精品解析：江西师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷

2025年师大附中高一年级期中考试 数学试卷 2025.11 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合，再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2. 已知，，为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】，充分性成立， 时，可能有，此时，即不一定成立，必要性不满足， 所以是充分不必要条件， 故选：A． 3. 设函数，则（ ） A. 10 B. 9 C. 7 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】依据分段函数的解析式，将9代入计算函数值. 【详解】． 故选：C. 4. 以下可能是函数的图像的为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再分析与1的大小关系判断即可. 【详解】因为，故为奇函数，排除B,D； 又，排除C. 故选：A 5. 已知，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数单调性，直接比较，由中间值，比较即可. 【详解】由单调递增，可得， 由单调递减，可得， 则. 故选：B 6. 对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离参数后将问题转化为，再结合对勾函数的单调性求出的最值即可； 【详解】分离参数得，要使对任意，不等式恒成立，只需. 又因为，令，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以，所以，所以. 故选：D. 7. 已知函数的定义域为，为偶函数，，当时，（且），则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先确定对称中心、对称轴，则可得到周期，由周期性求即可. 【详解】由可得关于点中心对称，则， 由为偶函数可得关于对称， 则周期为4，所以， 故选：B. 8. 已知函数，若图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设，将问题化为在上有实数根，即与的图象在有交点，利用导数研究在的值域，数形结合求参数范围. 【详解】关于原点对称的函数为，即， 若函数图象上存在关于原点对称的点， 则与在上有交点， 所以方程在上有实数根， 即在上有实数根， 即与的图象在有交点， ，所以在上单调递增， 所以，所以，所以. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的对称中心为 C. 已知函数，则 D. 已知，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，令即可判断；对于B，分离常数求出其对称中心即可判断；对于C，由方程组法即可判断；对于D，根据幂指数运算即可判断． 【详解】对于A，要使得函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，函数，其对称中心为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，，， ，故D错误． 故选：AC． 10. 已知，，，则下列结论正确的有（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A选项；求得，设，则，利用对勾函数 单调性求出的最小值，可判断B选项；利用重要不等式可判断C选项；由结合基本不等式可判断D选项. 【详解】因为，，， 对于A选项，由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A对； 对于B选项，设，则， 因为对勾函数在上单调递减，故当时，取最小值，即， 故的最小值为，B错； 对于C选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，C对； 对于D选项， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，D对. 故选：ACD. 11. 定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 为单调递增函数 D. 存在，使得，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法计算可判断A；假设为偶函数成立，利用赋值法得出结论与假设矛盾，可判断B；利用函数单调性定义结合题干化简计算可判断C；利用赋值法可得，采用分离常数结合双钩函数性质计算求解可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，若为偶函数，则，即， 令，则，即， 用替换上式中的可得，与矛盾， 所以不是偶函数，故B错误； 对于C，设，且， 由题意可知， 因为，所以，， 所以，即函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，令，， 存在，使得， 则存在，使得， 即在区间上有解， 根据双钩函数性质可知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，，， 所以函数在区间上的值域为，即， 所以实数的取值范围为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调减区间是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 首先求出函数的定义域，再利用二次函数的性质以及复合函数的单调性即可求解. 【详解】，则， 解得或， 所以函数的定义域为， 令， 所以函数的单调递减区间为， 又因为为增函数， 所以的单调递减区间为. 故答案为： 13. 已知在上满足，则实数的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】条件可转化为函数为减函数，结合一次函数单调性，二次函数单调性及减函数定义列不等式可求的范围. 【详解】因为函数在上满足， 所以函数为减函数， 所以，解得， 所以实数取值范围为. 故答案为：. 14. 若函数的图象关于直线对称，则最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知的两根分别为、，利用韦达定理求出、的值，可得出函数的解析式，再验证函数的图象关于直线对称，化简函数的解析式为，令，结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】因为方程的两根分别为、， 又因为函数的图象关于直线对称， 故方程的两根分别为、，由韦达定理可得，故， 所以， 所以 ， 所以函数的图象关于直线对称， 又因为， 令，则， 故当时，函数取最小值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集的定义求解；（2）对集合是否空集进行分类讨论进而求解. 【小问1详解】 当时，，. 则. 【小问2详解】 因为，所以. ①当集合为空集时，，解得. ②当集合不是空集时，，解得. 综上，. 16. 高一数学兴趣小组开展数学建模活动，据统计，一个月内（以30天计），每天到影院观看某部电影的人数与第天间的关系近似满足函数（为正实数），且第10天的观看电影的人数为612人.观看电影的群众的人均消费（单位：元）与第天近似地满足下表： 5 12 18 24 29 30 50 64 76 64 54 52 为了描述人均消费与第天的函数关系，现有以下三种函数模型供选择： ①； ②； ③； （1）请选择你认为最符合表格中数据关系的函数模型，并求出其解析式： （2）若第天在此影院观看该部电影的群众总消费为（单位：元），求的最小值.（注：每天在此影院观看该部电影的群众总消费每天的观影人数人均消费且.） 【答案】（1）函数模型②满足要求， （2）第2天在此影院观看该部电影的群众总消费最小，最小值为29040元 【解析】 【分析】（1）根据表格可知的值先增大，后减小，从而可得到函数模型②满足要求；然后根据表格中的数据代入函数的关系式即可求出答案； （2）根据即可求出的值，再分且和且两种情况分段讨论函数，从而可求得函数的最小值. 【小问1详解】 由表格，可知的值先增大，后减小，所以显然，函数模型②满足要求， 又由表格可知，，，代入， 得，解得，，， 所以. 【小问2详解】 因为第10天的观看电影的人数为612人，所以，解得. 易知， 当且时，， 所以，当且仅当时等号成立. 当且时， ， 因为为减函数，所以. 综上知，第2天在此影院观看该部电影的群众总消费最小，最小值为29040元. 17. 已知幂函数的定义域为. （1）求函数解析式，并用定义法证明为单调递增函数； （2）若方程在上恰有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用幂函数的定义计算参数，再利用单调性的定义证明单调性即可； （2）利用换元法结合一元二次方程根的分布计算即可. 【小问1详解】 由题意可知，解得或， 若，则，与前提矛盾， 若，则，符合题意； 令，则， 即，所以是R上单调递增函数； 【小问2详解】 结合（1）知， 令，显然， 上述方程可化：在上有两个不等实数根， 所以，即或， 且，即，解得， 综上所述. 18. 已知二次函数图象经过点，并且满足 （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在区间上的最小值为； （3）在（2）的条件下，若，对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，再结合可得出的值，由此可得出函数的解析式； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可得出的表达式； （3）根据题意得出恒成立，可得出，令，其中，对实数的取值进行分类讨论，求出，可得出，结合题意即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 根据题意，设， 则， 所以，解得，即， 又因为，解得，故. 【小问2详解】 因为，函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，即当时，函数在上为增函数， 此时； 当时，即当时，函数在上为减函数，在上为增函数， 此时； 当时，即当时，函数在上为减函数， 此时. 综上所述，. 【小问3详解】 ，对，不等式恒成立，即， 即，令， 当时，， 若时，即当时，函数在上为减函数，在上为增函数， 因为，，， 此时， 当时，，此时函数在上为减函数，此时， 综上所述，， 因为，使得，故， 因此实数的取值范围是. 19. 已知且是上的奇函数，且. （1）求的值； （2）设.求的解析式，并求其值域； （3）在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）， （2），值域为 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据可求得，代回解析式验证可知满足题意；由可求得的值； （2）根据（1）中结论可整理得到，并由得其定义域；结合基本不等式和不等式的性质可求得的值域； （3）结合的对称性可得的对称中心，由对称性可求得，根据不等式有解可得，由此可得的取值. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数，，解得：； 当时，， 则，满足为奇函数； ，，又且，； 综上所述：，. 【小问2详解】 由（1）得：， ， ，，定义域为， . ，， （当且仅当时取等号），， ，，的值域为. 【小问3详解】 由题意知：， ， ； 为奇函数，图象关于中心对称， 图象关于中心对称，， ； 若存在正整数，使不等式有解，则， ，解得：， 存正整数或，使不等式有解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年师大附中高一年级期中考试 数学试卷 2025.11 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设函数，则（ ） A. 10 B. 9 C. 7 D. 6 4. 以下可能是函数的图像的为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，为偶函数，，当时，（且），则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知函数，若图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列选项中正确的是（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的对称中心为 C. 已知函数，则 D. 已知，则 10. 已知，，，则下列结论正确的有（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 偶函数 C. 单调递增函数 D. 存在，使得，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调减区间是_________． 13. 已知在上满足，则实数的取值范围为________ 14. 若函数图象关于直线对称，则最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 高一数学兴趣小组开展数学建模活动，据统计，一个月内（以30天计），每天到影院观看某部电影的人数与第天间的关系近似满足函数（为正实数），且第10天的观看电影的人数为612人.观看电影的群众的人均消费（单位：元）与第天近似地满足下表： 5 12 18 24 29 30 50 64 76 64 54 52 为了描述人均消费与第天的函数关系，现有以下三种函数模型供选择： ①； ②； ③； （1）请选择你认为最符合表格中数据关系的函数模型，并求出其解析式： （2）若第天在此影院观看该部电影的群众总消费为（单位：元），求的最小值.（注：每天在此影院观看该部电影的群众总消费每天的观影人数人均消费且.） 17. 已知幂函数的定义域为. （1）求函数解析式，并用定义法证明为单调递增函数； （2）若方程在上恰有两个不相等的实数根，求的取值范围. 18. 已知二次函数图象经过点，并且满足 （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在区间上的最小值为； （3）在（2）的条件下，若，对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知且是上的奇函数，且. （1）求的值； （2）设.求的解析式，并求其值域； （3）在（2）的条件下，设，把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $