2.5 一元二次方程的根与系数的关系（分层练习） 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2.5 一元二次方程的根与系数的关系 一．选择题 1．关于x的方程x2+mx﹣1＝0根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．已知关于x的方程x2+bx+2＝0，当b2＞8时，下列选项中，可作为该方程的根的是（　　） A． B． C． D． 3．若a，b是一元二次方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，则a2+3a+b的值为（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 4．设x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则x1+3x1x2+x2的值为（　　） A．9 B．﹣3 C．﹣9 D．3 5．下列方程中，两根分别是﹣2和3的方程是（　　） A．x2﹣x﹣6＝0 B．x2﹣6x+5＝0 C．x2+x﹣6＝0 D．x2﹣6x﹣1＝0 6．如果关于x的方程（m﹣2）x2﹣（2m﹣1）x+m＝0只有一个实数根，那么方程mx2﹣（m+2）x+（4﹣m）＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 7．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为2，两根之积为﹣3，则关于y的方程a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0 的两根之积为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5 8．亮亮在解一元二次方程x2﹣6x+□＝0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 9．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式2024x1的值为（　　） A．4049 B．4048 C．2024 D．1 10．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（　　） ①方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2﹣5mn+n2＝0； ③若p、q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，则2b2＝9ac． A．①② B．②③④ C．①③ D．①③④ 二．填空题 11．若α，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，则α+β的值为　 　 ． 12．已知关于x的一元二次方程3x2﹣mx+6＝0的一个根是3，则另一个根是　 　 ． 13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 　 　 ． 14．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别x1＝﹣1，x2＝2，则方程c（x﹣1）2+b（x﹣1）+a＝0的两个根分别是 　 　 ． 15．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　 ． 16．如果a，b是一元二次方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根，那么代数式a2﹣5a+ab的值为　 　 ． 三．解答题 17．关于x的一元二次方程x2+2mx+2m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为正数，求m的取值范围． 18．已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若x1，x2是方程的两个根，且x1•x2＝﹣5，求m的值，并求出此时方程的两个根． 19．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根， ∴m+n＝1，mn＝﹣1． 则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝ 　 　 ，x1x2＝ 　 　 ； （2）类比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n，求m2+n2的值； （3）提升：已知实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值． 20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0①有两个实数根x1，x2． （1）求实数k的取值范围； （2）从因式分解法可知，方程①也可转化为（x﹣x1）（x﹣x2）＝0②．把方程②的左边展开化成一般形式后，可以得到方程①两个根的和、积与系数分别有如下关系：x1+x2＝　 　 ，x1⋅x2＝　 　 ；（用含k的式子表示） （3）是否存在实数k，使得x12+x22﹣x1x2＝16成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 21．观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：x2﹣3x+2＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝2； 第2个方程：x2﹣5x+6＝0，方程的两个根分别是x1＝2，x2＝3； 第3个方程：x2﹣7x+12＝0；方程的两个根分别是x1＝3，x2＝4； 第4个方程：x2﹣9x+20＝0；方程的两个根分别是x1＝4，x2＝5； …… （1）请按照此规律写出两个根分别是x1＝8，x2＝9的一元二次方程 　 　 ． （2）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程x2x+1＝0是否是“邻根方程”． （3）已知关于x的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B A C D C A D 二．填空题 11．2． 12．． 13．m＞1． 14．x1＝0，x2． 15．k≠0且k． 16．0． 三．解答题 17．（1）证明：∵Δ＝（2m）2﹣4（2m﹣1） ＝4m2﹣8m+4 ＝4（m﹣1）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：x， ∴x1＝﹣1，x2＝1﹣2m， ∵该方程有一个根是正数， ∴1﹣2m＞0， 解得m． 18．（1）证明：∵Δ＝m2﹣4×1×（m﹣1） ＝m2﹣4m+4 ＝（m﹣2）2≥0， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0的两个根， ∴x1•x2＝m﹣1＝﹣5， ∴m＝﹣4， ∴原方程为x2﹣4x﹣5＝0， ∴（x+1）（x﹣5）＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝5， ∴m的值为﹣4，此时方程的两个根分别为﹣1和5． 19．解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2，x1•x2． 故答案为：，； （2）∵一元二次方程 2x2+3x﹣1＝0的两个实数根为m，n， ∴m+n，mn， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn ＝（）2﹣2×（） 1 ； （3）∵实数s，t满足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t， ∴s，t可以看作关于x的方程2x2+3x﹣1＝0的两个根， ∴s+t，st， ∴（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（）2﹣4×（）， ∴t﹣s＝±， ∴±， ∴的值为或． 20．（1）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1（k2+2k）＞0， 化简整理，得1﹣4k＞0， 解得：； （2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0①有两个实数根x1，x2， ∴（x﹣x1）（x﹣x2）＝0②， ∴x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝0， 比较①②得：x1+x2＝2k+1，， 故答案为：2k+1，k2+2k； （3）解：∵， ∴， 由（2）得x1+x2＝2k+1，， ∴（2k+1）2﹣3（k2+2k）＝16， 整理，得k2﹣2k﹣15＝0， 解得：k1＝5，k1＝﹣3， 又由（1）知， ∴k＝﹣3． ∴存在，当k＝﹣3时，使得成立． 21．（1）由题意可知： ∵方程的一次项系数为：， ∴b＝﹣17， ∵方程的常数项为：， ∴c＝72， 所以x1＝8，x2＝9对应的一元二次方程为：x2﹣17x+72＝0． 故答案为：x2﹣17x+72＝0． （2）∵， ∴，， ∵， ∴是“邻根方程”． （3）∵x2﹣（m+3）x+3m＝0， ∴（x﹣3）（x﹣m）＝0， ∴x1＝3，x2＝m， ∵关于x 的方程x2﹣（m+3）x+3m＝0（m是常数）是“邻根方程”， ∴3﹣m＝1或m﹣3＝1， ∴解得：m＝2或4， 又∵方程两根为直角三角形的两条边， 当方程两根为2和3时： 若2和3为两条直角边时，则此三角形的第三边长为：； 若2为直角边，3为斜边时，则此三角形的第三边长为：； 当方程两根为3和4时： 若3和4为两条直角边时，则此三角形的第三边长为：； 若3为直角边，4为斜边时，则此三角形的第三边长为：； 综上所述：此三角形的第三边长为或，5或． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/17 22:07:32；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $