2.5 一元二次方程的根与系数的关系（分层作业）数学北师大版九年级上册

2.5 一元二次方程的根与系数的关系 1．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 3．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）若是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 4．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）关于的方程的一根为，则另一根为 ． 5．（24-25九年级下·江西上饶·阶段练习）已知，是一元二次方程的两根， 则 ． 6．（24-25九年级上·江西九江·期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 7．（24-25九年级上·江西抚州·期中）若一元二次方程的两根为，，则 ． 8．（24-25九年级上·湖北·期中）若，是方程的两个根，则多项式的值为 ． 9．（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）若是方程的两个根，则的值为 ． 10．（2025·山东淄博·二模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 11．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 12．（24-25九年级下·广东珠海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 13．（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知一元二次方程： (1)方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若方程一个根为2，求方程的另一根． 14．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为，且 求的取值范围． 15．（24-25九年级上·湖北黄石·开学考试）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 1．（2025·安徽亳州·三模）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则下列方程中，其两实数根分别为，的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东·模拟预测）已知关于的一元二次方程，两实数根为和，则代数式 ． 3．（2025·河北保定·二模）已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则的值为 ． 4．（2025·海南·一模）综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 材料1：一元二次方程的根与系数的关系最早由法国数学家韦达（1540-1603年）发现，习惯上称为“韦达定理”．韦达定理更一般地揭示了一元二次方程的根与系数的关系． 材料2：关于x的一元二次方程的两个实数根、和系数a、b、c有如下关系：，． 材料3：已知一元二次方程的两个实数根分别为p、q，求的值． 解：、是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为、，则________，________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为p、q，求的值； (3)提升：已知实数m、n满足，，且，求的值． 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 1．（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 4 / 4 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，是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江西抚州·期中）若一元二次方程的两根为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出及是解题的关键．利用一元二次方程的解，可得出，利用根与系数的关系，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴， ∴， ∵一元二次方程的两根为，， ∴， ∴， 故答案为： 8．（24-25九年级上·湖北·期中）若，是方程的两个根，则多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，把变形得到，然后利用整体代入的方法计算．熟练掌握若方程的两根为，，则，的性质是解决此题的关键． 【详解】根据题意得，， ∴， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）若是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，，整理，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， 则 故答案为： 10．（2025·山东淄博·二模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握根与系数的关系． 先根据一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将待求式子提取公因式后整体代入求值． 【详解】解：∵若，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 【答案】(1)1，； (2)3． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及运用完全平方公式求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）设，是一元二次方程的两个实数根，则，． （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：方程中，， ，． 故答案为：1，． （2）解：， 故答案为：3． 12．（24-25九年级下·广东珠海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 13．（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知一元二次方程： (1)方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若方程一个根为2，求方程的另一根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系； （1）根据根的判别式和已知条件得出，再求出不等式的解集即可； （2）设方程的另一个根是x，由根与系数的关系得出，再求出答案即可 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根 ∴， 解得， 即实数k的取值范围是； （2）设方程的另一个根是x， 则由根与系数的关系得： ， 解得， 即方程的另一个根是4． 14．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为，且 求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“时，方程有两个实数根”，（2）根据根与系数的关系结合及（1）的结论来求解． （1）根据方程根与系数，结合方程根的判别式时，方程有两个实数根来求解； （2）先求出，，再结合及（1）的结论求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， ． （2）解：方程的两个实数根为， ，， ． ， ， ． ， ． 15．（24-25九年级上·湖北黄石·开学考试）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． 【详解】（1）证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根． （2）解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 1．（2025·安徽亳州·三模）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则下列方程中，其两实数根分别为，的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解二元一次方程组，由题意得，，，，则，，联立，，解得，，然后构造一元二次方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∴，， 联立解得：，， ∴，， ∴以两实数根分别为，的方程是， 故选：． 2．（2025·山东·模拟预测）已知关于的一元二次方程，两实数根为和，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握是一元二次方程的两根时，， ．由题得，，得到，代入计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程，两实数根为和， ，， ， ， 故答案为：． 3．（2025·河北保定·二模）已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由根于系数的关系得，即可求解；掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． 【详解】解：设其中一个根为，另一个根为， ， 解得：， 故答案为：4． 4．（2025·海南·一模）综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 材料1：一元二次方程的根与系数的关系最早由法国数学家韦达（1540-1603年）发现，习惯上称为“韦达定理”．韦达定理更一般地揭示了一元二次方程的根与系数的关系． 材料2：关于x的一元二次方程的两个实数根、和系数a、b、c有如下关系：，． 材料3：已知一元二次方程的两个实数根分别为p、q，求的值． 解：、是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为、，则________，________； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为p、q，求的值； (3)提升：已知实数m、n满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，，最后代入求值即可； （3）由题意可将m、n可以看作方程的两个根，即得出，，再根据，整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． （2）解：∵一元二次方程的两根分别为p、q， ∴，， ∴ ； （3）解：由题意可将m、n可以看作方程的两个根， ∴，， ∴． 5．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”， (1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______； (2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值； (3)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)① (2)的值为18 (3)代数式的值为或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是读懂“倍根方程”的定义和分类讨论思想的应用． （1）求出的根为，，可知是“倍根方程”；求出的根为，，知不是“倍根方程”； （2）设的两个根为和，可得，即可解得的值为18； （3）求出，，可得或，即或，分别代入求值即可． 【详解】（1）的根为，， ， 是“倍根方程”； 的根为，， ， 不是“倍根方程”； 故答案为：①； （2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和， ， 解得； 经检验，符合题意， 的值为18； （3）由得，， 是“倍根方程”， 或，即或， 当时，； 当时，； 代数式的值为或． 1．（23-24八年级下·山东淄博·期末）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． (1)直接写出方程的衍生点的坐标为______； (2)已知关于的方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ②求该方程衍生点的坐标； ③已知不论为何值，关于的方程的䘕生点始终在直线上，求b，c的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②；③ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程． （1）解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标； （2）①根据判别式即可判断方程的根的情况；②解方程得到方程的解，根据衍生点的定义即可得到点M的坐标；③将变形，可得过定点，根据题意方程的两个根为，根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴该方程的衍生点M的坐标为 （2）①∵方程为， ∴ ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ② ∴， ∴该方程的衍生点M的坐标为； ③解∶直线，过定点， ∴两个根为， ∴， ∴． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： (1)若实数a，b满足：，则_______，_______； (2)若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； (3)已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键： （1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可； （3）构造一元二次方程，得到是它的两个实数根，得到，将进行配方，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得a，b是方程的两个根， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：，， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； （3）∵， ∴， 又∵， ∴是一元二次方程的两个实数根，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 5 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$