精品解析：福建省厦门集美中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

集美中学2025-2026学年第一学期高三年级期中质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 班级：______________姓名：______________座号：______________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知圆台上下底面积分别为，母线长为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（ ）天. （参考数据：，， A. 9 B. 15 C. 25 D. 35 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 记的内角的对边分别为，且，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计．得到如图所示的列联表，则下列说法正确的是（ ） 性别 物理学科 喜爱 不喜爱 男 60 40 女 20 80 A. 喜爱物理学科的学生中，男生的频率为 B. 女生中喜爱物理学科的频率为 C. 依据小概率值的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关 参考公式：，其中. 附表： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 11. 如图，正三棱台的上下底面边长分别为3和6，侧棱长为3，则下列结论中正确的有（ ） A. 过AC的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为 B. 棱长为的正四面体可以在该棱台内随意转动 C. 直径为的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切） D. 该三棱台可以整体放入直径为的球内 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为等差数列，为其前项和.若，则___________. 13. 老师给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出函数的一个性质． 甲：对于，都有； 乙：函数在上是减函数； 丙：函数在上是增函数； 丁：不是函数的最小值． 如果其中恰有三人说的正确，请写出一个这样的函数：______． 14. 函数的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求A的值； （2）若，求△ABC周长的取值范围． 16. 设数列的前项和为，已知，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． （1）证明：平面平面； （2）已知是线段上的点，它到直线的距离为，求直线与平面所成的角． 18. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若在有两个零点，求的取值范围； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 19. 不透明的口袋中装有编号分别为的 个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取 次，每次取1个球，记取出的 个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为的“”分布，记为. （1）若，求； （2）若，且，求的最小值； （3）若，求证：且，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集美中学2025-2026学年第一学期高三年级期中质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 班级：______________姓名：______________座号：______________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法法则计算，再结合共轭复数定义得结论． 【详解】由题意， 所以， 故选：B． 2. 函数的零点个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程法分别求出当、时函数的零点，进而即可求解. 【详解】当时，令，解得； 当时，令，解得. 所以函数有2个零点. 故选：C. 3. 已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知结合数量积的运算律求出.进而得出，即可得出答案. 【详解】由已知， 可得，，即. 又平面向量与均为单位向量， 所以. 所以，， 所以，，夹角为. 故选：A. 4. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合中元素的互异性，集合并集的运算及充分条件，必要条件的定义即可判断. 【详解】①若，则，， 所以”是“”的充分条件； ②若，则或，解得或或. 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去， 所以或，所以”是“”的不必要条件， 所以由①②可知，”是“”的充分不必要条件， 故选：A 5. 已知圆台上下底面积分别为，母线长为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式代入求解即可. 【详解】因为圆台的上､下底面积分别为， 所以该圆台的上､下底面的半径分别1，2， 如图所示： 即，，，所以，所以， 故圆台的高为2，则圆台的体积， 故选：. 6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（ ）天. （参考数据：，， A. 9 B. 15 C. 25 D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，根据题设可得，求解出，即可求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则， 所以， 故选：D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式展开已知条件中的，通过移项化简得到的值，再利用余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】由题知， 所以，即， 所以. 故选：B. 8. 记的内角的对边分别为，且，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理、三角形面积公式以及同角三角函数关系求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得，， 因为，则 即， 因为的面积为，所以，即， 所以，即， 又因为， 代入化简得，， 则或（，舍去）， 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了解高二学生是否喜爱物理学科与性别的关联性，某学校随机抽取了200名学生进行统计．得到如图所示的列联表，则下列说法正确的是（ ） 性别 物理学科 喜爱 不喜爱 男 60 40 女 20 80 A. 喜爱物理学科的学生中，男生的频率为 B. 女生中喜爱物理学科的频率为 C. 依据小概率值的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别无关 参考公式：，其中. 附表： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】AC 【解析】 【分析】根据列联表，结合古典概型的概率公式，即可判断A，B；计算的值，根据独立性检验的基本思想，即可判断C，D. 【详解】对于A，喜爱物理学科的学生共有（名）， 故喜爱物理学科的学生中，男生的频率为，A正确； 对于B，女生共有100名，喜爱物理的女生有20名， 故女生中喜爱物理学科的频率为，B错误； 对于C，D，， 故依据小概率值的独立性检验，可以推断学生是否喜爱物理学科与性别有关， 即在犯错误的概率不超过的前提下，认为学生是否喜爱物理学科与性别有关，C正确，D错误， 故选：AC 10. 已知函数（其中）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数经过的特殊点，结合正弦型函数的对称性和最值性质逐一判断即可. 【详解】A：由函数图象可知该函数过点，且最低点坐标为， 于是有，设该函数的最小正周期为，则有， 因为， 所以由，所以本选项正确； B：由上可得，，即， 因为该函数过， 所以有， 又因为， 所以令，， 即，所以本选项正确； C：因为， 所以的图象不关于点中心对称，因此本选项不正确； D：当时，令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因此在上的值域为，故本选项正确， 故选：ABD 11. 如图，正三棱台的上下底面边长分别为3和6，侧棱长为3，则下列结论中正确的有（ ） A. 过AC的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为 B. 棱长为的正四面体可以在该棱台内随意转动 C. 直径为的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切） D. 该三棱台可以整体放入直径为的球内 【答案】ACD 【解析】 【分析】延长正三棱台侧棱相交于点，分析可知三棱锥为正四面体，根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解判断A；转化为判断正四面体的外接球在正三棱台的内判断B；运用等体积法求内切球半径可判断C；根据三棱台的各点都在以底面外心为球心，底面圆半径为球的半径内部判断D. 【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，在中，因为， 所以，同理，所以， 可知三棱锥为正四面体. 由正棱台的性质可知，过AC的平面截与平面相交时，该三棱台所得截面为梯形， 过AC的平面截与侧棱相交时，该三棱台所得截面为三角形，因为为的中点， 所以为的高即到的最短距离，同理为到的最短距离， 所以截面三角形周长的最小值为的周长,故A正确； 由题意知，在等腰梯形中，过作，如图所示， 则，，又因为，所以， 由题意知，、、、分别为、、、的中点， 又，所以， 又因为，， ，即， 所以， 所以. 设正三棱台的内切球球心为，则由等体积法可知， ，则， 所以，解得， 所以内切球的直径为， 所以直径为的球可以整体放入该三棱台内（含与某面相切），故C正确； 先证在正四面体中，棱长，则其外接球的半径为： 取的中点，连接，设顶点在底面的射影为，则是底面的重心，连接，则外接球的球心在上，设为，连接， 则，，则， 所以，在直角中，， 即，所以. 对于选项B，棱长为的正四面体的外接球半径为， 其直径为，故棱长为的正四面体不可以在该棱台内随意转动，故B错误； 对于选项D，因为的外接圆半径为， 且， 所以正三棱台可以放置在以为球心，半径为的球内， 即该三棱台可以整体放入直径为的球内，正确 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为等差数列，为其前项和.若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件求出公差，再由等差数列的求和公式可得答案. 【详解】设为公差，由，得， 解得，则. 故答案为：. 13. 老师给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出函数的一个性质． 甲：对于，都有； 乙：函数在上是减函数； 丙：函数在上是增函数； 丁：不是函数的最小值． 如果其中恰有三人说的正确，请写出一个这样的函数：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】分析出若甲的说法正确，则丙的说法错误，乙丁的说法正确，可选择合适的函数；根据乙丙丁的说法正确，甲的说法正确可选择合适的函数. 【详解】若甲的说法正确，则函数的图象关于直线对称， 则函数在上不单调，即丙的说法错误， 乙丁的说法正确，可取； 若乙丙丁的说法正确，甲的说法错误，可取. 故答案为：（答案不唯一）. 14. 函数的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】换元，化简得，再换元得，令，利用得出的最大值与最小值，进而得到的值域，即可得解. 【详解】因为， 令，则， 由于是奇函数且周期为，只需考虑 （值域对称）. 令，，则，（时，） 变为， 令， 对求导得： ，， 令，得或， 当时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 当时，， 当时， 的最大值是， 的最大值为， 由于是奇函数， 故最小值为， 值域为，即的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求A的值； （2）若，求△ABC周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明，证明即可求解； （2）证明，，证明，证明，证明即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 整理得， 在中，， ，即， ，即； 【小问2详解】 由正弦定理得， ∴，， ∴， ， ∴， 在锐角中 ， ∴，， ∴， ∴周长的取值范围为． 16. 设数列的前项和为，已知，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据以及，即可求解数列的通项公式； （2）将数列的通项公式带入数列，进行化简，利用错位相减法进行求解. 【小问1详解】 ，① 当时，，② ①-②得，∴，∴， ∵，∴，∴也满足上式， ∴为等比数列且首项为2，公比为3，∴. 即的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 令，① 得，② ①-②得， 所以. 17. 如图，平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，．现将沿翻折至，使得． （1）证明：平面平面； （2）已知是线段上的点，它到直线的距离为，求直线与平面所成的角． 【答案】（1） 证明：因为在中，, 由正弦定理可得， 即，解得， 因为，所以，所以， 在中，， 所以，所以， 又因为平面，且， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理可得，从而可得，，在中，由勾股定理可得，由线面垂直的判定定理可得平面，即可证明平面平面； （2）利用空间向量求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取中点，连接， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 由（1）可知平面，又因为，所以平面， 平面，所以， 所以以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 所以， 设， 所以， 则， 又因为, 所以直线的距离 ， 又因为， 所以， 解得或(舍)， 所以， 因为，， 设平面的法向量为， 则有， 取，则， 设直线与平面所成的角为， 则， 又因为，所以， 所以直线与平面所成的角为. 18. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若在有两个零点，求的取值范围； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，再对进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系即可确定的单调性； （2）通过分类讨论结合零点存在性定理即得结论； （3）由题意得在上恒成立，令，通过两次求导结合分类讨论分析的单调性可得结论. 【小问1详解】 ∵，∴， 当时，恒成立，在上递减， 当时，令得，，∴在上递减， 令得，，∴在上递增． 【小问2详解】 由（1）可知时，不合题意； 时，在上递减，在上递增， 若在有两个零点，则定有，解得， 此时，所以在上一定有一个零点， 当时，在上一定有一个零点， 综上：． 【小问3详解】 由，得， 故在上恒成立， 设， 则， 设，则， 当时，单调递增； ∴在上单调递增. 所以在上，，且， 当，即时，在上单调递减， 则，不符合题意，舍去， 当，即时， （i）若，即， ，使得，当时，，在内单调递减， ，不符合题意，舍去， （ii）若，即恒成立， 在上单调递增，则，符合题意， 综上，实数的取值范围为． 19. 不透明的口袋中装有编号分别为的 个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取 次，每次取1个球，记取出的 个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为的“”分布，记为. （1）若，求； （2）若，且，求的最小值； （3）若，求证：且，. 【答案】（1）； （2）3； （3）由，得 ， 所以 . 方法1：先证． 设，则．令，得，列表如下： 0 0 极小值 所以， 故，当且仅当时取＂=＂． 令，则， 故， 即． 所以 ， 所以， 所以，故且． 方法2：要证且，即证，即证． ①当时，左边右边，成立； ②假设当且时命题成立，即． 则当 时， ， 只要证，即证且． 因为， 所以且． 故当 时，，命题也成立． 综合①②，且， 故得证． 【解析】 【分析】（1）根据组合数和独立事件乘法公式即可得到答案； （2）计算得，再利用期望公式得，再根据的单调性即可得到最小值； （3）方法一：首先利用期望公式得，再利用得，最后再合理放缩并求和即可； 方法二：等价转化为证明，再利用数学归纳法即可证明. 【小问1详解】 由，得 . 【小问2详解】 由，得． 则 . 令，得． 又在上单调递减， 且， 故的最小值为3． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $