1.1有理数的引入（基础篇）讲义 2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

1.1有理数的引入 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、1.1 有理数的引入 （一）正数和负数 定义 正数：比 0 大的数叫做正数。正数前面的 “+” 号可以省略不写，例如也可写成。 负数：比 0 小的数叫做负数。负数前面的 “-” 号不能省略，如。 0：既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。 实际意义 正数和负数常用来表示具有相反意义的量。例如，若规定向东走为正，则向西走为负；收入为正，支出为负等。如果向东走5米记作+5米，那么向西走3米记作米-3。 （二）有理数 定义：整数和分数统称为有理数。 分类 按定义分类 按性质符号分类 正有理数：正整数和正分数。 负有理数：负整数和负分数。 0 型 习 练 题 正负数的定义 1．在中，有（ ）个负数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了负数的概念， 负数就是小于的数，既不是正数也不是负数． 本题中逐个判断每个数是否小于零来确定负数个数，即可知道均为负数，即可求解． 【详解】解：因，故是负数； 因，故不是负数； 因，故不是负数； 因，故是负数； 因，故是负数。 ∴ 负数有个． 故选：C． 2．有关负数的记载，最早出现在我国《九章算术》中．下列各数中：5，，0，，，，负数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】小于零的数是负数，根据每个数的符号判断其正负性即可；本题考查负数的概念，熟练掌握负数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵负数是指小于零的数， ∴在5，，0，，，中， ，是正数； ，是负数； 0 既不是正数也不是负数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ∴负数有，，共3个． 故选：C． 3．下列各数：，+3.5，0，，，11中，负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查负数的概念，负数是指小于零的数，准确判断是解题的关键． 直接判断每个数的正负即可得出答案． 【详解】负数小于零， 在给出的数中，和，是负数； ，既不是正数也不是负数，> 0，11> 0，都不是负数； 负数有2个， 故选：A． 4．下列四个数中，属于负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负数的定义，根据负数的定义（小于零的数），逐一判断各选项：A和B为正数，C为零，D为负数． 【详解】解：∵负数是指小于零的数， A． ，为正数； B． ，为正数； C． ，既不是正数也不是负数； D． ，为负数． ∴属于负数的是D． 故选：D． 5．在6，，0，这四个数中，属于负数的是（   ） A．6 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了负数的定义，小于零的数是负数，解答本题的关键是掌握负数的定义．根据小于零的数是负数，依次判断即可． 【详解】解：A．6是正数，不是负数，故不符合题意； B．是正数，不是负数，故不符合题意； C．0既不是正数，也不是负数，故不符合题意； D．是负数，故符合题意， 故选：D． 相反意义的量 6．弹簧振子是物理学中研究简谐振动规律的理想化模型，在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查正负数的意义，即正负数可以用来表示具有相反意义的量．解题关键在于理解“正”和“负”所代表的实际意义． 【详解】已知弹簧振子从自然状态向右拉伸)记作，因为“向左压缩”与“向右拉伸”是一对具有相反意义的量，且规定了向右拉伸为正，所以向左压缩就为负．那么弹簧振子从自然状态向左压缩应记作． 故选B． 7．小明同学把1000元压岁钱存入银行记作元，开学买学习用品，需向银行取出300元，取出300元可以记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】此题考查了相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负数表示． 存入和取出是一对具有相反意义的量，存入记为正，则取出记为负． 【详解】解：∵存入1000元记作元， ∴取出300元应记作元． 故选：C． 8．某天，月球表面白天的最高温度为零上，如果把它记作，那么夜间的最低温度零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，零上温度记为正，则零下温度记为负，由此求解即可． 【详解】解：零上记作， 零下应记作， 故选：B． 9．中国古代数学著作《九章算术》，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．如果向西走50米记作米，那么米表示（   ） A．向东走20米 B．向南走20米 C．向西走20米 D．向北走20米 【答案】A 【分析】本题主要考查正负数表示相反意义的量，向西记为负，则向东记为正，据此作答即可． 【详解】解：∵向西走50米记作米， ∴米表示向东走20米， 故选：A． 10．若收入5元记为，则支出3元记为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“”表示，那么支出就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若收入5元记为，则支出3元记为， 故选：D． 正负数的实际应用 11．丽丽在超市买了一袋食品，外包装上印有“总净含量”的字样．丽丽去称了一下，称得结果是符合包装说明，这袋食品的净含量可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的应用．包装上“”表示净含量范围是到，符合说明的净含量应在此范围内，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵外包装上印有“总净含量”的字样． ∴净含量范围为至， ∴ 符合要求的净含量需满足净含量， ∵， ∴符合题意是B选项， 故选：B． 12．某款袋装零食的标准质量是“”，下面4袋不同质量的零食中，符合产品标准质量的是（  ） A．140 B．144 C． D．156 【答案】C 【分析】本题考查正负数在生活中的应用．根据某款袋装零食的标准质量是“”，可以求得合格的波动范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：由题意可知袋装零食质量合格的范围是：， 选项中只有C选项在此范围内，即符合产品标准质量． 故选：C． 13．地理课上，老师提到可以用正负数表示海拔高度．通常以海平面为基准，海平面以上高度用正数表示，海平面以下深度用负数表示．若珠穆朗玛峰海拔记作：米，则马里亚纳海沟最深处海拔记作（   ）米（已知该处低于海平面11034米）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，熟练掌握正负数表示相反意义的量的规则是解题的关键． 根据正负数表示海拔高度的规则，判断马里亚纳海沟最深处海拔的表示方法． 【详解】解：∵海平面以下深度用负数表示，且马里亚纳海沟最深处低于海平面米， ∴其海拔记作米． 故选：D． 14．中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数，如果公元前500年记作年，那么公元2025年应记作（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握正数和负数的意义． 利用正数和负数的意义解答． 【详解】解：公元前500年记作年， 公元2025年应记作年． 故选：D ． 15．如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正数和负数，找出算筹和数字的对应关系是关键．根据题干描述的算筹计数法计数即可． 【详解】解 ∶依题意得 “”所表示的数是． 故选∶ D． 有理数的定义 16．以下哪个选项的说法不正确（   ） A．属于负数、分数，同时也是有理数 B．0不是正数，也不是负数，但属于整数 C．是负数和整数，然而并非有理数 D．2的相反数是 【答案】C 【分析】本题考查有理数、正数、负数、整数及相反数的定义．根据初中数学知识，有理数包括整数和分数，整数是有理数，0既不是正数也不是负数但属于整数，相反数满足相加为0．逐一判断各选项，C选项错误因为负整数是有理数． 【详解】解：∵有理数包括整数和分数，整数包括负整数， A、，是负数，可化为分数，也是有理数，说法正确，故此选项不符合题意． B、0不是正数，也不是负数，但属于整数，说法正确，故此选项不符合题意． C、是负数和整数，也是有理数，原说法错误，故此选项符合题意． D、2的相反数是，说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 17．下列关于有理数的说法正确的是（    ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数、负整数 C．有理数是可以写成分数形式的数 D．有理数分为正数、零、负数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类等知识，有理数的分类标准要统一，做到不重不漏．根据有理数的知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A、有理数分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意； B、整数分为正整数，0、负整数，故本选项错误，不符合题意； C、有理数是可以写成分数形式的数，故本选项正确，符合题意； D、有理数分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 18．已知数3.14，，，，其中有理数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查有理数的概念，根据有理数的定义（能表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数），逐一判断每个数是否为有理数． 【详解】∵ 3.14是有限小数，是有理数； ∵中含有，不是有理数； ∵是分数（无限循环小数），是有理数； ∵是整数，是有理数． ∴ 有理数有3个． 故选：C． 19．在中，有理数有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的概念，熟练掌握有理数的概念是解题的关键；有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，进而逐个判断每个数即可． 【详解】解：在中，有理数有，共6个； 故选C． 20．下列四个数中，既是分数又是正有理数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查分数和正有理数的定义，解题的关键是掌握以上两个定义． 正有理数是大于0的有理数，分数是指非整数的有理数． 【详解】解：∵ 正有理数要求大于0，分数是指非整数的有理数， A. +2是整数，是正有理数但不是分数，不符合题意； B. 是分数但小于0，不是正有理数，不符合题意； C. 0既不是正有理数也不是分数，不符合题意； D. 可化为分数，且大于0，既是分数又是正有理数，符合题意． ∴ 故选：D． 0的意义 21．关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了关于0的认识，0是整数，自然数，是有理数，但不是正数，也不是负数，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意； C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意； D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒ 故选：D 22．下列说法：①0既不是正数也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，“0”的意义，0既不是正数也不是负数，整数分为正整数，负整数和0，有理数分为整数和分数，有理数也分为正有理数，负有理数和0，据此逐一判断即可． 【详解】解： ①0既不是正数也不是负数，原说法正确； ②整数包括正整数、负整数和0，原说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，原说法错误； ④整数中有负整数小于0，原说法错误； ⑤负分数是有理数，原说法正确； ∴ 正确的有①⑤，共2个， 故选：B． 23．下列说法错误的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．1和2之间没有有理数 C．0.5是正有理数 D．既是整数，也是负数 【答案】B 【分析】本题考查有理数、整数等基本概念．通过逐一判断各选项是否符合数学定义，即可找出错误说法． 【详解】解：∵ 0既不是正数也不是负数，符合定义，∴ A正确； ∵ 1和2之间存在无数有理数，如1.5（即），∴ B错误； ∵且可表示为分数，∴ C正确； ∵是负整数，∴ D正确． 故选：B． 24．下列各数中，既不是正数，也不是负数的是（   ） A． B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的分类，根据有理数的分类，零既不是正数也不是负数． 【详解】∵ 正数是大于0的数，负数是小于0的数，而0既不是正数也不是负数， ∴ 选项D正确． 故选：D． 25．下列叙述中错误的是（   ） A．0既不是正数，也不是负数 B．0是最小的自然数 C．海拔表示没有海拔 D．是零上温度和零下温度的分界点 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的相关定义，正确理解0的意义是解题的关键． 根据0的特殊性质逐项判断即可． 【详解】解：A．0既不是正数也不是负数，故A是正确的，不符合题意； B．0是最小的自然数，故B选项正确，不符合题意； C．海拔表示海平面，不是没有海拔，故C是错误的，符合题意； D．是零上温度和零下温度的分界点，故D是正确的，不符合题意． 故选：C． 有理数的分类 26．下列数中负分数的个数有（    ）个 ，，，1，，，0，，． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】此题考查有理数分类，负分数是指小于零的非整数有理数（包括负的有限小数和负的无限循环小数）．逐一判断每个数是否符合负分数的定义． 【详解】解：∵ 负分数是负的有理数且非整数； 2.5 是正数，不符合； 是负整数，不是分数； （即 ）是负分数； 1 是正数，不符合； （即 ）是负分数； 是无理数，不符合； 0 既不是正数也不是负数，不符合； 是负分数； 是无理数，不符合； ∴ 负分数有 、、，共3个 故选：A． 27．在，4，，0，，中，负整数的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，负整数是既为负数又为整数的数，从给定数中筛选出符合条件的数即可． 【详解】由于负整数需满足负数和整数两个条件，则在，4，，0，，中： 是负数但不是整数，不符合； 4是正数，不符合； 是负整数，符合； 0既不是正数也不是负数，不符合； 是负数但不是整数，不符合； 是负整数，符合； 综上，负整数有和，共2个； 故选：C． 28．下列各数：，，0，，，中，负分数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查负数的定义，有理数的分类，通过判断每个数的正负性，找出所有负数，统计其个数即可． 【详解】解：，是正数； ，是负分数； 既不是正数也不是负数； 不是有理数； ，是负分数； ，是负分数； 综上分析可知，负分数的个数为3个． 故选：B． 29．下列各数0，，，，，（每两个2之间增加一个0），其中有理数的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据有理数的定义，逐个判断即可． 【详解】解：0，，，，，（每两个2之间增加一个0），其中是有理数的有0，，，，共4个数． 故选B． 30．在，5，，，，中，负分数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了负分数的定义，负分数是小于0的有限小数和无限循环小数，据此可得答案． 【详解】解：在，5，，，，中，负分数有，，，共3个， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1有理数的引入 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、1.1 有理数的引入 （一）正数和负数 定义 正数：比 0 大的数叫做正数。正数前面的 “+” 号可以省略不写，例如也可写成。 负数：比 0 小的数叫做负数。负数前面的 “-” 号不能省略，如。 0：既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界点。 实际意义 正数和负数常用来表示具有相反意义的量。例如，若规定向东走为正，则向西走为负；收入为正，支出为负等。如果向东走5米记作+5米，那么向西走3米记作米-3。 （二）有理数 定义：整数和分数统称为有理数。 分类 按定义分类 按性质符号分类 正有理数：正整数和正分数。 负有理数：负整数和负分数。 0 型 习 练 题 正负数的定义 1．在中，有（ ）个负数． A．1 B．2 C．3 D．4 2．有关负数的记载，最早出现在我国《九章算术》中．下列各数中：5，，0，，，，负数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列各数：，+3.5，0，，，11中，负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列四个数中，属于负数的是（   ） A． B． C． D． 5．在6，，0，这四个数中，属于负数的是（   ） A．6 B． C．0 D． 相反意义的量 6．弹簧振子是物理学中研究简谐振动规律的理想化模型，在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩记作（    ） A． B． C． D． 7．小明同学把1000元压岁钱存入银行记作元，开学买学习用品，需向银行取出300元，取出300元可以记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 8．某天，月球表面白天的最高温度为零上，如果把它记作，那么夜间的最低温度零下记作（    ） A． B． C． D． 9．中国古代数学著作《九章算术》，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．如果向西走50米记作米，那么米表示（   ） A．向东走20米 B．向南走20米 C．向西走20米 D．向北走20米 10．若收入5元记为，则支出3元记为（   ） A．2 B． C．3 D． 正负数的实际应用 11．丽丽在超市买了一袋食品，外包装上印有“总净含量”的字样．丽丽去称了一下，称得结果是符合包装说明，这袋食品的净含量可能是（    ） A． B． C． D． 12．某款袋装零食的标准质量是“”，下面4袋不同质量的零食中，符合产品标准质量的是（  ） A．140 B．144 C． D．156 13．地理课上，老师提到可以用正负数表示海拔高度．通常以海平面为基准，海平面以上高度用正数表示，海平面以下深度用负数表示．若珠穆朗玛峰海拔记作：米，则马里亚纳海沟最深处海拔记作（   ）米（已知该处低于海平面11034米）． A．米 B．米 C．米 D．米 14．中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数，如果公元前500年记作年，那么公元2025年应记作（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 15．如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是（  ） A． B． C． D． 有理数的定义 16．以下哪个选项的说法不正确（   ） A．属于负数、分数，同时也是有理数 B．0不是正数，也不是负数，但属于整数 C．是负数和整数，然而并非有理数 D．2的相反数是 17．下列关于有理数的说法正确的是（    ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数、负整数 C．有理数是可以写成分数形式的数 D．有理数分为正数、零、负数 18．已知数3.14，，，，其中有理数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．在中，有理数有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 20．下列四个数中，既是分数又是正有理数的是（    ） A． B． C．0 D． 0的意义 21．关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 22．下列说法：①0既不是正数也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 23．下列说法错误的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．1和2之间没有有理数 C．0.5是正有理数 D．既是整数，也是负数 24．下列各数中，既不是正数，也不是负数的是（   ） A． B．2 C．1 D．0 25．下列叙述中错误的是（   ） A．0既不是正数，也不是负数 B．0是最小的自然数 C．海拔表示没有海拔 D．是零上温度和零下温度的分界点 有理数的分类 26．下列数中负分数的个数有（    ）个 ，，，1，，，0，，． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 27．在，4，，0，，中，负整数的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 28．下列各数：，，0，，，中，负分数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 29．下列各数0，，，，，（每两个2之间增加一个0），其中有理数的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 30．在，5，，，，中，负分数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 学科网（北京）股份有限公司 $