精品解析：广东省广州市第八十九中学2025－2026学年八年级上学期11月期中考试数学试卷

2025学年第一学期广州市第八十九中学期中考试卷 初二年级数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（基础卷，共100分） 一、单选题（本题共有10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各项是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果，，，那么它们的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的3倍 C. 扩大为原来的6倍 D. 扩大为原来的9倍 6. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. B. C. 10 D. 5 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 方程去分母后的结果正确的是( ) A. 2-1-x=1 B. 2-1+x=1 C. 2-1+x=2x D. 2-1-x=2x 9. 利用乘法公式计算，下列方法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下表是学习分式方程应用时，老师提出的问题和两名同学用两种方法列出的正确方程． 问题：甲、乙两地相距，搭乘高铁列车从甲地到乙地比搭乘普通列车少用9小时，已知高铁列车的平均行驶速度是普通列车的2.8倍． 小明： 小红： 下列判断正确的是（ ） A. 小明假设的未知数是高铁列车的平均速度 B. 高铁列车平均速度为100千米/时 C. 小红假设的未知数是搭乘普通列车从甲地到乙地的时间 D. 普通列车从甲地到乙地的时间是14个小时 二、填空题（本题有6个小题，每个小题4分，共24分．） 11. ______；______． 12. 每年月日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食、已知一粒米重量约千克，将数据用科学记数法表示为___________ 13. 已知分式，当x______时，分式无意义；当x______时，分式的值为0． 14. 多项式的公因式是______；分式与的最简公分母是______． 15. 已知，，则______；______． 16. 定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如：，所以分式与互为“3阶分式”． （1）分式与______互为“4阶分式”； （2）若分式与互为“1阶分式”，则______． 三、解答题（本大题有5个小题，共46分．解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. 若关于x的代数式计算后不含x的一次项． （1）当时，化简原代数式； （2）若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 20. 化简分式，并从﹣1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值． 21. 综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车油箱容积：50升，油价：8元／升，续航里程：千米，每千米行驶费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元／千瓦时，续航里程：千米，每千米行驶费用：______元． 素材2 燃油车每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． 任务2 分别求出这两款车每千米行驶费用． 任务3 每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 第Ⅱ卷（非选择题，共50分） 四、解答题（本大题有4个小题，共50分．解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 22. 求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差是8的倍数． 23. 已知关于x方程． （1）若方程有增根，则x的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 （2）若方程无解，求a的值． 24. 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，我们称这种方法为“分离常数法”，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如：，分式就拆分成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）将分式用“分离常数法”可化成______； （2）将分式用“分离常数法”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）已知方程组有正整数解，求整数的值． 25. 【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期广州市第八十九中学期中考试卷 初二年级数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（基础卷，共100分） 一、单选题（本题共有10个小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，逐一判断各选项分母是否含有字母即可． 【详解】解：选项A：分母为2，是常数，不是分式； 选项B：分母为4，是常数，不是分式； 选项C：分母为4，是常数，不是分式； 选项D：分母为，含有字母x，是分式； 故选：D． 2. 下列各项是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查最简分式的定义，解题的关键是判断分子分母是否有公因式． 最简分式是指分子和分母没有公因式的分式,通过检查每个选项是否可约分，即可判断． 【详解】解：选项A：，分子4和分母有公因数4，可约分为，不是最简分式； 选项B：，分子和分母有公因式b，可约分为，不是最简分式； 选项C：，分子y和分母没有公因式，是最简分式。 选项D：， ，与分子有公因式，可约分为，不是最简分式； 故选：C． 3. 如果，，，那么它们的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先依据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂分别计算a、b、c的值，再比较大小． 【详解】解：，，， 则， 故选：A． 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义及方法逐项分析即可． 【详解】解： A：，故该选项不正确，不符合题意； B：，故该选项不正确，不符合题意； C：，故该选项正确，符合题意； D：右边 不是因式的乘积形式，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C 5. 将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的3倍 C. 扩大为原来的6倍 D. 扩大为原来的9倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，分子和分母同时扩大相同的倍数（非零），分式的值不变． 根据分式的基本性质，将 和 同时扩大 3 倍后，代入分式计算即可判断值的变化． 【详解】解：根据题意得：新分式为 ， ∴ 分式的值不变， 故选：A． 6. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. B. C. 10 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点，进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴； 故选A． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 通过直接计算每个选项，判断其正确性即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：B． 8. 方程去分母后的结果正确的是( ) A. 2-1-x=1 B. 2-1+x=1 C. 2-1+x=2x D. 2-1-x=2x 【答案】C 【解析】 【详解】在方程的左右两边同时乘以2x可得： 2-(1-x)=2x， 则2-1+x=2x 故选：C 9. 利用乘法公式计算，下列方法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理为，然后利用完全平方公式求解即可． 详解】解：． 故选：B． 10. 下表是学习分式方程应用时，老师提出的问题和两名同学用两种方法列出的正确方程． 问题：甲、乙两地相距，搭乘高铁列车从甲地到乙地比搭乘普通列车少用9小时，已知高铁列车的平均行驶速度是普通列车的2.8倍． 小明： 小红： 下列判断正确是（ ） A. 小明假设的未知数是高铁列车的平均速度 B. 高铁列车的平均速度为100千米/时 C. 小红假设的未知数是搭乘普通列车从甲地到乙地的时间 D. 普通列车从甲地到乙地的时间是14个小时 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是理解路程、速度、时间的关系，并通过方程求解，小明的方程中未知数是普通列车的速度，小红的方程中未知数是高铁的时间；通过求解方程可得普通列车时间为14小时，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：小明的方程为，根据时间路程速度，可得表示乘普通列车从甲地到乙地的时间，表示乘高铁从甲地到乙地的时间，故表示普通列车速度，故A错误； 解方程可得，故高铁列车的平均速度为千米/时；故B错误； 小红的方程为，其中表示乘高铁列车从甲地到乙地的速度，表示乘普通列车从甲地到乙地的速度，故小红假设的未知数是搭乘高铁列车从甲地到乙地的时间，故C错误； 解可得：， ∴，即普通列车从甲地到乙地的时间是14个小时，故D正确； 故选：D． 二、填空题（本题有6个小题，每个小题4分，共24分．） 11. ______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了单项式与单项式相乘，幂的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据单项式与单项式相乘，幂的乘方运算求解即可． 【详解】解：： ， 故答案为：；． 12. 每年月日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食、已知一粒米的重量约千克，将数据用科学记数法表示为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法直接求解即可． 【详解】． 故答案为： 【点睛】此题考查科学记数法，解题关键是科学记数法表示为． 13. 已知分式，当x______时，分式无意义；当x______时，分式的值为0． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】本题考查分式无意义以及为0的条件，掌握分式无意义以及为0的条件是解题的关键． 分式无意义：分母为0；分式值为0：分子为0，分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：要使无意义，则，解得； 要使的值为0，则，解得； 故答案为：；． 14. 多项式的公因式是______；分式与的最简公分母是______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查了公因式和分式的最简公分母的确定，对于多项式的公因式，需找出各项系数的最大公约数和字母部分的最低次幂；对于分式的最简公分母，需将分母因式分解后取所有不同因式的最高次幂的积． 【详解】解：多项式公因式是；分式与的最简公分母是， 故答案为：，． 15. 已知，，则______；______． 【答案】 ①. 8 ②. 1 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，直接利用同底数幂的乘除法运算法则以及幂的乘方运算法则化简得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，． 故答案为：8；1． 16. 定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如：，所以分式与互为“3阶分式”． （1）分式与______互为“4阶分式”； （2）若分式与互为“1阶分式”，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法，解分式方程，理解“n阶分式”的定义是解此题的关键． （1）根据“n阶分式”的定义，分式 的“4阶分式”为，通过分式减法计算即可； （2）根据“1阶分式”的定义，分式与的和为1，列出方程求解，注意分母不为零． 【详解】解：（1） 设另一个分式为， 则：， 故分式与互为“4阶分式”； （2）由定义得：， 去分母可得：， 解得：， 当时，，满足题意 ∴． 三、解答题（本大题有5个小题，共46分．解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式、多项式除以单项式运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据单项式乘多项式运算法则计算； （2）根据多项式除以单项式运算法则计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式计算即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 若关于x的代数式计算后不含x的一次项． （1）当时，化简原代数式； （2）若原代数式化简后不含x的一次项，求a的值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘法运算以及根据特定条件求解参数的值，解题的关键在于正确运用多项式乘多项式法则． （1）将代入原式运用多项式乘多项式法则展开即可解出； （2）运用多项式乘多项式法则展开，根据条件确地系数为，求出参数即可． 【小问1详解】 解：当时， 则原式为 ． 【小问2详解】 解：原式 ∵化简后不含x的一次项, ∴， 解得：． 20. 化简分式，并从﹣1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值． 【答案】；x=2时，原式＝. 【解析】 【分析】先将括号内的分式通分，再按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．最后在﹣1≤x≤3中取一个使分式分母和除式不为0的数代入求值． 【详解】解：原式=． ∵﹣1≤x≤3的整数有－1，0，1，2，3， 当x=﹣1或x=1时，分式分母为0，当x=0时，除式为0， ∴取x的值时，不可取x=﹣1或x=1或x=0． 不妨取x=2，此时原式=． 21. 综合与实践 背景 随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素材1 燃油车油箱容积：50升，油价：8元／升，续航里程：千米，每千米行驶费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元／千瓦时，续航里程：千米，每千米行驶费用：______元． 素材2 燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元． 问题解决 任务1 用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． 任务2 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 任务3 每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】任务1：；任务2：燃油车的每千米行驶费用为0.8元，新能源车的每千米行驶费用为0.2元；任务3：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 任务1：根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； 任务2：根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； 任务3：根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【详解】解：任务1：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）． 故答案为：；； 任务2：由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.8元，新能源车的每千米行驶费用为0.2元． 任务3：设每年行驶里程为， 由题意，得， 解得． 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 第Ⅱ卷（非选择题，共50分） 四、解答题（本大题有4个小题，共50分．解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 22. 求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 把进行因式分解得到，即可证明． 【详解】证明：∵ ， 又∵ ， 且， ∴ ， ∵ n是整数， ∴是8的倍数， 故两个连续奇数的平方差是8的倍数． 23. 已知关于x的方程． （1）若方程有增根，则x的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 （2）若方程无解，求a的值． 【答案】（1）AC （2）或或 【解析】 【分析】． 本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握运算法则是解此题的关键 （1）根据原分式方程有增根得出，计算即可得解； （2）将分式方程化为整式方程可得，再根据分式方程无解分情况讨论即可得解． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有增根， ∴， ∴或， 故选：AC； 【小问2详解】 解：去分母可得：， 整理可得， ∵方程无解， ∴当整理后的整式方程无解是，解得， 当方程有增根时，此时或，即或， 解得：或， 综上所述，或或． 24. 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（真分式）的和（差）的形式，我们称这种方法为“分离常数法”，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如：，分式就拆分成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）将分式用“分离常数法”可化成______； （2）将分式用“分离常数法”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）已知方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（）根据“分离常数法”的方法解答即可； （）根据“分离常数法”的方法解答即可； （）利用加减法可得，即可得或或，据此解答即可求解； 本题考查了分式的变形运算，解二元一次方程组，掌握“分离常数法”是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：， ①②，得， ∴， ∵是正整数， ∴大于的整数， 又∵是整数， ∴或或， ∴或或， 当时，，代入①得，， ∴，符合题意； 当时，，代入①得，， ∴，符合题意； 当时，，代入①得，， ∴，不合题意，舍去； 综上，整数的值为或． 25. 【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）76 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，， ∴，， ∵， ∴，； ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $