2.5一元二次方程的根与系数的关系同步训练2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步训练 一、单选题 1．下列方程中两实数根之和为2的是（    ）． A． B． C． D． 2．已知方程的两根分别为和，则的值为（   ） A．4 B．3 C．1 D． 3．一个矩形的长和宽恰好是方程的两个根．则矩形的周长和面积分别是（    ） A．5；3 B．10；3 C．；3 D．10；1 4．已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．8 D．12 5．关于x的一元二次方程的两个根满足，则a的值为（    ） A． B．1 C．3 D．9 6．已知关于的一元二次方程两个实数根的和是，则的值是（    ） A．3 B． C． D．1 7．已知关于的一元二次方程的两根分别为，，且，，那么这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知方程的一个根为2，则另一个根为 ． 9．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根 ． 10．已知方程的两个实数根为和，则代数式的值是 ． 11．若是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 12．若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为 ． 三、解答题 13．关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： (1)填空：________；________； (2)； (3)． 14．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实根． (1)求实数的取值范围； (2)在（1）问取值范围内，选取一个合适的正整数，若方程的两个实数根分别为和，求的值． 15．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，满足，求的值． 16．阅读与思考 下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日  晴 一元二次方程的新解法——罗氏解法2019年，美籍华裔数学家罗博深发现了一种一元二次方程的新解法，被称为“3000年来解一元二次方程的大变革”，这种新解法是以根与系数的关系为基础，利用两根平均数的方法进行解答．一元二次方程的根（，）与系数的关系为，． 以解方程为例． 解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． …… 罗氏解法为我们提供了更加简洁的方法． 任务： (1)请完成材料中的求解过程． (2)利用罗氏解法，求一元二次方程的根的情况． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了根据一元二次方程根与系数的关系，判别式．一元二次方程根与系数的关系，两根之和为，且方程需有实数根，即判别式，分别计算各选项的两根之和及判别式，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，不符合题意； B、∵，∴，不符合题意； C、∵，∴ ，且，符合题意； D、∵，∴，，无实数根，不符合题意； 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，对于一般二次方程 ，两根之和公式为 ．利用二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】解：∵ 中，，， ∴ ． 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据矩形的长和宽是方程的两个根，周长等于长和宽之和的两倍，面积等于长和宽的乘积．利用一元二次方程的根与系数关系，直接求和与积． 【详解】解：设方程的两个根为和（即矩形的长和宽）， ∵ 根据根与系数关系：，， ∴ 周长，面积， 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值等知识点，运用根与系数的关系得到的值是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到的值，再对变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故选B． 5．C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，由两根之和为6，直接求解a的值． 【详解】解：∵方程化为标准形式：， ∴两根之和， 又∵，即， ∴， ∴． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，根的和等于，且结合两个实数根的和是，则，即可作答． 【详解】解：设方程的两个根为和， 则， ∵关于的一元二次方程两个实数根的和是， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，根据已知条件和，可得和，逐一验证各选项的系数是否满足这些比例即可，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为，，且，， ∴，， A、中，，，则，故不满足条件，不符合题意； B、中，，，则， 且，故满足条件，符合题意； C、中，，，则，故不满足条件，不符合题意； D、中，，，则，但 ，故不满足条件，不符合题意； 故选：B． 8．/ 【分析】本题主要考查了根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：设方程的另一根为， ， ∴， 解得 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，代入已知根即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为． 由根与系数的关系，得． 因为，所以， 解得． 故答案为：2． 10． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、利用完全平方公式变形求代数式的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式计算平方和． 【详解】解： 和是一元二次方程 的两个根， ，， ． 故答案为：13 11．2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的关系．先根据题意得到，，把变形为整体代入即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 即． ∴ 故答案为：2024 12．2 【分析】根据原方程的两个根互为相反数，利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 13．(1) 2， (2) (3) 8 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是关键． （1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系（）代入求值即可； （2）运用乘法公式变形计算即可求解； （3）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：关于的方程有两个实数根、， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴原式． 14．(1) (2)取时，原式（答案不唯一） 【分析】（1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于m的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：由（1）可知，选取正整数． 原方程可化为 ∵方程的两个实数根分别为和， ∴， ． 15．(1)见解析 (2) 或 【分析】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题． （1）根据根的判别式求解即可； （2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得与的、的关系式，进一步可以求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）由一元二次方程根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴，化简得：， 解得或． 16．(1)， (2)无实数根 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接开平方法解一元二次方程，平方差公式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用平方差公式得出，再求出即可求解； （2）利用根与系数的关系得出，，可知与的平均数为，设，，则，则，可知原方程无实数根． 【详解】（1）解：∴， ∴， ∴， ∴，； （2）解：设方程的两根为，， 这里，，， ∴，， 由，可知与的平均数为， 设，， 则， ∴， ∴， ∴实数不存在， ∴原方程无实数根． 学科网（北京）股份有限公司 $