精品解析：湖南省长沙市一中初级中学2025-2026学年八年级上学期开学检测数学试题

2025年下学期一中初级中学课堂练习 八年级数学 一、选择题（共10小题） 1. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适合用抽样调查的是（ ） A. 订购校服时了解某班学生衣服的尺寸 B. 考察一批灯泡的使用寿命 C. 发射运载火箭前的检查 D. 对登机的旅客进行安全检查 4. 点M的坐标为（2，3），若将点M先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得点的坐标为（　　） A. （5，5） B. （﹣1，1） C. （5，1） D. （0，0） 5. 如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　） A. 12 B. 7 C. 2 D. 14 6. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（ ） A. B. C. D. 8. 一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 元代数学家朱世杰撰写的《四元玉鉴》中记载了一个问题：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱，问：梨果多少价几何？”大意是：用九百九十九文钱共买了一千个梨和果，其中十一文钱可买九个梨，四文钱可买七个果，间梨、果各几个？设买了x个梨，y个果，根据题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题） 11. 小明用计算一个多边形的内角和，他计算的是个______边形． 12. 计算的结果是_______． 13. 如图，在中，是角平分线，若，的面积是12，则的长为________． 14. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值为____． 15. 如图，点D为三角形外一点，连接，，平分，，如果，那么的度数为______°． 16. 如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动，当Q的运动速度为________时，能够使与全等． 三、解答题（共9小题） 17. 计算：． 18. 解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础，某学校计划在八年级开设“人工智能”“无人机”“创客”“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图1 和2 所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为 名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （2）在扇形统计图中，选择“创客”课程的学生占 %，所对应的圆心角度数为 ； （3）若该校八年级一共有 1000名学生，试估计选择“航模”课程的学生有多少名？ 21. 如图所示，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）延长交于点，请判断与的位置关系，请把图形补全后加以证明． 22. 2024年哈尔滨冰雪旅游火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．振华纪念品经销店要购进A、B两种工艺品，若购进A种工艺品2件和B种工艺品3件共需68元，若购进A种工艺品3件和B种工艺品1件共需60元． （1）求A、B两种工艺品每件的进价分别为多少元？ （2）若A种工艺品售价为21元，B种工艺品售价为19元，该经销店准备购进A、B两种工艺品共40件，这两种工艺品全部售出后总获利不低于216元，那么该经销店最多可以购进A种工艺品多少件？ 23. 在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． （1）如图1，若，请说明； （2）如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 24. 对实数x、y，我们定义一种新运算： （其中a，b为常数）．例如： ， ．已知 ， ． （1）则 ， ； （2）若方程组的解中，x是非正数，y是负数： ①求m的取值范围； ②若，求n的最小值； （3）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，求c的取值范围． 25. 如图，，，满足，点P是x轴上的一个动点，点C是的中点，连接，将绕点C逆时针旋转90°到． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）当点P在线段上或延长线上时，若，求点E的坐标； （3）当点P在线段的延长线上时，连接，若，a的值在变化，求点E的运动路径长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期一中初级中学课堂练习 八年级数学 一、选择题（共10小题） 1. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：， ；；，． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 3. 下列调查中，适合用抽样调查的是（ ） A. 订购校服时了解某班学生衣服的尺寸 B. 考察一批灯泡的使用寿命 C. 发射运载火箭前的检查 D. 对登机的旅客进行安全检查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．据此进行判断即可． 【详解】解：A、适合普查，不符合题意； B、适合抽样调查，符合题意； C、适合普查，不符合题意； D、适合普查，不符合题意； 故选B． 4. 点M的坐标为（2，3），若将点M先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得点的坐标为（　　） A. （5，5） B. （﹣1，1） C. （5，1） D. （0，0） 【答案】C 【解析】 【分析】点M向右平移3个单位长度，则横坐标＋3，向下平移2个单位长度则纵坐标－2，即可得答案． 【详解】解：点M（2，3）先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为（2+3，3﹣2），即（5，1）． 故选：C． 【点睛】本题考查直角坐标系中点的平移，熟记平移规律是解题的关键． 5. 如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　） A. 12 B. 7 C. 2 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得BC=EC，AC=DC，然后由CE＝5，AC＝7可求解． 【详解】解：△ABC≌△DEC， BC=EC，AC=DC， CE＝5，AC＝7， BD=BC+CD=CE+AC=5+7=12； 故选A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 6. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定，尺规作角平分线，，根据证明，即可推出本题的答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，即是角的平分线， 故选：D． 8. 一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最小值． 【详解】设第三边为， 根据三角形的三边关系，得：， 即， ∵为整数， ∴的最小值为6． 故选：B． 9. 元代数学家朱世杰撰写的《四元玉鉴》中记载了一个问题：“九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱，问：梨果多少价几何？”大意是：用九百九十九文钱共买了一千个梨和果，其中十一文钱可买九个梨，四文钱可买七个果，间梨、果各几个？设买了x个梨，y个果，根据题意可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设买了x个梨，y个果，用九百九十九文钱共买了一千个梨和果，根据这两个数量得到两个方程构成方程组即可． 【详解】解：设买了x个梨，y个果， 则 故选：A． 10. 如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，在上取点使，证明，则，，由，可得，进而可得，则，，可判断③的正误；由，可得，进而可得，可判断②的正误；，可判断①的正误；由，，可得，可判断④的正误． 【详解】解：如图，在上取点使， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，③正确，故符合题意； ∵， ∴， ∴，②正确，故符合题意； ∴，①正确，故符合题意； ∵，， ∴，④错误，故不符合题意； 综上：正确的有①②③，共3个， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11. 小明用计算一个多边形的内角和，他计算的是个______边形． 【答案】五 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式：，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵多边形的内角和公式为：， ∴小明计算的是个五边形 故答案为：五 12. 计算的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方的运算法则将式子变形为，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，在中，是角平分线，若，的面积是12，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过点D作与点E，由角平分线的性质定理可得出，再根据三角形面积即可得出，进而可得出． 【详解】解：过点D作与点E， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 14. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，能够根据方程组中未知数的系数特点灵活选取恰当的方法进行求解是关键．根据题意得出新的二元一次方程组，解方程组即可得出，把代入到，即可得出a的值． 【详解】解：根据题意可得出， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：1． 15. 如图，点D为三角形外一点，连接，，平分，，如果，那么的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，根据，得到，进而得到，角平分线求出的度数，进而求出的度数，再根据，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为： 16. 如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动，当Q的运动速度为________时，能够使与全等． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程与动点几何问题，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据①当时，；②当时，两种情况进行讨论，从而可求点的运动速度； 【详解】解：设运动时间为； 当时，， ∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ∴的运动速度等于点运动速度； ②当时，， ∵点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．，， ∴, ∴， ∴点的运动速度：； 故答案为：或． 三、解答题（共9小题） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先化简绝对值，计算算术平方根，乘方运算，立方根，再算加减法即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查的是实数的混合运算，熟记算术平方根与立方根的概念是解本题的关键． 18. 解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】﹣1≤x＜3，在数轴上表示见解析. 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】 ∵解不等式①，得x＜3， 解不等式②，得x≥﹣1， ∴不等式组的解集是﹣1≤x＜3， 在数轴上表示为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整式乘法法则是关键；先去括号，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础，某学校计划在八年级开设“人工智能”“无人机”“创客”“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图1 和2 所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． 请你根据以上信息解决下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数为 名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）； （2）在扇形统计图中，选择“创客”课程的学生占 %，所对应的圆心角度数为 ； （3）若该校八年级一共有 1000名学生，试估计选择“航模”课程的学生有多少名？ 【答案】（1）50， 补全条形统计图，如图所示， （2）20， （3）100 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，熟知扇形统计图和条形统计图的特征是解题的关键． （1）根据选择无人机课程的人数除以占比可求出参加问卷调查的人数为50名即可解决问题． （2）根据（1）中求得的结果即可解决问题． （3）求出样本中选择“航模”课程的百分比即可解决问题． 【小问1详解】 解：参加问卷调查的学生人数为名， 参加人工智能的学生人数为名． 【小问2详解】 解：因为， 所以选择“创客”课程的学生占． 因为， 所以扇形统计图中选择“创客”课程的学生部分所对的圆心角的度数为． 故答案为：20，． 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计选择“航模”课程的学生有100名． 21. 如图所示，在中，，，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）延长交于点，请判断与的位置关系，请把图形补全后加以证明． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ； （2） 解：，理由如下： 延长与交于点， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形得，再由，得，即可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 2024年哈尔滨冰雪旅游火爆全国，吸引了大量游客前来旅游．振华纪念品经销店要购进A、B两种工艺品，若购进A种工艺品2件和B种工艺品3件共需68元，若购进A种工艺品3件和B种工艺品1件共需60元． （1）求A、B两种工艺品每件的进价分别为多少元？ （2）若A种工艺品售价为21元，B种工艺品售价为19元，该经销店准备购进A、B两种工艺品共40件，这两种工艺品全部售出后总获利不低于216元，那么该经销店最多可以购进A种工艺品多少件？ 【答案】（1）A种工艺品每件的进价为16元，B种工艺品每件的进价为12元 （2）32件 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式． （）设种工艺品每件的进价为元，种工艺品每件的进价为元，列出方程组，然后求解即可； （）根据题意和（）中的结果，可以列出相应的不等式，然后求解即可； 【小问1详解】 解：设种工艺品每件的进价为元，种工艺品每件的进价为元， 由题意可得：， 解得， 答：种工艺品每件的进价为元，种工艺品每件的进价为元； 【小问2详解】 解：设购进A种工艺品x件，则购进B种工艺品 件，由题意可得：，解得， ∵为整数， ∴的最大值为， 答：该经销店最多可以购进种工艺品件． 23. 在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． （1）如图1，若，请说明； （2）如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用、、证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据题目中的条件和可证，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：过点D作交于点G，从而可以得到，然后即可得到，再证明，即可得到，即可确定具有的数量关系． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图：过点D作交于点G， 在和中，, ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴． 24. 对实数x、y，我们定义一种新运算： （其中a，b为常数）．例如： ， ．已知 ， ． （1）则 ， ； （2）若方程组的解中，x是非正数，y是负数： ①求m的取值范围； ②若，求n的最小值； （3）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，求c的取值范围． 【答案】（1），； （2）① ，② ； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题目定义的新运算，结合，即可得出答案； （2）①根据定义表示出关于下，的方程组，表示出和的值，根据x是非正数，y是负数列出不等式组，求解即可； ②根据得出 ，代入①中得 ，即可得出的最小值； （3）根据定义得出不等式组，求解可得 ，然后根据不等式组恰好有3个整数解分情况讨论，求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ， ∴ ， ， 即， 解得； 【小问2详解】 解：①根据题意，可得，解得：， ∵x是非正数，y是负数， ∴，解得： ； ②原式整理为：， ∴ ，即 ， 整理得： ， ∴当取最大值2时，此时的值最小， 最小值为： ； 【小问3详解】 解：不等式组整理为：， 解得： ， ∵， ∴三个整数解为0，，或，，或，，三种情况； 当整数解为0，，时，，解得； 当整数解为，，时，，此时无解； 当整数解为，，时，，此时无解； 综上，． 25. 如图，，，满足，点P是x轴上的一个动点，点C是的中点，连接，将绕点C逆时针旋转90°到． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）当点P在线段上或延长线上时，若，求点E的坐标； （3）当点P在线段的延长线上时，连接，若，a的值在变化，求点E的运动路径长度． 【答案】（1），， （2）或 （3）10 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质求解即可． （2）如图①中，当点落在线段上时，连接，．证明，即可解决问题．当点在的延长线上时，同法可求． （3）首先证明，，再证明，推出，求出或两种情形时的值即可解决问题． 【小问1详解】 ， ，， ，， ∵点C是的中点 ∴， 故答案为，，． 【小问2详解】 如图，当点落在线段上时，连接，． 由题意，， ， ，，， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 当点在的延长线上时，同法可证，，可得， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【小问3详解】 如图，连接，． 同法可证，， ，，， ， ，即， ， ， ， ， ， 当时，， ， ， 当时，，可得， 点的运动路径． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $