， 连接， ， ， ， 平分； 图，即为所求， 连接并延长与弧交于，连接， ， ， ∵ ， ， 平分． 【经典例题四 正多边形与圆综合】 22．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心恰好是的内心，若，求花窗的周长（图中实线部分的长度）．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，解直角三角形，求弧长．过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：． 23．（2025九年级上·江苏·专题练习）如图所示，圆内接中，，、为的半径，于点，于点，求证：阴影部分四边形的面积是的面积的倍．    【答案】见解析 【分析】首先连接，根据垂径定理的知识，易证得，设，根据直角三角形的性质与等边三角形的知识，即可求得阴影部分四边形的面积与的面积，继而求得答案． 【详解】连、、，如图(2)所示，      图(2) 则，又．   ， 又于，于，由垂径定理得，，   ．    ∴ ． 即阴影部分四边形的面积是的面积的倍． 【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 24．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）数学实践活动： 仅用无刻度直尺作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，矩形的四个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (2)在图2中，正五边形的五个顶点都在圆上，作出圆心的位置； (3)在图3中，正方形只有一个顶点在圆上，作出圆心的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查圆周角定理，确定圆心，正多边形的性质，无刻度直尺作图； （1）根据圆周角所对弦是直径连接矩形对角线交点即为圆心； （2）连接和，分别与交于点，，连接和，此时根据对称性可得直线，是圆的对称轴，和的交点即为圆心； （3）延长正方形的边长、、对角线分别交圆于点、、，此时由正方形的性质可得是圆的对称轴，所对的弦是直径，连接与交点即为圆心． 【详解】（1）解：如图，连接矩形对角线交点即为圆心； （2）解：圆心的位置如图所示： （3）解：圆心的位置如图所示： 25．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，在一个正六边形中，点是该正六边形的中心，将该六边形的每条边延长，延长线的交点分别为、、、、、． (1)证明四边形是菱形； (2)若的长为6，请计算正六边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正多边形和圆，菱形的判定，解直角三角形： （1）根据正六边形的性质，推出，即可得证； （2）过点作，求出的面积，乘以6即为正六边形的面积． 【详解】（1）∵六边形是正六边形 ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， 同理，与也为等边三角形 ∵，， ∴也为等边三角形， ∴ 又∵ ∴， ∴， ∴四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形） （2）如图，过点作 ∵，， ∴ ∴ ∴六边形的面积为． 26．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)请在图（1）中对角线上作一点，使得； (2)请在图（2）中边上作一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点即为所求；利用正六边形的性质及含30度角的直角三角形的性质证明即可； （2）连接交BC于点即为所求，连接交于点H，利用相似三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点即为所求； ∵正六边形， ∴四边形与四边形关于成轴对称， ∴，，， ∵正六边形每个内角的度数为：， ∴， ∴； （2）如图，连接交BC于点即为所求．证明如下： 连接交于点H， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，作出相应图形是解题关键． 27．（2024·江苏镇江·模拟预测）【观察发现】 （1）如图1，在正方形中，点O为对角线的交点，点为正方形外一动点，且满足，连接．若正方形边长为4，则的最大值为______； （2）如图2，已知和都是等边三角形，连接，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，某地有一个半径为的半圆形（半圆O）人工湖，其中是半圆的直径，在半圆上（不与重合），现计划在的左侧，规划出一个三角形区域，开发成垂钓中心，要求为入口，并沿修建一笔直的观光桥，根据规划要求观光桥的长度尽可能的长，问的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3）存在， 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的基本性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相关性质是解题的关键． （1）以为直径作，连接，点和点在上，当为直径时，最长即可求解； （2）通过等边三角形的性质，证明，即可求证； （3）过点作的垂线并截取点使，如图，以点为圆心，为半径，作半圆， 则点在半圆上运动， 当三点共线时， ，此时长度取到最大值，即可求解． 【详解】解：（1）以为直径作，连接，如图： ∵是正方形， ∴， 又∵， ∴点和点在上， 当在一条直线上时，即为直径时，最长， ∵正方形边长为4， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）过点作的垂线并截取点使，如图，以点为圆心，为半径，作半圆， 则点在半圆上运动， 理由如下： 作，交半圆于点， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即且， ∴当点在上运动时，点在上运动， 连接，当三点不共线时， ， 当三点共线时， ，此时长度取到最大值， 即∶如图中，点在位置时，， ∵，， ∴，， ∴， 即最大值为． 28．（24-25九年级上·江苏南京·期末）金字塔是一种古老的建筑结构．它的底面是一个正多边形（如正三角形、正方形、正五边形等），侧面是由多个形状和大小一样的三角形构成，这些三角形的底边是底面多边形的边，顶点汇聚于一个共同的点，称为金字塔的顶点． 【提出问题】如何利用一张正多边形硬纸片制成一个无底的金字塔模型？ 【理解问题】在正多边形中，到各顶点距离相等的点是正多边形的中心．将正多边形相邻的两个顶点与中心相连，所得的三角形面积均相等． 【探究问题】 （1）如图，点O是正n边形硬纸片的中心，将其沿虚线剪开，分割成的多个四边形形状和大小也一样．将分割成的三角形拼接成一个无底的金字塔模型，此时正n边形的中心变为了金字塔的顶点． 已知正三角形、正方形、正五边形硬纸片的面积均为180，几种简单情形的数据如下： 正n边形的边数 3 4 5 …… 示意图 图1 图2 图3 …… 的度数 ° ° …… 金字塔模型中每个侧面的面积 20 15        …… 【归纳总结】（2）如图4，按照以上方式，则的度数为 °（用含有n的代数式表示），金字塔模型中每个侧面的面积为 （用含有S与n的代数式表示）． 【应用结论】（3）按照上述方式，若想剪拼出每个侧面的面积均为的无底金字塔模型，需要用面积多大的正八边形硬纸片？ 【答案】（1）120；90；12；（2），；（3）1200 【分析】本题考查了正多边形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． （1）由题意可得出答案； （2）由正多边形的性质可得出答案； （3）由（2）中的结论可得出答案． 【详解】解：（1）由图1可知，； 由图2可知，， 由图3可知，金字塔模型中每个侧面的面积为； 故答案为：； （2）∵分割成的多个三角形形状和大小一样， ∴的度数为； ∵正n边形硬纸片的面积为S， ∴金字塔模型中每个侧面的面积为. 故答案为：，； （3）根据题意可得， ∵， 所以，， 所以． 【经典例题五 圆中求阴影部分面积综合】 29．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知是中边上的高，以为直径的分别交、于点E、F，点G是的中点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求由线段、和弧围成的阴影部分面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由为的直径，得到，又由点G为斜边BD的中点，得到，从而证得，因此，从而可证得为圆的切线； （2）在中可求得，，，，根据的面积可求得，进而在中，，，由得到，由圆周角定理得到，从而．在中，求得，，由点G是的中点得到，因此． 【详解】（1）连接，，   为的直径， ， ， ∵在中，点G为斜边BD的中点， ， 在和中， ， ， ， ∵是高， ∴， ∴，即， ∴为圆的切线； （2）∵，， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴， ∵点G是的中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的切线的判定，三角形全等的判定及性质，圆周角定理，扇形的面积，勾股定理，三角形中线的性质等，综合运用相关知识是解题的关键． 30．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，已知是的直径，点、在上，且，过点作，垂足为． (1)填空：________度； (2)求的长； (3)若的延长线交于点，求弦，和围成的图形（阴影部分）的面积． 【答案】(1)60 (2) (3) 【分析】（1）根据圆周角定理求得，； （2）由求出，判断出是的中位线，就可得出的长； （3）连接，将阴影部分的面积转化为扇形的面积． 本题考查了扇形的面积计算、含角的直角三角形的计算及圆周角定理及垂径定理的知识，综合考查的知识点比较多，难点在第二问，注意将不规则图形转化为规则图形． 【详解】（1）是的直径， ， ， （圆周角定理）， 故答案为：60． （2）， ∴， ∵， ， ， ∴ 又点是中点， 是的中位线， ． （3）连接， ， ， ，， ， ， ， 故阴影部分的面积扇形的面积， ． 即可得阴影部分的面积为． 31．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图，是的外接圆，为的直径，点为弧中点，连接，作的平分线交于点，连接． (1)求证：； (2)若过C点的切线与的延长线交于点F，已知，求弧、线段围成的阴影部分面积； 【答案】(1)见详解 (2)1 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，然后证明得到； （2）连接、，如图，根据垂径定理得到，则利用和都为等腰直角三角形，所以，再根据切线的性质得到，接着证明为等腰直角三角形得到，然后根据扇形的面积公式，利用弧、线段、围成的阴影部分面积进行计算． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和扇形的面积公式． 【详解】（1）证明：为的直径， ， 点为弧中点， ， ， 平分， ， ，， ， ； （2）解：连接、，如图， 点为弧中点， ， ∴和都为等腰直角三角形， ， ， ， 为的切线， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， 弧、线段、围成的阴影部分面积． 32．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）已知：如图，点是正方形内一点，连接、、． (1)将绕点顺时针旋转得到，若，．求旋转过程中边扫过区域阴影部分的面积； (2)若，，，求点与之间的距离以及的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查正方形的性质，旋转的性质，扇形面积的计算. （1）根据旋转的性质得到，根据扇形的面积公式计算即可； （2）连接，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）由旋转的性质可知，， 旋转过程中边扫过区域面积 ； （2）连接， 由旋转的性质可知，，， ，， ，， ． 33．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作于点，交于点E，若的半径为，，求图中阴影部分（弓形）的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，求弓形面积，等边三角形的性质与判断，圆周角定理等等： （1）连接，根据圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质和已知条件可求得，再根据切线的判定定理可得结论； （2）过点作于，连接，根据已知和第（1）小题可得，由，可得，进而判定是等边三角形，求出的度数，利用可求出答案． 【详解】（1）连接， 是的直径 ， ， ，即， 是的半径， 直线是的切线 （2）过点作于，连接， ， 由（1）得 是等边三角形， 34．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）两个以点O为圆心的半圆如图放置，AB、CD分别是直径，点E为大半圆上异于C的一点，连接OE交小半圆于点F，点P为CE上异于C、E的一点，连接OP交CE于点H，交AF于点G． (1)①求证：AFCE； ②若＝，求； (2)若＝2，且大半圆的直径CD＝4，点P为CE上异于C、E的动点，当阴影部分面积最小时，直接写出的长为 ． 【答案】(1)①见解析② (2) 【分析】（1）①根据已知条件证明得出∠OAF＝∠OCE，即可判断AFCE； ②由AFCE，得出△AOG∽△COH，＝，同理：＝，则＝，结合已知条件即可求解； （2）根据已知条件求得，根据，可知的面积一定，当取得最大值时，阴影部分的面积最小，当时，当最小时，最大，此时证明是等边三角形，可得，根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】（1）证明①∵∠AOF＝∠COE，AO＝FO，CO＝EO， ∴， ∴， ∴∠OAF＝∠OCE，∴AFCE； ②∵AFCE， ∴△AOG∽△COH， ∴＝， 同理：＝， ∴＝， ∴＝， ∵＝， ∴＝； （2）∵＝2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积一定，当取得最大值时，阴影部分的面积最小， ∴当时，当最小时，最大， 此时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，又， ∴是等边三角形， ∴, ∴, ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，求弧长，综合运用以上知识是解题的关键． 35．（2025·江苏苏州·模拟预测）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角的大小 （2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】（1）=90°；（2）S阴影=（100-）cm2． 【分析】（1）设ED=x，则AD=2x，根据圆的周长求 弧长，利用弧长公式求即可； （2）由，=90°，可得△ABC为等腰直角三角形，由可求BD=CD=AD=10cm， 利用三角形面积公式求S△BAC=，利用扇形面积公式求，利用面积差求S阴影即可． 【详解】解：（1）设ED=x，则AD=2x， ∴弧长， ∴， ∴=90°； （2）∵ED=5cm， ∴AD=2ED=10cm， ∵，=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵， ∴BD=CD=AD=10cm， ∴BC=BD+CD=20cm， ∴S△BAC=cm2， ∴， ∴S阴影= S△BAC-=（100-）cm2． 【点睛】本题考查圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积，掌握圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积是解题关键． 【经典例题六 圆与三角形综合应用】 36．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，三角形中，点为上一点，过，，三点作圆，是圆的直径，连接，给出如下信息：①；②是圆的切线；③． (1)在信息①②③中选择其中两个作为条件，另一个作为结论，并加以证明． (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是切线的判定定理、相似三角形的判定和性质以及圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、切线的判定定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质、圆周角定理证明∠CAE=90°，根据切线的判定定理证明； （2）取的中点，连接，根据等腰三角形的三线合一得到，根据余弦的定义求出，根据勾股定理求出，根据相似三角形的判定和性质计算． 【详解】（1）选择①③作为条件，②作为结论， 证明：， ， ， ， 由圆周角定理得，， 是圆的直径， ，即， ，即， 是圆的切线； 选择①②作为条件，③作为结论， 证明：是圆的切线， ， 是圆的直径， ，即， 由圆周角定理得，， ， ， 选择②③作为条件，①作为结论， 证明：是圆的切线， ， 是圆的直径， ，即， 由圆周角定理得，， ， ， ； （2）取的中点，连接， ， ， 在中， 设，则 ， ， ， ，即， 的半径为 37．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）【图形定义】有两边之比为的三角形称为智慧三角形例如，在图的中，若，就称为智慧三角形． 【灵活运用】如图，是智慧三角形，，是边上的中线，求的值． 【拓展延伸】如图，是的内接三角形，是直径，过的中点作，垂足为，交于点，连接交于点． （1）求证：是智慧三角形； （2）若，则的值为______ ． 【答案】【灵活运用】；【拓展延伸】（1）详见解析；（2） 【分析】灵活运用：通过证明∽，可得； 拓展延伸：（1）通过证明，可得，可得，由智慧三角形的定义可求解； （2）由勾股定理可求，的长，由锐角三角函数可求的长，通过证明，可得，即可求解． 【详解】灵活运用： 解：是的中线， ， ， ， ， ∽， ； 拓展延伸： （1）证明：点是的中点， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 是智慧三角形； （2）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用参数表示线段的长是解题的关键． 38．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）小明用长，宽的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了三种方案： 方案一：直接锯一个半径最大的圆； 方案二：沿对角线将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案三：锯一块小矩形拼到矩形下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆． (1)写出方案一中圆的半径； (2)求方案二中圆的半径； (3)在方案三中，设，当取何值时圆的半径最大？（画出示意图，简要写出求解的思路，并直接写出此时圆的半径） 【答案】(1)1 (2) (3)图见解析，当时，最大为 【分析】本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，熟练掌握运用相关知识是解答本题的关键． （1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1． （2）设半径为，根据列方程求解即可； （3）类似（1）截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，虽然方案三中新拼的图象不一定为矩形，但直径也不得超过横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其，即为半径．由为x，则新拼图形水平方向跨度为，竖直方向跨度为，则需要先判断大小，而后分别讨论结论．已有关系表达式，则直接根据不等式性质易得方案三中的最大半径．即得最终结论． 【详解】（1）解：方案一中的最大半径为1． 长方形的长宽分别为3，2， 直接取圆直径最大为2， 半径最大为1； （2）解：设半径为如图， ； ， 解得． （3）解：设圆的半径为， 新拼图形水平方向跨度为，竖直方向跨度为． 类似（1），所截出圆的直径最大为或较小的． 当时，即当时，； 当时，即当时，； 当时，即当时，． 当时，； 当时，； 当时，， 方案三中，当时，最大为． 39．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）问题提出：（1）如图，在四边形中，连接、，，，将绕点逆时针旋转，得到，点的对应点落在点，点的对应点为点，可知，点、、在一条直线上，则为______三角形，、，的数量关系为______； 探究发现：（2）如图，在中，为直径，点为弧的中点，点为圆上一个点，连接、、、、，且，请求出、、的数量关系； 拓展延伸：（3）如图，在等腰直角三角形中，点为的中点，若，平面内存在一点，且，，当点为中点时，______． 【答案】（）等腰直角，；（）；（）或． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握圆周角定理，旋转的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据旋转的性质得到为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出、、的数量关系； （）延长交于，连接、、，根据圆周角定理得到，由（）的结论解答； （）分点在直线的左侧和点在直线的右侧两种情况，根据（）（）的结论计算，得到答案． 【详解】解：（）由旋转变换的性质可知，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：等腰直角，； （）如图，延长交于，连接，， ∵是直径， ∴，， 由（）可知：， 又， ∴， ∴； （）如图，当点在直线的左侧时，连接、， ∵，，点为的中点， ∴，， ∵，点为中点， ∴， ∴， ∵，，， 由勾股定理得，， 由（）得，， ∴， 解得，， 如图，当点在直线的右侧时，连接、， 同理可知：， ∵，， ∴， 由勾股定理可求得：， 由（）的结论可知，， 故答案为：或． 40．（2024·江苏扬州·模拟预测）【探究】如图，三角形的外接圆为，上有一动点，点不与点重合，连接． （1）如图甲，连接并延长至点，连接，若，且过圆心，，证明：是的切线； （2）如图乙，当三角形是等边三角形，求证：．小明发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．请你帮小明补全证明过程； 【应用】 （3）如图丙，是的外接圆，，，点在上，且点与点在的两侧，连接，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，即，得出，即可得证； （2）由内接四边形的性质结合已知得出，证明得出，再证明是等边三角形即可得证； （3）延长至点，使，连接．由内接四边形的性质结合已知得出，证明，得出，求出，，，即可得解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，过圆心， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）证明：延长至点，使，连接， 四边形是的内接四边形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形， ； （3）解：如图，延长至点，使，连接． 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 41．（2025·江苏南京·模拟预测）综合与实践 定义：能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 探索发现：用大小不同的圆形纸片去覆盖一张三角形纸片，经过多次操作发现： （1）锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆， （2）钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆． 如图1，以斜边为直径作圆，刚好是可以把覆盖的面积最小的圆，称之为该直角三角形的最小覆盖圆． (1)实践与操作：如图2．在中，，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹）． (2)应用与计算：如图3，在中，，，，请求出的最小覆盖圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查的是作三角形的外接圆，垂径定理，勾股定理的应用，熟练的作三角形的外接圆是解本题的关键． （1）由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是以为直径的圆．先作出的垂直平分线，得出的中点，再以为半径作圆即可； （2）连接、，过O作，求解，可得，证明，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：如图，是这个三角形的最小覆盖圆． （2）解：如图，的最小覆盖圆为的外接圆 连接、，过O作于点H ， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， 故的最小覆盖圆的半径为2． 42．（2024·江苏·模拟预测）阅读与思考： 阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 婆罗摩笈多（）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：古拉美古塔定理，如图，四边形内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线于点F，则． ，证明：，， ， ，， ． ， ∴_____________________（同弧所对的圆周角相等）． 又∵， ． ． … 任务： (1)材料中横线部分缺少的内容为：______； (2)古拉美古塔定理的逆命题：如图，四边形内接于，对角线，垂足为点M，直线交于点E，交于点F．若，则．请证明该命题． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理，斜边上的中线，等角对等边： （1）根据圆周角定理，作答即可； （2）斜边上的中线，得到，得到，， 圆周角定理，得到，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ． ， ∴（同弧所对的圆周角相等）． 又∵， ． ． 故答案为：； （2）证明：在中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【经典例题七 圆与函数问题综合应用】 43．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）对于平面直角坐标系中的点P和，给出如下定义：若上存在点A，使得，则称P为的半角关联点．当的半径为1时 (1)在点中，的半角关联点是 ； (2)直线l：交x轴于点M，交y轴于点N，若直线l上的点是⊙O的半角关联点，求m的取值范围． 【答案】(1)D，E (2) 【分析】（1）直接根据半角关联点的定义解答即可； （2）先根据直线解析式可得，再以O为圆心，长为半径画圆，交直线于点G，可得，设小圆与y轴负半轴的交点为H，连接；再说明是等边三角形，进而确定点G的纵坐标为，然后代入，可得其横坐标为，即． 【详解】（1）解：由题意可知在圆上存在点A使和， ∴D，E是的半角关联点． 故答案为D，E． （2）解：由直线解析式可得：， 以O为圆心，长为半径画圆，交直线于点G，可得， 设小圆与y轴负半轴的交点为H， 连接 ∵ ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴轴， ∴点G的纵坐标为，代入，可得其横坐标为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了半圆关联点、圆的性质、解直角三角形、等边三角形的判定与性质等知识点，理解半圆关联点的定义是解答本题的关键． 44．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点，交x轴于点，． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点B作线段的垂线交抛物线于点D，求点D的坐标； (3)如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明． 【答案】(1) (2) (3)相交，证明见解析 【分析】此题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系等知识； （1）已知抛物线交轴于，交轴于、两点坐标分别为，，把以上三点的坐标分别代入抛物线，求出，，的值即可求出此二次函数的解析式； （2）过点作轴与点，设，再证明即可求解； （3）根据抛物线的解析式，易求得对称轴的解析式及、的坐标，分别求出线段、、的长度，再求出的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可． 【详解】（1）抛物线交轴于，交轴于两点坐标分别为， ， 解得 抛物线的解析式为：； （2）过点作轴与点． 点在抛物线上， 设点坐标为． ，， ，， ， ， ， ． 解得：或（舍去）． ． 点的坐标为． （3）相交． 证明：连接，则， 抛物线交轴于两点坐标分别为，． 对称轴， ，，， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 抛物线的对称轴与相交． 45．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，抛物线经过，且与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P是x轴的正半轴上一点，，求点P的坐标； (3)当点P是抛物线上第一象限上的点，，直接写出点P的坐标为______． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3)点P的坐标为 【分析】（1）把抛物线解析式设成交点式求解即可； （2）根据得到即可得到答案； （3）如图所示，取点M（9，0），由（2）可知，推出A、C、M、P四点共圆，再证明∠ACM=90°，得到AM是点A、C、M、P所在圆的直径，则A、C、M、P所在圆的圆心坐标为（4，0），半径为5，由此求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，代入点C的坐标得： ， ∴， ∴抛物线解析式为 （2）解：∵，点C的坐标为（0，-3）， ∴， ∴点P的坐标为（9，0）； （3）解：如图所示，取点M（9，0）， 由（2）可知， ∴∠APC=∠AMC， ∴A、C、M、P四点共圆， ∵点A（-1，0），C（0，-3），M（9，0）， ∴AM=10，，， ∴， ∴∠ACM=90°， ∴AM是点A、C、M、P所在圆的直径， ∴A、C、M、P所在圆的圆心坐标为（4，0），半径为5， 当时，，而点（4，5）到（4，0）的距离为5，即点（4，5）在点A、C、M、P所在的圆上， ∴点P的坐标为（4，5）； 【点睛】本题主要考查了圆与函数综合，勾股定理的逆定理，两点距离公式，待定系数法求二次函数解析式等等，熟知圆与二次函数的相关知识是解题的关键． 46．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图1，对于的顶点及其对边上的一点，给出如下定义：以为圆心，为半径的圆与直线的公共点都在线段上，则称点为关于点的内联点． 在平面直角坐标系中： (1)如图2，已知点，点在直线上． ①若点，点，则在点O，C，A中，点__________是关于点的内联点； ②若关于点的内联点存在，求点纵坐标的取值范围； (2)已知点，点，将点绕原点旋转得到点，若关于点的内联点存在，请求出当点落在第四象限时的最大值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①分别以为圆心，，，为半径作圆，观察图象根据线段与圆的交点的位置，可得结论． ②如图2中，当点时，此时以为半径的圆与直线的公共点都在线段上，此时点是关于点的内联点，当点时，以为半径的圆，与线段有公共点，此时点是关于点的内联点，利用图象法即可解决问题． （2）如图3中，过点作轴于，过点作轴于．利用相似三角形的性质及全等三角形的性质及判定，结合图象法可得结论． 【详解】（1）解：①如图1中，根据点为关于点的内联点的定义，观察图象可知，点，点是关于点的内联点． 故答案为：，． ②如图2中，当点时，此时以为半径的圆与线段有唯一的公共点，此时点是关于点的内联点， 当点时，以为半径的圆，与线段有公共点，此时点是关于点的内联点，观察图象可知，满足条件的的值为． （2）解：如图3中，过点作轴于，过点作轴于． ， ，， ， 点在第四象限，当时，设交于， ，，， ， ， ，， 在中，则有， 解得， ，， ∵轴, , ∴, ∵， ∴， ∴即, 解得， ∵关于点的内联点存在， ∴观察图象可知，满足条件的的最大值为． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了点为关于点的内联点的定义，一次函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题． 47．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，半圆的直径，点在上且，点是半圆上的动点，过点作交（或的延长线）于点．设，．（当点与点或点重合时，的值为0） 小石根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表： 1 1.5 2 2.5 3 3.5 ________ ________ 3.7 4 3.8 3.3 2.5 0 (2)在给出的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，解决问题：当与直径所夹的锐角为时，的长度约为________． 【答案】(1)0，4 (2)见解析 (3)1.1或3.7 【分析】（1）当时，此时与重合，当时，点与重合，据此解答即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）根据含解直角三角形的性质可求出，观察图象写出对应的的值即可． 【详解】（1）当时，此时与重合，， 当时，点与重合，此时． 故填表如下： 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 3.7 4 3.8 3.3 2.5 0 （2）函数图象如图所示： （3）由题意得：， ， ， ， ， 观察图象可知时，对应的的值为1.1或3.7． 故答案为1.1或3.7． 【点睛】本题是圆的综合题，直角三角形30度角的性质，坐标与函数图象问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题． 48．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）我们把方程（x﹣m）2＋（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2＋（y＋2）2＝9．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E． (1)求⊙C的标准方程； (2)试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由； (3)连接CE，求sin∠AEC的值． 【答案】(1)（x﹣5）2＋（y﹣4）2＝25 (2)相切，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图1，连接CD、CB，过点C作CF⊥AB于点F，设⊙C的半径为r，根据切线的性质可得：CD⊥y轴，CD=CB=r，再运用勾股定理建立方程求解即可求得答案； （2）先利用待定系数法求得抛物线解析式并化为顶点式，得出E（5，-），再运用勾股定理逆定理即可证得结论； （3）运用三角函数定义即可求得答案． 【详解】（1）如图1，连接CD、CB，过点C作CF⊥AB于点F， 设⊙C的半径为r， ∵⊙C与y轴相切于点D（0，4）， ∴CD⊥y轴，CD＝CB＝r， ∵∠CDO＝∠CFO＝∠DOF＝90°， ∴四边形CDOF是矩形， ∴OF＝CD＝r，CF＝OD＝4， ∴BF＝OB﹣OF＝8﹣r， ∵∠BFC＝90°， ∴BF2＋CF2＝BC2，即（8﹣r）2＋42＝r2， 解得：r＝5， ∴C（5，4）， ∴（x﹣5）2＋（y﹣4）2＝52， ∴⊙C的标准方程为（x﹣5）2＋（y﹣4）2＝25； （2）直线AE与⊙C相切，理由如下： 由（1）知：C（5，4），CF⊥AB， ∴AF＝BF，F（5，0）， ∵B（8，0）， ∴A（2，0）， 设经过点A、B、D的抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣8）， 则a×（0﹣2）×（0﹣8）＝4， 解得：a， ∴y（x﹣2）（x﹣8）（x﹣5）2， ∴E（5，）， 如图2，连接CE，CA， ∵A（2，0），C（5，4），E（5，）， ∴AC＝5，CE＝4﹣（）， AE， ∵AE2＋AC2＝（）2＋52，CE2＝（）2， ∴AE2＋AC2＝CE2， ∴∠CAE＝90°，即CA⊥AE， ∵CA为⊙C的半径， ∴AE与⊙C相切于点A； （3）如图2，由（2）知：∠CAE＝90°，AC＝5，CE， ∴sin∠AEC． 【点睛】本题考查了待定系数法，圆的性质，垂径定理，切线的性质和判定，勾股定理及逆定理，三角函数定义等知识，第（2）小题要注意运用勾股定理逆定理． 49．（24-25九年级上·江苏苏州·课后作业）如图，点C是中直径上的一个动点，过点C作交于点D，点M是直径上一固定点，作射线交于点N．已知，设线段的长度为，线段的长度为． 小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探索． 下面是小东的探究过程，请补充完整 （1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（保留一位小数） 0 1 2 3 4 5 6 4 3.3 2.8 2.5 2.1 2 并在图2中建立平面直角坐标系，画出该函数的图象； （2）结合画出的函数图象，解决问题：当时，x的取值约为________． 【答案】（1）2.3；画图见解析；（2）2.7 【分析】（1）如图中，连接，、．利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出即可，再利用描点法画出函数图象即可； （2）利用图象寻找图象与直线的交点的坐标即可解决问题． 【详解】解：（1）如图中，连接，、． ∵， ∴， ，，， ，，， ∴在中，， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：2.3． 函数图象如图所示， （2）观察图象可知，当时，的取值约为2.7． 故答案为：2.7． 【点睛】本题考查圆综合题、勾股定理、相似三角形的判定和性质、描点法画函数图象等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 【经典例题八 圆的常用辅助线的作法】 50．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦． （1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）； 第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D； 第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E． 第三步，连接BD． （2）求证：DE是⊙O的切线； （3）如图AD=5，AE=4，求⊙O的直径． 【答案】（1）如下图；（2）详见解析；（3） 【详解】试题分析：（1）根据基本作图作出∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D；点D作AC的垂线，垂足为点E； （2）连接OD，先根据圆的基本性质可得OA=OD，根据“等边对等角”可得∠OAD=∠ODA，再结合AD平分∠BAC可得∠EAD=∠ODA，即可证得AC∥OD，然后根据平行线的性质即可作出判断； （3）根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°，而DE⊥AC，则∠AED=90°，又由AD平分∠CAB得到△AED∽△ADB，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得结果. 试题解析：（1）如图所示： （2）连接OD ∵OA=OD ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD=∠OAD ∴∠EAD=∠ODA ∴AC∥OD ∵DE⊥AC ∴∠EDO=90° ∴DE是⊙O的切线； （3）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵DE⊥AC， ∴∠AED=90°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠DAB， ∴Rt△ADE∽Rt△ABD， ∴ ∵AD=5，AE=4 ∴，解得，即⊙O的直径为． 考点：圆的综合题 51．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）同学们，圆中很多综合问题的解决需要我们熟练掌握一些常用的辅助线和有关结论，请先认真、仔细地完成下面的问题1和问题2，再运用这两个问题的方法和结论解决相关综合问题． (1)在圆中，“两条平行弦所夹的弧相等”这一重要结论大家已经知晓，这个结论的证明方法较多，请你依据有关圆的性质完成这一结论的证明过程．如图1，在中，弦，求证：： (2)在圆中，依据“直径所对的圆周角是直角”来构造“直角三角形”是常用的辅助线．如图2，在中，半径为，弦，若点在优弧上，则的值为 ： 请利用上述两个问题的方法和结论，完成下面的综合问题： (3)如图3，的直径为，弦⊥弦于点，连接，，若，求的长，请写出解题过程． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【分析】（1）连接，根据平行线的性质得出，根据同圆中，相等圆周角所对的弧相等，即可得证； （2），作直径，连接，根据同弧所对的圆周角相等，得出，继而即可求解； （3）连接并延长交于于点，连接，，根据（1）的结论得出，在中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）如图，连接． ∵ ∴ ∴； （2）解：如图，作直径，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）连接并延长交于点，连接，， 为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了弧与弦的关系，平行线的性质，直径所对的圆周角是直角，求余弦，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 52．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB=PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可异证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程． 小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程． 【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径R为7． 【分析】（1）连结AC，BD，根据圆周角定理得到∠C=∠B，∠A=∠D，再根据三角形相似的判定定理得到△APC∽△DPB，利用相似三角形的性质得AP：DP=CP：BP，变形有AP•BP=CP•DP；由此得到相交弦定理； （2）由AB=10，PA=4，OP=5，易得PB=10-4=6，PC=OC-OP=R-5，PD=OD+OP=R+5，根据相交弦定理得到PA•PB=PC•PD，即4×6=（R-5）×（R+5），解方程即可得到R的值． 【详解】（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知，如图1，⊙O的两弦AB、CD相交于E， 求证：AP•BP=CP•DP． 证明如下： 连结AC，BD，如图1， ∵∠C=∠B，∠A=∠D， ∴△APC∽△DPB， ∴AP：DP=CP：BP， ∴AP•BP=CP•DP； 所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． （2）过P作直径CD，如图2， ∵AB=10，PA=4，OP=5， ∴PB=10﹣4=6，PC=OC﹣OP=R﹣5，PD=OD+OP=R+5， 由（1）中结论得，PA•PB=PC•PD， ∴4×6=（R﹣5）×（R+5）， 解得R=7（R=﹣7舍去）． 所以⊙O的半径R=7． 【点睛】本题考查的是圆，熟练掌握相交弦定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键. 53．（2025·江苏无锡·模拟预测）阅读理解：辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁，在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽． 例如：在图(1)中，，求证：．(请写出证明过程) 证明： 方法运用：如图(1)已知，，，则∠CAD的度数为______． 方法拓展： 如图(2)在矩形ABCD中，，，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将沿EF所在直线折叠得到，连结，则的最小值是______． 【答案】88°；． 【分析】(1)同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，故∠BAC=2∠BDC． (2)由AB=AC=AD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理，证得∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，继而可得∠CAD=2∠BAC． (3)当∠BFE=∠，点在DE上，此时的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知，DE-即为所求． 【详解】(1) 证明：以A点为圆心，AB为半径画圆， ∴AB=AC=AD， ∴B、C、D点都在圆A上， ∴∠DBC=∠DAC，∠BDC=∠BAC． (2)解：∵， ∴B，C，D三点在以A为圆心，AB为半径的圆上， ∴∠CAD=2∠CBD，， ∵∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°， ∴∠CAD=2∠BAC=88° ∠CAD的度数为88°． (3)如图，当∠BFE=∠，点在DE上时，此时的值最小， 根据折叠的性质△EBF≌△, ∴⊥， ∴=EB， ∵E是AB边的中点，AB=4， ∴AE==2， ∵AD=6， ∴DE=， ∴． 的最小值是． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点在何位置时，的值最小，注意得到B,C,D在以A为圆心，AB为半径的圆上是解决问题的关键． 54．（2025·江苏苏州·模拟预测）若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的交角中的任意一个称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．） （1）为了说明直线和圆的交角性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程（只证明劣交角即可）． 已知：如图①，直线l与⊙O相交于点A、B，过点B作 ． 求证：∠ABD＝ ． （2）如图②，直线l与⊙O相交于点A、B，AD为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，交DA的延长线于点C，若AD＝BC，AC＝2，求⊙O的半径． 【答案】（1）DE切⊙O于B，∠C；（2） 【分析】（1）如图①，连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，根据圆周角定理得到∠BAF＝90°，余角的性质得到∠ABD＝∠F，于是得到结论； （2）如图②，连接BD，易证△ABC∽△BDC，根据相似三角形的性质得到BC2＝CD•AC，设⊙O的半径为r，列方程即可得到结论． 【详解】（1）已知：如图①，直线l与⊙O相交于点A、B，过点B作DE切⊙O于B， 求证：∠ABD＝∠C． 证明：如图①，连接BO并延长交⊙O于F，连接AF， ∵BF是⊙O的直径， ∴∠BAF＝90°， ∴∠ABF+∠F＝90°， ∴∠ABD+∠ABF＝90°， ∴∠ABD＝∠F， ∵∠C＝∠F， ∴∠ABD＝∠C； 故答案为：DE切⊙O于B，∠C； （2）如图②，连接BD， ∵直线l与⊙O相交于点A、B，BC切⊙O于点B， 由（1）知，∠ABC＝∠D， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴， ∴BC2＝CD•AC， 设⊙O的半径为r， 则BC＝AD＝2r，CD＝AD+AC＝2r+2， ∴（2r）2＝2×（2r+2）， 解得r1＝，r2＝（不合题意，舍去）， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、切线的性质定理及相似三角形的判定与性质，解决第（2）题的关键是证明△ABC∽△BDC． 55．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）复习巩固 切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.如图1，直线l1为⊙O的切线 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1，直线l2为⊙O的割线 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 阅读材料 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作.它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36一2圆幂定理（切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程 已知：如图2，A是⊙O外一点，　　． 求证：　　 [提示]辅助线可先考虑作⊙O的直径DE． 【答案】AD是⊙O的切线，直线ABC为⊙O的割线；；证明见解析． 【分析】按照题设要求，写出“已知”和“求证”，然后证明△ABD∽△ADC，即可求解． 【详解】解：（已知：如图，A是⊙O外一点，）AD是⊙O的切线，直线ABC为⊙O的割线． 求证：． 故答案为：AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线，． 证明：连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE， ∵AD是⊙O的切线， ∴， ∵DE是圆的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴△ABD∽△ADC， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、同弧或等弧所对的圆周角相等以及相似三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线是解决本题的关键． 56．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）【阅读】 辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁．在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽． 性质：如图①，若，则点在经过，，三点的圆上． 【问题解决】 运用上述材料中的信息解决以下问题： （1）如图②，已知．求证：． （2）如图③，点，位于直线两侧．用尺规在直线上作出点，使得．（要求：要有画图痕迹，不用写画法） （3）如图④，在四边形中，，，点在的延长线上，连接，．求证：是外接圆的切线．                  【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】(1)作以为圆心，为半径的圆,根据圆周角性质可得;(2) 作以AB中点P为圆心，为半径的圆,根据圆周角定理可得；（3）取的中点，则是的外接圆．由，可得点在的外接圆上．根据切线判定定理求解. 【详解】（1）如图，由，可知: 点，，在以为圆心，为半径的圆上． 所以，． （2）如图，点，就是所要求作的点． （3）如图，取的中点，则是的外接圆． 由，可得点在的外接圆上． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． ∴是外接圆的切线． 【点睛】考核知识点：多边形外接圆.构造圆，利用圆周角等性质解决问题是关键. 【经典例题九 圆中最值问题(含隐圆、阿氏圆)】 57．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，是四边形的外接圆，直径为10，平分，过点D作，交的延长线于点P． (1)如图①，若是的直径． ①求证：与的相切； ②若，求的度数； (2)如图②，若，求的最大值．（提示：连接，在上截取） 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①连接，由得到，根据平分，即得到，而，即可得到，即可得到结论； ②先判断出，求出，即可得到答案． （2）连接，在上截取，证明是等边三角形，证明，根据全等三角形的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：①证明：连接， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，即， ， 是的半径， 与相切； ②是的直径， ， ， ， ， 由①知， ， ， ， ； （2）解：如题图，连接，在上截取， ， ， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 当为直径，即时，取最大值是． 【点睛】本题主要考查圆的切线判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定及性质、解直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键． 58．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【模型建立】 如图①、②，点分别在圆外，在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 (1)请就图①中为何最长进行证明． (2)已知点到圆上的点的最短距离为4，最长距离为8，则圆的半径为_____________． (3)如图③，在中，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是____________． (4)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，求线段的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2或6 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在内，根据线段的和差即可求解； （3）连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； （4）取点，连接，并延长交于点，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答． 【详解】（1）解：如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点C与点B重合时，， ∴综上可得，， ∵点C为上任意一点， ∴的长是点P到上的点的最长距离． （2）（1）若点P在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为6； 综上所述，的半径为2或6． 故答案为：2或6． （3）连接，交于点D，由（1）可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． （4）取点，连接，并延长交于点， ∵，， ∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，， ∴， ∵的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 【点睛】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，三角形中位线的性质，直线外一点到圆的距离等，掌握题意中的模型是解题的关键． 59．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，点P是斜边上的一个动点，过点C、P的⊙O分别交直角边于点M、N，连接． (1)当点P运动到的位置时． ①如图1，若⊙O与相切，则线段MN的长为________； ②如图2，连接，若，求线段的长； (2)如图3，若点P运动到的中点时，则线段的最小值为________；线段的最大值为________； (3)在点P的运动过程中，线段的取值范围为________． 【答案】(1)①，②5 (2)5， (3) 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）①根据切线的性质可得：是⊙O的直径，则，根据三角形的面积公式即可得解； ②如图2，由①可知，是⊙O的直径，证明是的中位线，即可解答； （2）当是直径时，的值最小，当在边上时，的值最大，即可解答； （3）在点P的运动过程中，要求的取值范围，就是求的最大值和最小值，由（2）得：当是直径时，的值最小，当在边上时，的值最大，即可解答； 【详解】（1）①∵⊙O与相切， ∴是⊙O的直径， ∴是⊙O的直径 故答案为： ②如图2，由①可知，是⊙O的直径， 是中位线， （2）∵点P运动到的中点，， ， 如图3，当是直径时，的值最小，此时, 如图4，当M与C重合时，的值最大，此时为直径，连接, , 过点P作于Q， ∵， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， ， 综上，线段的最小值为5，线段的最大值为； 故答案为：5， （3）当点P与A重合时，的值最大，此时M与C重合，N与A重合，此时 ∴线段的取值范围为： 故答案为： 60．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图，是的半径，．点在上，将点沿的方向平移到点，使，点为的中点．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用平行四边形的知识解决该问题：如图，连接，由平行四边形的判定及性质推出点的运动路径是以点为圆心，为半径的圆，下面是部分证明过程： 证明：连接， ．当点在直线外时， 证明过程缺失 ．当点在直线上时， 易知， 所以，点的运动路径是以点为圆心，为半径的圆． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】在上述问题的条件下，连接，记点是线段的中点，如图，若点在上运动一周，则点的运动路径长为______． 【拓展提升】如图，，，．点的线段上，，点是平面内一点，，点是线段上的任意一点，连接，则线段长度的最大值为______． 【答案】[问题解决]见解析；[结论应用]；[拓展提升]． 【分析】本题考查了圆的有关性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线，勾股定理，熟练掌握以上内容是解题关键． [问题解决]利用平行四边形的判定与性质和圆的有关性质解答即可； [结论应用]利用[问题解决]的结论得到点的轨迹，再利用圆的周长公式解答即可； [拓展提升]利用已有的结论得到点的轨迹，再利用三边关系求最值． 【详解】[问题解决]证明：在线段上截取，连接，如图， 当点在直线外时， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴点的运动路径是以点为圆心、为半径的圆； 当点在直线上时， 易知：， ∴点在以点为圆心、为半径的圆上， 综上，点的运动路径是以点为圆心、为半径的圆， [结论应用] 解：∵点是线段的中点，取的中点，连接，则为的中位线， 则， 故点在以点为圆心，长度为半径的圆上，若点在上运动一周，则点的运动路径长为， 故答案为：； [拓展提升]解: 如图中，连接，， ∵，，， ∴， 由题意的轨迹是以点为位似中心放大的一系列圆，取最大值时，点应与点重合，此时所在轨迹圆最大，圆心是点， 当点在的延长线上时，的值最大，最大值， 故答案为：． 61．（2024·江苏盐城·模拟预测）阅读理解： (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一：“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______°． ②类型二：“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵，∴，∵，∴， ∴______，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． (2)【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． (3)【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长． 【答案】(1)① ②，后面过程见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）①根据得到点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，再根据圆周角定理求出答案； ②根据图形结合推理过程直接解答即可； （2）连接，由对称性得到，得到点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值，利用勾股定理求出，即可得到的最小值； （3）连接交于点O，证明，得到，推出，得到点P的运动路径是以为直径的圆弧，根据弧长公式求出点P的运动路径长为． 【详解】（1）解：①∵， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上， 如图1，∴，故答案为：； ②∵，∴， ∵，∴，∴， ∴点P在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点P，此时最小， ∵点O是的中点， ∴， 在中，，，， ∴，∴． ∴最小值为2，故答案为：； （2）解：如图3，连接， ∵点B，点M关于直线对称，∴， ∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值， ∵，，∴， ∴的最小值为，故答案为：4； （3）解：如图4，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴点P的运动路径是以为直径的圆弧， ∴点P的运动路径长为． 【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握各定理并熟练应用是解题的关键． 62．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）阅读下列材料，回答问题. 材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”.解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变.从而找到动点所在的隐藏圆，进面转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值. 解决问题： （1）如图①，圆O的半径为1，圆外一点A到圆心的距离为3，圆上一动点B，当A、O、B满足条件____________时，有最小值为____________. （2）如图②，等腰两腰长为5，底边长为6，以A为圆心，2为半径作圆，圆上动点P到的距离最小值为__________. （3）如图③，，P、Q分别是射线、上两个动点，C是线段的中点，且，则在线段滑动的过程中，求点C运动形成的路径长，并说明理由. （4）如图④，在矩形中，，，点E是中点，点F是上一点，把沿着翻折，点B落在点处，求的最小值，并说明理由. （5）如图⑤，在中，，，，以边中点O为圆心，作半圆与相切，点P，Q分别是边和半圆上的动点，连接，求长的最小值，并说明理由. 【答案】（1）A，B，O在一条直线上（或）；2；（2）2；（3），见解析；（4），见解析；（5）1，见解析. 【分析】（1）根据最小距离等于圆外一点到圆心的距离减去半径可得到最小值，这时A，B，O在一条直线上； （2）作AD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出AD的长度，用AD的长度减去半径即为圆上动点P到的距离最小值； （3）根据点C与点O之间的距离永远不变说明点C的运动轨迹为圆，利用弧长公式求路径长即可； （4）先根据EB为定值，确定点B’的运动轨迹，然后当D,B’,E三点共线时，DB’最小，利用勾股定理求出DE的长度，再减去半径即可； （5）过O点作，利用三角形中线的性质得出OP,OQ 的长度，从而求出PQ的最小值. 【详解】（1）根据最小距离等于圆外一点到圆心的距离减去半径可得到最小值，有最小值为3-1=2此时A，B，O在一条直线上（或）；   （2）如图，作AD⊥BC于点D ∵ 由勾股定理得 点P到的距离最小值为 （3）如图，连接， ∵，C是中点，，∴所以C是以O为圆心，半径为2的圆上，所以 （4）如图，连接DE 因为点E是定点，，所以的轨迹为以E为圆心，2为半径的圆上.，∴的最小值为 （5）如图，过O点作，交圆O于点Q， 由三角形中线的性质得，，所以最小值为1 【点睛】本题主要考查根据材料求最小距离，找到动点的运动轨迹是解题的关键. 63．（2025·江苏·模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga），古希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点与两定点，的距离之比等于定比，则点的轨迹是以定比内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”． 如图1，点，为两定点，点为动点，满足，点在线段上，点在的延长线上且，则点的运动轨迹是以为直径的圆． 下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）： 过点作交的延长线于点． ∴，． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 如图2，在图1（隐去，）的基础上过点作交于点，可知，…… 任务： （1）判断是否平分，并说明理由； （2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分； （3）应用：如图3，在平面直角坐标系中，，，，则点所在圆的圆心坐标为________． 【答案】（1）平分．理由见解析；（2）点的运动轨迹是以为直径的圆，见解析；（3） 【分析】（1）利用相似三角形的判定及性质仿照图1的证明即可得证； （2）根据90°的圆周角所对的弦是直径即可证得点的运动轨迹是以为直径的圆； （3）结合题目所给的材料分别求得AB的内分点和外分点的坐标，进而可求得点所在圆的圆心坐标． 【详解】解：（1）平分．理由如下： ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴， 即平分． （2）∵，， 且， ∴． ∴为直径． ∴点的运动轨迹是以为直径的圆． （3）∵，， ∴AB＝3，且AO＝2OB， ∵， ∴点O为AB的内分点， 当点C为AB的外分点时，CA＝2CB， ∴CB＝AB＝3， ∴OC＝OB+BC＝4， ∴点C的坐标为（4，0）， ∴点所在圆的圆心坐标为（2，0）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，直径的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键． 【经典例题十 圆的材料阅读理解型问题(新定义)】 64．（24-25九年级上·江苏苏州·单元测试）新定义如图，P为圆外一点，交圆于点A，B，交圆于点C，D，的度数为，的度数为． (1)求的度数； (2)如果我们把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，请你仿照圆周角定理“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半”来概括出圆外角的性质； (3)请你定义“圆内角”，并概括出圆内角的性质． 【答案】(1) (2)圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半 (3)圆内角的定义：圆的两条弦在圆内相交所成的角叫做圆内角．圆内角的性质：圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半 【分析】本题主要考查了圆周角定理的应用以及弧度与圆心角的关系和探索性问题，根据已知探索方法进行模仿变式进而得出新的规律是解题关键． （1）首先连接，根据圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，即可求得与的度数，继而求得答案； （2）由（1）的证明方法可证得圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半． （3）利用图形可以得出圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半，根据圆周角定理得出，，再利用三角形的外角性质得出答案即可． 【详解】（1）解：连接， ∵的度数为，的度数为， ∴， ∴； （2）解：圆外角的性质：圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半． 理由：连接， ∵圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半， ∴，， ∴， ∴圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半； （3）解：圆内角的定义：圆的两条弦在圆内相交所成的角叫做圆内角； 圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半． 证明：如图，延长，交圆于点D，延长，交圆于点E，连接． ∵是的一个外角， ∴． ∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半， ∴，． ∴． ∴命题成立． 65．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆．如图1，已知直线l外有一点H，圆Q经过点H且与直线l相切，则称圆Q是点H与直线l的点切圆．阅读以上材料，解决问题： 已知直线外有一点P，，，，圆M是点P与直线的点切圆． (1)如果圆心M在线段上，那么圆M的半径长是_____（直接写出答案）． (2)如图2，以O为坐标原点、为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点P在第一象限，设圆心M的坐标是． ①求y关于x的函数解析式； ②点B是①中所求函数图象上的一点，连接 并延长交此函数图象于另一点C．如果，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了二次函数与相似三角形的综合题，以新定义的形式出现，理解题意是解决本题的关键． （1）过点M作，设圆M的半径为R，根据点切圆的定义，先通过勾股定理求，再利用同角三角函数值相等得：，求解即可； （2）①过点M作,，则，，则，对运用勾股定理即可建立y关于x的函数关系式； ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E，构造相似三角形，用x，y的代数式表示出B点坐标，再代入抛物线解析式，联立即可求解． 【详解】（1）解：过点M作，设圆M的半径为R， ∵，， ∴， ∵圆M是点P与直线的点切圆， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． （2）解：①过点M作,， 由（1）得，则，，则， 在中，得：，化简得：． ②设点，过点C、B作的垂线交于点D、E， ∵， ∴， ∴，则， ∴点代入得： 解得：或， ∴点或． 66．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）【新定义】 在平面内，已知点O和直线l，设点O到直线l的距离为．对于给定的正数d，以点O为圆心、为半径的圆上，到直线l的距离等于d的点称为该圆的“点”．记函数表示圆上“点”的个数． 【探究】 已知． （1）当__________时,； （2）当__________时,； （3）随着r的变化，请写出时，对应r的取值范围． 【巩固】 (4)当时，讨论随r的变化规律，写出的取值及对应r的条件． 【应用】 (5)平面直角坐标系中，点P坐标为，在以点P为圆心3为半径的圆上，到直线l：的距离的“点”的个数，求b的取值范围． 【答案】（1）2 （2）8 （3）当时， （4）时：当时，；当时，；当时，； （5）或 【分析】本题考查了新定义“点”的理解、直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式，解题的关键是将“圆上到直线l的距离为d的点的个数”转化为“圆与到直线l距离为d的两条平行线的交点总数”，通过分析圆与这两条平行线的位置关系（相交、相切、相离）确定交点个数． （1）到直线l距离为d的点的轨迹是两条平行于l的直线₁、l₂），点O到l₁、l₂的距离分别为、；当时，圆与其中一条直线相切个交点），与另一条相离个），结合、，得． （2）当时，圆与一条直线相切个），与另一条相交个），故． （3）当时，圆与两条直线都相交，需且，即． （4）当时，l₁与l重合（点O到l₁的距离为，到O的距离为；分（与l₁相交2个，与相离，共2个）、（与相交2个，与相切1个，共3个）、（与两条直线都相交，共4个）讨论． （5）先求点到直线的距离，到l距离为2的两条平行线到P的距离为、；由（交点总数，得且，解得b的范围． 【详解】（1）解：到直线l距离为3的轨迹是两条平行线l₁、l₂，点O到l₁的距离为，到l₂的距离为．当时，圆与l₁相切，与l₂相离，故； 故答案为：2． （2）当时，圆与l₂相切，与l₁相交个交点），总3个，故； 故答案为：8． （3）当时，圆与l₁、l₂都相交，需且，故； 故答案为：． （4）当时，l₁与l重合到l₁距离，l₂到O距离． 若，圆与l₁相交个），与l₂相离，； 若，圆与l₁相交个），与l₂相切个），； 若，圆与两条直线都相交，． （5）直线l：，点到l的距离．到l距离为2的平行线到P的距离为、． ∵， ∴圆与一条平行线相交个），与另一条相离个），即且， 解得，即， ∴， 故b的范围为或； 答：b的取值范围是或． 67．（24-25九年级上·江苏淮安阶段练习）新定义：在一个四边形中，若有一组对角都等于90°，则称这个四边形为双直角四边形．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四边形ABCD就是双直角四边形． （1）若四边形ABCD是双直角四边形，且AB＝3，BC＝4，CD＝2，求AD的长； （2）已知，在图2中，四边形ABCD内接与⊙O，BC＝CD且∠BAC＝45°； ①求证：四边形ABCD是双直角四边形； ②若AB＝AC，AD＝1，求AB的长和四边形ABCD的面积． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【分析】（1）连接BD，运用勾股定理求出BD和AD即可； （2）①连接OB，OC，OD，证明BD是的直径即可；②过点D作于点E，设圆的半径为R，由勾股定理求出AB，AD，BC，CD的长，再根据运用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）连接BD，如图， 在中，BC＝4，CD＝2， ∵ ∴ 在中，AB＝3，BD＝2 ， ∵ ∴ （2）连接OB，OC，OD，如图， ∵ ∴   在和中 ∴≌ ∴ ∴O是线段BD的中点， ∴BD为的直径 ∴ ∴四边形ABCD是双直角四边形； （3）过点D作于点E， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 在中，， ∵ ∴ 设圆的半径为R， ∵和均为等腰直角三角形， ∴ 在中， 在中， ∵， ∴ 解得， ∴ 【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形面积计算等知识，灵活添加辅助线是解答本题的难点． 68．（2025·江苏·模拟预测）请阅读材料，并完成相应的任务． 在数学探究课上，同学们在探索与圆有关的角的过程中发现这些角的两边都与圆相交，不断改变顶点的位置，可形成无数个角，而根据点和圆的位置关系可将这些角分为三类，分别是顶点在圆上、圆外和圆内的角结合教学课上学习的圆周角的概念，对顶点在圆外和圆内的角进行定义：顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角．顶点在圆内，两边都与圆相交的角叫做圆内角，如图1，和分别是所对的圆外角和圆内角． 如图2，点在上，为所对的一个圆外角．分别交于点．若所对的圆心角为，求．勤奋小组的解题过程（部分）如下： 解：如图2，连接． 是所对的圆周角，且， ． … 任务： （1）如图1，在探究与圆有关的角时，运用的数学思想方法是：_____； A.公理化思想    B.分类讨论    C.数形结合 （2）将勤奋小组的解题过程补充完整； （3）如图3，当点在内时，是所对的一个圆内角，延长交于点，延长交于点，若设所对的圆心角为，则________°． 【答案】（1）B；（2）见解析；（3） 【分析】（1）在探究与圆有关的角时，常常根据点和圆的位置关系进行分类，即可确定答案； （2）利用圆周角定理和三角形外角的性质进行解答即可； （3）如图：连接AB、BC，然后根据圆周角定理求出∠ACB和∠DBC,然后运用三角形外角的性质进行解答即可 【详解】解：（1）根据题意可知选：B； （2）解：如图2，连接 是所对的圆周角，且， ． ， ． 是的外角， ； （3）如图：连接AB、BC ∵所对的圆心角为 ∴∠ACB= ，∠DBC= 是的外角， ∴=∠ACB+∠DBC=+ =． 故答案为： 【点睛】本题属于数学材料阅读题，主要考查了圆周角定理，正确作出辅助线，构造圆周角定理成为解答本题的关键． 69．（2025·江苏常州·模拟预测）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也．”．意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的部分证明过程： 证明：如图①，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在弦AC上时，容易得到∠CAB＝90°，所以弦切角∠BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数． 如图②，AB与⊙O相切于点A，当圆心O在∠BAC的内部时，过点A作直径AD交⊙O于点D，在上任取一点E，连接EC，ED，EA，则∠CED＝∠CAD． … 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)如图③，AB与⊙O相切于点A．当圆心O在∠BAC的外部时，请写出弦切角定理的证明过程． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【分析】（1）利用圆周角定理得到∠DEA＝90°，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠CED＝∠CAD，最后利用等式的性质即可得到∠CEA＝∠CAB； （2）通过∠C=90°说明∠CFA＋∠FAC＝90°，再根据同角的余角相等得到∠CAB＝∠CFA即可. 【详解】解：（1）∵AD是⊙O直径， ∴∠DEA＝90°． ∵AB与⊙O相切于点A， ∴∠DAB＝90°． ∴∠CED＋∠DEA＝∠CAD＋∠DAB，即∠CEA＝∠CAB． ∴弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数； （2）证明：如图，过点A作直径AF交⊙O于点F，连接FC． ∵AF是直径， ∴∠ACF＝90°． ∴∠CFA＋∠FAC＝90°． ∵AB与⊙O相切于点A， ∴∠FAB＝90°． ∴∠CAB＋∠FAC＝90°． ∴∠CAB＝∠CFA， 即弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数． 【点睛】 本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识点，利用所学知识证明定理，熟记知识点是解题的关键． 70．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）阅读材料： 圆的定义：到定点的距离等于定长的点所组成的图形叫做圆． 对于任何直角三角形，因为斜边上的中线长度等于斜边长度的一半，故其外接圆的直径就是斜边，外心即是斜边的中点．如果两个直角三角形共享同一个斜边，因为它们的外心和半径都相同，所以它们将拥有相同的外接圆，即这两个直角三角形的所有顶点均在同一个圆上（四点共圆）． 解决问题： 如图1，正方形的边长为6，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接． (1)（i）求证：； （ii）若，求的长． (2)如图2，取线段的中点G，连接，当点E在边上运动时，是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)当点E在直线上运动时，将的内心记为点I，请直接写出在点E的运动过程中的最小值． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2)存在最小值，的最小值为 (3)的最小值为 【分析】（1）i由正方形的性质可得出，结合题意可知，即说明B，O，F，C四点均在以为直径的圆上，根据同弧所对圆周角相等即得出，即易证； ii根据勾股定理可求出，进而得出，结合，又可求出，即可求得．最后根据三角形相似的性质求解即可； （2）法1：取的中点H，连接，根据直角三角形的性质得出，结合勾股定理可求得．根据三角形三边关系可知，结合三角形中位线定理可得出，代入数据，即可求出最小值； 法2：取的中点H，连接，连接，由三角形中位线定理可得出，由于点F，得出点F在以为直径的圆上运动．当交圆H于点F时，取到最小值，即可求解； （3）由三角形的内心得，以为斜边向下作等腰直角，则可得出点Ⅰ在以M为圆心，为半径的圆M的弧上运动，即当A，I，M三点位于同一直线上时，取得最小值，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）（i）证明：∵四边形是正方形，对角线交于点O， ∴， 又∵于点F， ∴， ∴B，O，F，C四点均在以为直径的圆上，如图， ， 又∵， ∴； （ii）∵正方形的边长为6， ∴，， ， ， ∴． ∵， ， ； （2）解：存在最小值，的最小值为． 理由：法1：如图，取的中点H，连接， ∵正方形的边长为6，对角线交于点O， ∴． ∵于点F， ∴， ， ． ， ． ∵点O为的中点，点G为的中点， ∴， ， ， ∴存在最小值，且最小值为； 法2：取的中点H，连接，连接，如图， ∵O，G分别为线段的中点， ． 又于点F， ∴点F在以为直径的圆上运动． 当交圆H于点F时，取到最小值，且最小值为， ∴的最小值为； （3）解：∵点Ⅰ为的内心 ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 以为斜边向下作等腰直角，故点Ⅰ在以M为圆心，为半径的圆M的弧上运动，如图， ∴当A，I，M三点位于同一直线上时，取得最小值， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，三角形内心的性质，三角形相似的判定和性质等知识，掌握圆的相关知识是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $