专题05 一元二次方程100道计算题专项训练（10大题型）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升讲练（苏科版）

第05讲 一元二次方程100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 公式法解一元二次方程 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 指定方法解一元二次方程 题型六 由一元二次方程的解求代数式值 题型七 配方法的应用 题型八 换元法解一元二次方程 题型九 一元二次方程根与系数的关系计算 题型十 一元二次方程的新定义运算 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．（24-25九年级下·全国·假期作业）用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)，． 【分析】本题主要考查了开平方法解一元二次方程，方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得：或， 解得：，； （2）解：， 方程变形得：， 开方得：，； （3）解：， 方程变形为：， 方程开方得：， 解得：； （4）解：， 方程变形得：， 开方得：， 解得：，． 2．（2023九年级上·全国·专题练习）解下列方程：（直接开方法） 【答案】 【分析】直接利用开方法进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）用直接开方法解方程： 【答案】， 【分析】两边直接开平方即可． 【详解】两边直接开平方得：或 解得：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），. 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的步骤求解即可. 【详解】解：（1）， ， ， ， ，； （2）， ， ， ，； （3）， ， ， ，； （4）， ， ，. 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 5．（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)；   (2)； (3)；   (4). 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），. 【分析】(1)直接开方,再移项、合并同类项即可 (2) 先把-9移项到方程右边,再直接开方 (3) 直接开方,再移项、合并同类项即可 (4)先把9移项到方程右边，再直接开方,再按解一元一次方程的方法求解 【详解】(1)∵， ∴ ∴. (2)∵， ∴， ∴， ∴ (3)∵， ∴， ∴. (4)∵， ∴或， 解得，. 【点睛】此题考查解一元二次方程-直接开平方法，掌握运算法则是解题关键 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1);  (2)；(3);  (4). 【答案】(1) ；（2）；（3）；（4） 【分析】(1)依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可 (2)依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可; (3)依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可; (4)依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可 【详解】(1)，，即. (2)∵，∴， 即. (3)∵， ∴， ∴，即. (4)，解得. 【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键 7．（24-25八年级·全国·阶段训练）利用直接开平方法解方程： （1）（x﹣1）2＝3． （2）x2﹣9＝0 （3）4（x﹣1）2﹣9＝0 （4）4（2x﹣1）2﹣36＝0 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）两边开平方得到，再解两个一元一次方程即可； （2）先移项，再两边开平方即可； （3）和（4）先移项，然后两边同时除以4，再两边开平方，解两个一元一次方程即可． 【详解】解：（1） 解得：． （2） 解得：． （3） 解得：． （4） 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 8．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）用直接开平方法解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解； （2）先移项，然后根据直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， 解得． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 9．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）移项，得，根据平方根的定义，得．即，． （2）根据平方根的定义，得，即，． 【详解】解：（1） ∴ ∴ 解得， （2） ∴ ∴， 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 10．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法求下列各方程的根： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或；（4）或 【分析】（1）直接开平方法即可； （2）先移项再将二次项系数化为1，再直接开平方法； （3）先移项再将二次项系数化为1，再直接开平方法； （4）先移项再将二次项系数化为1，再直接开平方法． 【详解】（1）∵ x2=361， ∴x =19或x =-19． （2）∵2y2-72=0， 2 y 2=72， y 2=36， ∴y =6或y =-6． （3）∵5a2-1=0， 5 a 2=1， a 2=， ∴a =或a =-． （4）∵-8m2+36=0， -8 m 2=-36， m 2=， ∴m =或m =-． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键． 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 11．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． （1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （3）将方程化为一般式，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【详解】（1）解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，； （2）解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：； ，； （3）解：整理得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，． 12．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）用配方法解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键； （1）先化为，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）先化为，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ， （2）解： 方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ， 13．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）先化系数为，再根据配方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴ ∴， ∴， 解得． 14．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解： 或 ∴，． 15．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程：． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 16．（24-25八年级下·上海·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了配方法求解方程的根，熟练配方是解题的关键． （1）利用配方法求解即可． （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 整理，得 移项，得 配方，得，即 两边开平方，得， 解得． （2）解：， 移项，得 配方，得，即． 两边开平方，得． 解得，． 17．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；掌握配方方法是解题的关键． （1）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （5）整理后移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （2）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （3）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （4）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （5）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，． 18．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)，； (4)，； (5)，； (6)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （1）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （2）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （3）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （4）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （5）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （6）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ， ， ， ，； （5）解：， ， ， ， ， ， ，； （6）解：， ， ， ， ， ， ，． 19．（24-25九年级上·广东汕头·期中）用配方法解一元二次方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 20．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程： (1)． (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可． （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，． （2）解：， ， 配方得， ∴ ∴ ∴， ∴，． 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】 21．（24-25九年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题关键是将方程化为一般形式． （1）先把方程化成一般形式，再求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式， 进行计算即可． （2）通过移项化成一般形式，再求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式； （3）求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式， 【详解】（1）解：原方程可化为， ，，， ， ， ，； （2）， 移项，得； ，，， ， ， ，； （3）， ，，， ， ． 22．（24-25九年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的步骤． （1）首先得出值，进而利用求根公式得出答案； （2）方程整理后，首先得出值，进而利用求根公式得出答案； （3）方程整理后，首先得出值，进而利用求根公式得出答案． 【详解】（1）解：； ，，， △． ， ，； （2）解：； 将原方程化为一般形式，得， △， ． ，； （3）解：． 将方程整理为一般形式，得， ，，， △． ． ，． 23．（24-25九年级下·湖南常德·期中）用公式法解一元二次方程： 【答案】 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握用公式法解一元二次方程的方法和步骤． 先求出，得出该方程有实数根，再根据求根公式，即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（24-25九年级上·陕西西安·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了运用公式法解一元二次方程，先求出，再代入公式进行化简，即可作答． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 25．（24-25八年级下·上海·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)，； (3)，． 【分析】本题考查了公式法求解方程的根，熟练掌握公式法解方程的步骤是解题的关键． （1）利用公式法求解即可． （2）利用公式法求解即可． （3）利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：, ∵， ∴ ∴， ∴原方程的解为，． （2）解：， ∵， ∴ ∴， ∴原方程的解为，． （3）解：， 整理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴原方程的解为，． 26．（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出，再代入公式进行计算，即可得到答案； （2）先算出，再代入公式进行计算，即可得到答案； 本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∴， ∴； 27．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了利用公式法求解一元二次方程，根据公式法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 28．（24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 (4) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键． （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （4）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵ ∴， ∴， ∴原方程无解． （4）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 29．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法的运用．先求出值，判断符号，再利用求解即可． 【详解】解： ， ∴，． 30．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用公式法解一元二次方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵，，． ∴， ∴， 即，． （2）解：原方程可化为， ∴，，． ∵， ∴， 即，． 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 31．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：    ∴或 ，． 32．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）解方程： ． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，． 33．（24-25九年级上·重庆大渡口·阶段练习）解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，进行计算即可求解； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得：，． （2）解：， ， ， ， ∴或， 解得：，． 34．（24-25九年级上·广东江门·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用因式分解法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， 或， ∴，； （2）解： ， 或， ∴，． 35．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．先把方程分解因式后，再利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解即可． 【详解】解：， ， 或， ， ． 36．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 先移项，然后利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解，再来解方程即可． 【详解】解： ， ∴． 37．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了提取公因式的方法进行因式分解，熟练掌握是解题的关键． （1）先移项，提取公因式，再计算即可； （2）先移项，利用平方差公式分解因式，再计算即可． 【详解】（1） 解：移项，得， 分解因式，得， 或， 所以，． （2） 解：移项，得， 分解因式，得， 即， 所以或． 所以，． 38．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 展开后移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】 或 解得，． 39．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）解下列一元二次方程． (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用因式分解法即可求解； （2）移项后再利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：， 分解因式得：， 则或， 解得：，； （2）解：， 移项得：， 分解因式得：， 则或， 解得：，． 40．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，关键是解题步骤的应用．因式分解法解一元二次方程因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． （）直接通过提取公因式即可分解，是因式分解法的基础应用； （）需要先移项，再将多项式看作整体提取公因式，考察对“整体思想”的运用； （）通过移项构造平方差形式，再利用公式分解，考察公式法与移项技巧的结合； 【详解】（1）解：因式分解，得， ∴，或， ∴，． （2）原方程可变形为， ， ，或， ∴，． （3）原方程可变形为， ， ， ，或， ∴，． 【经典计算题五 指定方法解一元二次方程】 41．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）先移项，再直接开方即可求解； （2）等式两边同时乘以2，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开方即可求解； （3）移项，提取公因式即可求解； （4）确定的值，再运用判定根的情况，若，则，否则无解，由此即可求解． 【详解】（1）解：（直接开平方法） 移项得，， 直接开方得，， ∴， ∴； （2）解：（配方法） 等式两边同时乘以2得，， 等式两边同时加4得，， ∴， 直接开方得，， ∴， ∴； （3）解：（因式分解法） 等式右边提取公因式2得，， 移项得，， 提取公因式得，， ∴或， 解得，； （4）解：（公式法） ，， ∴， ∴． 42．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法） (2)．（配方法） (3)（用公式法） (4)（用因式分解法） 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； （3）写出，求出，代入即可得到方程的解； （4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解． 【详解】（1）解：， 开平方得，， ∴或， 解得，； （2）解：， 原方程整理得． 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴，； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 43．（24-25九年级上·山东滨州·期末）按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． （1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方式后，再开方，即可得出结果； （2）先求解，再利用求根公式计算即可． 【详解】（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 44．（24-25九年级上·全国·单元测试）用指定方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法）； (3)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解得，； （2） ∴ 解得，； （3） ，， ∴ 解得，． 45．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）用指定方法解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题分别考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，其中配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，公式法的关键 熟练掌握求根公式． （1）首先移项，然后方程两边同时加上9即可完成配方，然后解方程即可求解； （2）利用求根公式即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ，， （2）解： ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 46．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）先移项，然后运用完全平方公式配方求解即可； （2）先把方程化成一般式，然后运用根的判别式判定根的存在，再运用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 所以  ． （2）解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴  ． 47．（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（十字相乘法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． （1）把常数项4移项后，再在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方，再进行计算即可． （2）找出，，的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解； （3）方程移项后，提取公因式，因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可； （4）把方程左边进行因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）， ， ， ， ， ，； （2）， ，，，， ， ，； （3）， ， ， ， ， 或， ，； （4）． ， 或， ，． 48．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)配方法 (2)公式法 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果； （2）先求解，再利用求根公式计算即可． 【详解】（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． 49．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可； （2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得； （3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可； （4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得． 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ，，， ， ∴， 即； （4）， ， ， ∴． 50．（24-25八年级下·山东泰安·期中）按照指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)． 【答案】(1)，； (2) (3)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用分解因式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）解：， ，，， ， ， 解得：； （3）解： 整理得：， 分解因式得：， 或， 解得：，． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 【经典计算题六 由一元二次方程的解求代数式值】 51．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得，则，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 52．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键： （1）把m代入方程，得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值； （2）把m代入方程，得到，两边同时除以即可得出结果． 【详解】（1）解：把m代入方程，得：， ∴， ∴； 故答案为：； （2）是方程的一个根， ，且． 将等式两边同时除以m，得 ． 53．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知实数是的根，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的化简求值，一元二次方程的解，由实数是的根，得到，再将整式化简后即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵实数是的根， ∴，即， ∴ ． 54．（24-25八年级下·北京·期中）已知是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把所求代数式变形，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ， ． 55．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的应用，运用适当的变形，渗透整体代入的思想解决问题． 把代入方程得，从而得到，再由，整体代入计算即可． 【详解】解：将代入，得， ∴， ∴ ． 56．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，由方程的解可得，可得，，再代入计算即可． 【详解】解：是方程的一个根， ． ∴，． ． 57．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，理解一元二次方程的解的定义是解题关键．把代入，得，再把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的根， ∴把代入， 得， ∴， ∵． 58．（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）已知a是方程的解，求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了代数式求值，方程的解，整式乘法运算，解题的关键是熟练掌握整体代入法的应用．先化简得出，然后根据是方程的解，得出， 最后整体代入求值即可． 【详解】解： ， ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴ ． 59．（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 60．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把所求代数式变形，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的根， ， ． 【经典计算题七 配方法的应用】 61．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． 【答案】(1)4，2． (2)1 (3)最大值为． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式，再利用非负数的性质解答是解题的关键． （1）根据完全平方公式的常数项为一次项系数绝对值一半的平方即可得出结论， （2）将多项式加再减，利用配方法后可得结论； （3）将多项式改写为，再配方可得结论． 【详解】（1）， 故答案为：4，2． （2） ， ． 当时，存在最小值1． （3）， ， ， 当时，代数式有最大值． 62．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式_____________； (2)已知，则的值是多少？ (3)数学学习的本质是“再创造”．周末，小明同学在复习配方法时，对代数式进行了配方，发现，小明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论：的最小值是2，即的最小值是2．请你解答，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查配方法的应用以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． （1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）利用完全平方公式变形为，求得和的值即可解决； （3）将变形为即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ∴代数式的最小值为4． 63．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知． (1)若，请求出x的值； (2)请比较A与B的大小，并说明理由． 【答案】(1)x的值为； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了直接开平方法和配方法的应用． （1）根据列方程求解即可； （2）求出，然后利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：x的值为； （2）解：，理由如下：∵ ， 又对于任意的x部有， ∴． ∴． 64．（24-25八年级上·河南南阳·期中）【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，；当时， 【分析】（）利用配方法解答即可求解； （）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出，进而求出，最后根据的值判断即可求解； 本题考查了配方法，整式的运算，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：由题意得，，， ∴， 当时，，即， ∴当时，； 当时，，即， ∴当时，； 综上所述，当时，；当时，． 65．（24-25九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等． 例：求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3． 【方法应用】 （1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值． 【问题迁移】 （2）若，求，． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】本题考查了配方法的应用，解题关键是熟练掌握配方法，根据题目给出的方法进行求解； （1）按照例题给出的方法计算即可； （2）按照题目给出的方法配方，再根据非负数的性质求出字母的值即可； （3）根据“勾系一元二次方程”的定义得出一元二次方程各系数的关系，再利用配方法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 的最小值为； （2）， ， ， ， ，， ，， ，； （3）由（1）的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根， ， ， ，， ， ∴， ∴， ∴（负值舍去），， 四边形的周长为． 66．（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 【答案】 【分析】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答． 【详解】解： ， ∴代数式的最小值是． 67．（24-25八年级上·四川眉山·期末）阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究二，直接在横线处填空； (2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? (4) 【答案】(1)， (2)，最大值为 (3)时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是 【分析】本题主要考查代数式的运用，配方法求最值，掌握配方法是解题的关键． （1）根据平方数的非负性，可得，则当时，取得最小值，由此即可求解； （2）根据材料提示，运用配方法得到代数式，，结合（1）的方法即可求解； （3）设，则，则有，结合（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵，则， ∴当时，取得最小值， ∴当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：，； （2）解：代数式变形得， ∵，则， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴当时，代数式有最大值，最大值为； （3）解：四边形是长方形， ∴设，则， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是，． 68．（2024九年级上·全国·专题练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，然后利用完全平方式的非负性即可得出答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，由可得，代入后配方得，于是得解． 【详解】（1）解：， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为， 故答案为：； （2）解：， ； （3）解：四边形的面积为： ， 四边形面积的最大值为． 69．（2024九年级上·全国·专题练习）我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关系． （1）根据非负数的性质解答； （2）利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：， ， ，． ． 70．（24-25八年级上·福建漳州·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等 例如：分解因式： (1)请用上述方法把分解因式； (2)求多项式的最小值； (3)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法的应用是解题的关键：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． （1）按照题干中所给的方法，利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法将多项式变形为，然后利用完全平方式的非负性即可求出多项式的最小值； （3）利用配方法将多项式变形为，然后利用完全平方式的非负性即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为1； （3）解：∵ ， 又∵，， ∴， ∴无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【经典计算题八 换元法解一元二次方程】 71．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，利用换元法解方程即可． 【详解】解：令，则：， 原等式可化为：， 整理，得：， 解得：， ∵， ∴，即：； 故选：D． 72．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）已知，则的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．3或 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，设，则由原方程，得，解方程求得t值，即可得的值. 【详解】解：设，则由原方程，得， 整理，得， 解得或． ∴或； 故选C． 73．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）若实数满足，则代数式的值是（    ） A． B．2 C．3 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结果． 【详解】解：设，原方程变为，即． 因式分解得， 解得或， 当时，方程的判别式，存在实数解， 当时，方程的判别式，无实数解， 因此，代数式的值为2， 故选：B． 74．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）关于的方程的根是，（a，m，b，c均为常数，），则关于的方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把所求方程中的看做一个整体，根据已知方程的解可得或，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的根是，， ∴关于的方程的根满足或，解得或， 故选；A． 75．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知a，b为实数且满足，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题关键是掌握换元法解方程的技巧． 利用因式分解法可得，即可求解． 【详解】解：设， ∴原式变形为 ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴． 故答案为：5 76．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为 ． 【答案】 【分析】将题干中的一元二次方程通过变量替换令转换为关于的一元二次方程，然后利用一元二次方程根的性质求出新的方程的解再根据与的关系式求出一元二次方程的解即可． 【详解】解：把一元二次方程 整理得． 设，则． 关于的一元二次方程有一个根为， 有一个根为， ， 解得， 一元二次方程必有一个根为． 故答案为. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的性质以及换元法求值，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 77．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 【答案】(1)， (2)1或 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把，分别代入原方程求得，于是得到原方程为：，求得，将和代入第2个方程得于是得到结论； （2）把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”，即可得到答案． 【详解】（1）解：把，分别代入原方程得，， 得：， ∵， ∴， 解得：， 原方程为：， ， 将和代入第2个方程得，， 解得：，； （2）解：把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”， ∵x的值为1或, 则“”的值为1或； 故答案为：1或； 78．（24-25六年级下·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)___________； (2)，求___________； (3)已知，求 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，解高次方程和一元二次方程的方法，学会整体代入思想是解题的关键． （1）把看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可； （2）把看成一个整体，利用平方差公式计算解方程即可； （3）把看成一个整体，利用完全平方公式计算解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：令， 原方程变形为：， ， ， ， ， ． 79．（24-25九年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，理解题中求解过程，熟练掌握换元法和转化思想的运用是解答的关键． （1）根据题意可得，然后去分母即可化为一般式； （2）仿照材料中的求解过程，利用换元法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，化为一般式为， 故答案为：； （2）解：设，则原方程化为， 整理，得，解得或， 当时，即，解得或 当时，即，方程无解； 综上所述，原方程的解为或． 80．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， （1）根据材料中的方法求出解即可；   （2）设（m为常数），将原方程化为，方程整理，得，令解得，当时，，方程化为，解得，，即可求出答案． 【详解】（1）解：解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ，   故答案为：，； （2）设（m为常数），   将原方程化为①   方程①整理，得 ②   令解得，   当时，，   方程②化为 解得  ，， ，． 【经典计算题九 一元二次方程根与系数的关系计算】 33．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 【详解】（1）解：方程有两个实数根，． ， ． 当时，方程有两个实数根． （2）解：由根与系数关系，得，． ， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 34．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为2，求k的值及另一个根． 【答案】，另一根为 【分析】本题考查了一元二次方程的解的知识，根与系数的关系，由于一根为2，把代入方程即可求得的值．然后根据两根之积即可求得另一根．解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大． 【详解】解：方程的一个根为2， ， 解得， 设另一根为， ， ， ，另一根为． 35．（24-25九年级上·河南郑州·单元测试）已知关于的方程 (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根 ． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一个根为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况； （2）设方程的另外一个根为，利用根与系数的关系列出关于和的二元一次方程组，解之即可得到答案． 【详解】（1）证明： 无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根. （2）解：设方程的另外一个根为，则 解得：， 故的值为，方程的另一个根为． 36．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）设，是关于x的方程的两个实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．根据根与系数的关系及根的判别式计算即可 【详解】（1）解：根据题意得， 即， 解得，； （2）解：根据题意得，， ，， ， 解得，（舍），， 综上所述，k的值为1． 37．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，该方程有一个实数根为，求方程的另一个根和的值． 【答案】(1)； (2)方程另一根为，． 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及判别式的运用： （1）根据该方程有两个不相等的实数根，得，代入数值化简计算，即可作答． （2）运用根与系数的关系：，代入数值化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 解得； （2）解：∵一元二次方程有一个实数根为，设另一个根为， ∴ 解得； ∵ ∴解得． 38．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个根，用两种不同方法求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）方法一：把代入原方程，即可求解；方法二：利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵该方程有两个不相等的实数根， ∴． ∴． （2）解：方法1：把代入方程得：， 解得：． 法2：设方程另一根为， ∴， 解得， ∴． 39．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根为，，且满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查一元二次方程判别式的意义，直接根据判别式直接进行求解即可； （2）本题考查一元二次方程根于系数的关系，利用根于系数的关系带入原始即可求解． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． （2）解：由根与系数的关系：，， ∴， ∴． 40．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查一元二次方程跟的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系进行解题． （1）利用根的判别式判断出即可解题； （2）根据根与系数的关系得到方程，解题即可． 【详解】（1）证明： ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵方程的两个实数根分别为，且， ∴，， 即：， 解得：，． 41．（24-25九年级上·四川成都·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设方程的两根分别是、，且满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识， （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出的取值范围即可； （2）根据根与系数的关系得出方程解答即可，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：； （2）解：设方程的两根分别是、， ∴，， 又∵， ∴，即 ∴， ∴， 解得：，符合题意． 42．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． （1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断； （2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，代入求出k的值． 【详解】（1）证明：由题意,得 ， ∵无论k为何实数，， ∴， ∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）由一元二次方程根与系数的关系得:，， ∵， ∴，即， 解得． 【经典计算题十 一元二次方程的新定义运算】 43．（24-25八年级下·广西贺州·期末）我们定义一种新运算“※”：对于任意实数、，都有．例如：．已知关于的方程． (1)先将按照新定义运算展开并化简，得到关于的一元二次方程； (2)求解这个一元二次方程． 【答案】(1) (2)此方程无实数根 【分析】本题考查定义新运算，一元二次方程的判别式． （1）根据新运算列出一元二次方程； （2）计算得到判别式小于零，进而得到方程无解． 【详解】（1）解：按照新定义运算展开： ， 所以得到关于的一元二次方程为； （2）解：对于一元二次方程， 其中，，     判别式．     所以此方程无实数根． 44．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）对于实数a，b，定义运算“*”，例如．因为，所以，若是一元二次方程的两个根，求的值． 【答案】或 【分析】解一元二次方程求出，分两种情况和代入解题即可． 【详解】解：解一元二次方程得：， 当时，； 当时，； ∴的值为或． 【点睛】本题考查新定义运算，一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． 45．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）在实数范围内定义一种新的运算“*”，其规则为． (1)根据这个运算规则，计算的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）先根据新定义得出方程，再利用直接开平方，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 或， ． 【点睛】本题考查了运算新定义问题，解一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解这种运算的规则． 46．（24-25九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)或． 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解． （1）求解方程，即可进行判断． （2）利用因式分解求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵，， 故该方程不是“邻根方程”． （2） ∴． ∴． 由题意得：或， 解得：或． 47．（24-25九年级上·青海海东·阶段练习）对于实数，新定义一种运算“”，． 例如：． (1)计算：______； (2)若与的值相等，求的值． 【答案】(1) (2)的值为1或或4 【分析】（1）利用新定义进行计算； （2）讨论：当时得到，当时得到，当时得到，然后分别解方程确定满足条件的值． 【详解】（1）解：2※； 故答案为； （2）当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时， 整理得，解得（舍去），， 综上所述，的值为1或或4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了实数的运算和因式分解法解方程． 48．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； (2)若是倍根方程，则______． 【答案】(1)方程是倍根方程，理由见解析 (2)1或4 【分析】（1）求解方程，根据定义验证； （2）求解方程，根据定义得关于参数的等式，求解． 【详解】（1）解：方程是倍根方程， 理由如下：由方程，解得，， ∴， ∴方程是倍根方程． （2）解： 解得 ∵是倍根方程， ∴ ∴或4． 【点睛】本题考查一元二次方程求解，新定义的理解；由新定义得到关于参数的等式是解题的关键． 49．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）在实数范围内定义一种运算“※”，． (1)求的值； (2)求方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据定义代入数值计算即可； （2）根据得到，利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）， 即的值是； （2）由题意可得，， ∴， ∴， ∴， 解得，， 即的解是，． 【点睛】此题考查了新定义实数运算，还考查了利用开平方法解一元二次方程，读懂题意，正确计算是解题的关键． 50．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）定义运算“*”：对于任意实数a，b都有． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）直接利用已知运算公式计算得出答案； （2）直接利用已知运算公式以及一元二次方程的解法计算得出答案． 【详解】（1）解：； （2）由题意得：， ∴，即， ∴． 解得，． 【点睛】此题主要考查了实数运算以及一元二次方程的解法，正确解一元二次方程是解题关键． 51．（24-25九年级上·河北保定·期末）对于实数定义运算“☆”如下：，例如，如果有方程，请你求出这个方程的解． 【答案】x＝2，或x＝﹣1 【分析】根据题意先将原方程整理为一个一元二次方程，再按照解一元二次方程的步骤进行求解即可． 【详解】解：根据题意由方程1☆x=2得： 整理得： （x-2）（x+1）=0 x-2=0或x+1=0 解得：x＝2，或x＝﹣1 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练地掌握一元二次方程的各种解法，根据题意选择合适的方法解答是解题的关键． 52．（2022·江苏扬州·一模）对于实数a、b，定义一种新运算“a☆b”，规定如下：，例如． (1)若，则满足条件的x值为______； (2)对于，存在两个不同的数值x，求a的取值范围； (3)若时，求x的取值范围． 【答案】(1)2或 (2)且a≠1 (3)或 【分析】（1）根据定义列出一元二次方程，解方程求解即可； （2）根据定理列出一元二次方程，根据一元二次方程有2个不同实根，令，求得的范围即可； （3）根据题意列出不等式，进而因式分解，根据同号为正列出一元一次不等式组求解即可 【详解】（1）解： 即 解得 故答案为：或 （2） 即 ∵存在两个不同的数值x， ，且a≠1， 解得且a≠1 （3） 即 则或 解得或 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式组，理解新定义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 一元二次方程100道计算题专项训练（10大题型） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 配方法解一元二次方程 题型三 公式法解一元二次方程 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 指定方法解一元二次方程 题型六 由一元二次方程的解求代数式值 题型七 配方法的应用 题型八 换元法解一元二次方程 题型九 一元二次方程根与系数的关系计算 题型十 一元二次方程的新定义运算 【经典计算题一 直接开方法解一元二次方程】 1．（24-25九年级下·全国·假期作业）用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2023九年级上·全国·专题练习）解下列方程：（直接开方法） 3．（24-25八年级下·全国·单元测试）用直接开方法解方程： 4．（24-25八年级上·全国·课后作业）用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 5．（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)；   (2)； (3)；   (4). 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1);  (2)；(3);  (4). 7．（24-25八年级·全国·阶段训练）利用直接开平方法解方程： （1）（x﹣1）2＝3． （2）x2﹣9＝0 （3）4（x﹣1）2﹣9＝0 （4）4（2x﹣1）2﹣36＝0 8．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）用直接开平方法解方程． (1) (2) 9．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程． （1）； （2）． 10．（2021九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法求下列各方程的根： （1）； （2）； （3）； （4）． 【经典计算题二 配方法解一元二次方程】 11．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 12．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）用配方法解方程： (1) (2)． 13．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 14．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程：． 15．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程：． 16．（24-25八年级下·上海·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 17．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 18．（24-25九年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 19．（24-25九年级上·广东汕头·期中）用配方法解一元二次方程： 20．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解方程： (1)． (2)； 【经典计算题三 公式法解一元二次方程】 21．（24-25九年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 22．（24-25九年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1) (2) (3) 23．（24-25九年级下·湖南常德·期中）用公式法解一元二次方程： 24．（24-25九年级上·陕西西安·期中）用公式法解方程：． 25．（24-25八年级下·上海·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 26．（2024九年级上·全国·专题练习）用公式法解方程： (1)； (2)． 27．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）用公式法解方程：． 28．（24-25九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 29．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）用公式法解方程：． 30．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用公式法解一元二次方程： (1)． (2)． 【经典计算题四 因式分解法解一元二次方程】 31．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）解方程：． 32．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）解方程： ． 33．（24-25九年级上·重庆大渡口·阶段练习）解方程 (1) (2) 34．（24-25九年级上·广东江门·期末）解下列方程： (1)； (2)． 35．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）解方程： 36．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）解方程：． 37．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 38．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）解方程：． 39．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）解下列一元二次方程． (1)； (2)． 40．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【经典计算题五 指定方法解一元二次方程】 41．（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 42．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法） (2)．（配方法） (3)（用公式法） (4)（用因式分解法） 43．（24-25九年级上·山东滨州·期末）按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 44．（24-25九年级上·全国·单元测试）用指定方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法）； (3)（公式法）． 45．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）用指定方法解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 46．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 47．（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（十字相乘法） 48．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程 (1)配方法 (2)公式法 49．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 50．（24-25八年级下·山东泰安·期中）按照指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)． 【经典计算题六 由一元二次方程的解求代数式值】 51．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 52．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知m是方程的一个根． (1)的值为______． (2)求的值． 53．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知实数是的根，求的值． 54．（24-25八年级下·北京·期中）已知是方程的根，求代数式的值． 55．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）若m是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 56．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）已知实数a是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 57．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 58．（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）已知a是方程的解，求代数式的值． 59．（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知m是方程的一个根，求代数式的值． 60．（24-25九年级上·北京密云·期中）已知m是方程的根，求代数式的值． 【经典计算题七 配方法的应用】 61．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）阅读以下材料： 将代数式进行如下变形： ． ， ． 当时，存在最小值2． 根据以上材料，完成下列问题： (1)_____； (2)求代数式的最小值； (3)求代数式的最值． 62．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式_____________； (2)已知，则的值是多少？ (3)数学学习的本质是“再创造”．周末，小明同学在复习配方法时，对代数式进行了配方，发现，小明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论：的最小值是2，即的最小值是2．请你解答，求代数式的最小值． 63．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知． (1)若，请求出x的值； (2)请比较A与B的大小，并说明理由． 64．（24-25八年级上·河南南阳·期中）【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 65．（24-25九年级上·广西桂林·期末）综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等． 例：求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3． 【方法应用】 （1）仿照例题，用配方法求代数式的最小值． 【问题迁移】 （2）若，求，． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中，，是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根，且，试求四边形的周长． 66．（24-25九年级上·新疆昌吉·期中）阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值．方法如下： ， 由，得； 代数式的最小值是4． 请仿照上述方法，求代数式的最小值． 67．（24-25八年级上·四川眉山·期末）阅读理解：我们一起来探究代数式的值，探究一：当时，代数式的值为6，当时，代数式的值为11，可见，代数式的值随x的值的变化而变化． 探究二：把代数式进行变形，如：，可得：当_____时，代数式有最小值，最小值为_____． 请回答下列问题： (1)请补充完成探究二，直接在横线处填空； (2)当取何值时，代数式有最大值，最大值为多少? (3)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个长方形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，问：当为多少米，围成长方形花园的面积有最大值，最大面积是多少? (4) 68．（2024九年级上·全国·专题练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： (1)直接写出的最小值 ； (2)比较代数式与的大小，并说明理由； (3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 69．（2024九年级上·全国·专题练习）我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 70．（24-25八年级上·福建漳州·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等 例如：分解因式： (1)请用上述方法把分解因式； (2)求多项式的最小值； (3)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【经典计算题八 换元法解一元二次方程】 71．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 72．（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）已知，则的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．3或 73．（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）若实数满足，则代数式的值是（    ） A． B．2 C．3 D．或2 74．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）关于的方程的根是，（a，m，b，c均为常数，），则关于的方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 75．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知a，b为实数且满足，则的值为 ． 76．（25-26九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为 ． 77．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． (1)小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． (2)小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 78．（24-25六年级下·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)___________； (2)，求___________； (3)已知，求 79．（24-25九年级上·全国·阶段练习）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 80．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）阅读与思考： 下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解． 【例如】解一元二次方程， 设（m为常数）， 将原方程化为，① 方程①整理，得，② 令，解得． 当时，， 方程②化为，解得， ___________，___________． 任务： (1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________． (2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程． 【经典计算题九 一元二次方程根与系数的关系计算】 33．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 34．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为2，求k的值及另一个根． 35．（24-25九年级上·河南郑州·单元测试）已知关于的方程 (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根 ． 36．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）设，是关于x的方程的两个实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)若，求k的值． 37．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，该方程有一个实数根为，求方程的另一个根和的值． 38．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个根，用两种不同方法求的值． 39．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根为，，且满足，求实数m的值． 40．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，且，求m的值． 41．（24-25九年级上·四川成都·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设方程的两根分别是、，且满足，求k的值． 42．（24-25九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，为该方程的两个实数根，且满足，求的值． 【经典计算题十 一元二次方程的新定义运算】 43．（24-25八年级下·广西贺州·期末）我们定义一种新运算“※”：对于任意实数、，都有．例如：．已知关于的方程． (1)先将按照新定义运算展开并化简，得到关于的一元二次方程； (2)求解这个一元二次方程． 44．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）对于实数a，b，定义运算“*”，例如．因为，所以，若是一元二次方程的两个根，求的值． 45．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）在实数范围内定义一种新的运算“*”，其规则为． (1)根据这个运算规则，计算的值； (2)求关于的方程的解． 46．（24-25九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 47．（24-25九年级上·青海海东·阶段练习）对于实数，新定义一种运算“”，． 例如：． (1)计算：______； (2)若与的值相等，求的值． 48．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断方程是不是倍根方程，并说明理由； (2)若是倍根方程，则______． 49．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）在实数范围内定义一种运算“※”，． (1)求的值； (2)求方程的解． 50．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）定义运算“*”：对于任意实数a，b都有． (1)求的值； (2)若，求x的值． 51．（24-25九年级上·河北保定·期末）对于实数定义运算“☆”如下：，例如，如果有方程，请你求出这个方程的解． 52．（2022·江苏扬州·一模）对于实数a、b，定义一种新运算“a☆b”，规定如下：，例如． (1)若，则满足条件的x值为______； (2)对于，存在两个不同的数值x，求a的取值范围； (3)若时，求x的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$