精品解析：广东省深圳市沙井中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

沙井中学2025-2026学年度第一学期期中考试 高一年级数学试卷 命题人：袁利 班级___________姓名___________ 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. , D. , 【答案】B 【解析】 【分析】应用并集定义计算求解. 【详解】集合， ,,， ． 故选：B． 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶次根式和分式的意义来求定义域即可. 【详解】由题意得： 故函数的定义域为， 故选：A. 4. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式，通过充分条件与必要条件的概念即可判断出关系. 【详解】由得，则且，解得：， 而集合是的真子集， ∴“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 5. 幂函数在上是增函数，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性列式即可求解. 【详解】为幂函数， 所以，即， 即，解得或， 又在上是增函数， 所以， 当时，， 当时，， 所以. 故选：. 6. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断各选项的正误. 【详解】A：的定义域为，的定义域为，则A错误； B：的定义域为的定义域为，则B错误； C：和的定义域均为，且，则C正确； D：的定义域为的定义域为，则D错误. 故选：C 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】换元法求解析式即可． 【解答过程】设，则，， 所以， 所以． 故选：B. 8. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有.则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数： ①；②；③；④ 其中是“理想函数”的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先分析条件①②得到函数的奇偶性和单调性.然后逐个验证四个函数是否满足条件. 【详解】由①可知函数为奇函数， 由②，即，所以函数在定义域上单调递增. ①函数为偶函数，不满足条件①，排除； ②函数为奇函数，在定义域内单调递增，是“理想函数”； ③∵，函数不是奇函数，排除； ④当时，，，函数是奇函数， ∴函数在单调递增，在上单调递增，且当时，，∴函数在定义域内单调递增，是“理想函数”； 故为“理想函数”的函数有：②④； 故选：B. 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，利用作差法，举反例等方法逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，若取，则，故A错误； 对于B，由可得，即可得，故B正确； 对于C，由可得，由不等式性质，可得，故C正确； 对于D，由， 因，，则，， 故，即得，故D正确. 故选：BCD 10. 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定条件，结合基本不等式，逐项分析、计算判断作答即可. 【详解】对于A，因为， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，因为， 所以，当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. C. 若，则的取值范围是 D. 函数的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，分析出要使定义在上的函数是减函数，须满足一次函数的斜率，二次函数的对称轴，且函数在左侧的最小值大于等于在右侧的最大值，进而列出不等式组，求出的取值范围，即可判断；对于B，C，利用函数在上的单调性，将不等式，转化为关于的不等式，求出的取值范围，即可判断；对于D，取符合题意的，得到函数的确切解析式并求出其值域，即可判断. 【详解】对于A，当时，函数， 对称轴为，且. 所以要使定义在上的函数是减函数， 须满足，即， 解得，即的取值范围为，故A正确； 对于B，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，整理得， 其判别式，故恒为正， 即对所有的都成立， 所以，恒成立，故B正确； 对于C，因为函数是定义在上的减函数， 所以等价于，解得， 即的取值范围是，故C正确； 对于D，由选项A可知，当，函数在上是减函数， 所以令，此时， 当时，可得； 当时，因为， 所以， 所以函数的值域为，不是，故D错误. 故选：ABC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 已知函数，则_____. 【答案】5 【解析】 【分析】根据解析式，将自变量代入求值即可. 【详解】由解析式知，则. 故答案为：5 13. 若，则函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】化简函数解析式为，结合基本不等式可求得函数的值域. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的值域为. 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设有关于对称，在上为严格增函数，利用对称性和单调性有，即可求解. 【详解】由，即关于对称， 又在上为严格减函数，则在上为严格增函数， 由，则，即， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）当时，求：①，②； （2）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集，交集，全集，补集的定义计算即可； （2）利用集合间的包含关系列不等式，求解即可. 【小问1详解】 由，解得，则， 当时，， 所以，或， 则. 【小问2详解】 由（1）知， 由，得，解得， 因此，实数m的取值范围是. 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）在给定的坐标系中画出函数在上的图象（不用列表）； （3）若关于的方程有4个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）图象见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性质公式可得当时的函数表达式，则即可得到函数的解析式； （2）可将第（1）题中函数的解析式化为顶点式，即可画出的图象； （3）根据（2）中大致图象，对分类讨论即可得到交点个数. 【小问1详解】 当时，则，可得， 又因为函数是定义在上的偶函数， 当时，则， 所以函数的解析式为：. 【小问2详解】 当时，； 当时，； 所以，大致图象如下： 【小问3详解】 根据（2）中大致图象，可知： ①当或时，直线与的图象有2个交点； ②当时，直线与的图象有3个交点； ③当时，直线与的图象有4个交点； ④当时，直线与的图象没有交点； 若关于的方程有4个不同的实数解，所以实数的取值范围为. 17. “绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）50；2200 【解析】 【分析】（1）由题意，分和两种情况求利润； （2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意可知， 当时，， 当时，， 所以年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式为. 【小问2详解】 当时，，开口向下， 所以当时，； 当时， ， 当且仅当即时，等号成立，此时， 因为， 所以，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2200. 18. 已知函数是定义域上的奇函数. （1）确定的解析式； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】 （1）利用奇函数的定义，经过化简计算可求得实数，进而可得出函数的解析式； （2）任取、，且，作差，化简变形后判断的符号，即可证得结论； （3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，再利用函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由于函数是定义域上的奇函数，则， 即，化简得，因此，； （2）任取、，且，即， 则， ，，，，，，. ，，因此，函数在区间上是减函数； （3）由（2）可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数， 由得，所以，解得. 因此，不等式的解集为. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 19. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集得到方程的两根为1，2，代入后得到方程组，求出答案； （2）变形为，分，，，和五种情况，得到不等式的解集； （3）只需，换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到，求出答案. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为1，2， 所以解得 【小问2详解】 因为，所以． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，不等式可化为，解集为或； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为； ⑤当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 【小问3详解】 由（1）知不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，，故实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沙井中学2025-2026学年度第一学期期中考试 高一年级数学试卷 命题人：袁利 班级___________姓名___________ 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. , D. , 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 幂函数在上是增函数，则实数的值为（ ） A. 2或 B. C. 2 D. 或 6. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有.则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数： ①；②；③；④ 其中是“理想函数”的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数为定义在上的减函数，下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. C. 若，则的取值范围是 D. 函数的值域为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 已知函数，则_____. 13. 若，则函数的值域为______． 14. 已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为_____. 四、解答题（本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）当时，求：①，②； （2）若，求实数m的取值范围. 16. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）在给定的坐标系中画出函数在上的图象（不用列表）； （3）若关于的方程有4个不同的实数解，求实数的取值范围. 17. “绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 已知函数是定义域上的奇函数. （1）确定的解析式； （2）用定义证明：在区间上是减函数； （3）解不等式. 19. 已知函数． （1）若的解集为，求，的值； （2）若，求不等式的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $